机动 目录 上页 下页 返回 完毕 函数与极限函数与极限 第一讲 一、一、 历年试题分类统计及考点分布历年试题分类统计及考点分布 二、考点综述及主要解题方法与技巧二、考点综述及主要解题方法与技巧三、真题解析三、真题解析.一、一、 历年试题分类统计及考点分布历年试题分类统计及考点分布 .1.极限定义与性质与结论极限定义与性质与结论机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2.极限的计算极限的计算二、考点综述与主要解题方法与技巧二、考点综述与主要解题方法与技巧3.连续性与间断点连续性与间断点夹逼准则夹逼准则 与单调有界准则与单调有界准则两个重要极限两个重要极限无穷小代换无穷小代换泰勒公式拉格朗日中值定理）泰勒公式拉格朗日中值定理）导数定义及定积分定义导数定义及定积分定义罗必达法则罗必达法则.1.1.极限定义极限定义, ,性质性质, ,与结论与结论定义定义当时, 有(1)充要条件性质性质.(2)局部有界性(3)局部保号性 假设假设且 A 0 , 则存在( A 0 )则存在正常数 假设假设.结论结论.例例1. 设设存在，求机动 目录 上页 下页 返回 完毕 为常数，且的值，并计算极限.注注.： （左右极限与极限的关系（左右极限与极限的关系 （结论（结论. 练习:. 求解:原式 = 1 (2000考研真题)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .使得（）设函数连续，且则存在例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 注：保号性的应用与极限与单调性极值的关系注：保号性的应用与极限与单调性极值的关系.设函数例例. .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 注：极限与有界性的关系，以及闭区间上连续函注：极限与有界性的关系，以及闭区间上连续函数的性质数的性质则在定义域上（）.2 2 极限的计算极限的计算(a)七种未定式的极限计算七种未定式的极限计算计算步骤：化简计算步骤：化简判定类型选择方法方法与技巧：无穷小代换，洛必达法则，泰勒公式，方法与技巧：无穷小代换，洛必达法则，泰勒公式，根号有理化，极限存在准则，导数与积分定义等.主要结论主要结论1）：）：主要推论主要推论1）：）：则有.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 选择方法：重要极限，洛比达法则，选择方法：重要极限，洛比达法则，（）（） 利用结论：利用结论：(例例1.2019年真题年真题4分分). ( ).求极限求极限 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：幂指函数（判定类型：幂指函数（）（） 选择方法：取对数，洛比达法则或第二重要极限选择方法：取对数，洛比达法则或第二重要极限（）（） 主要结论：主要结论：(例例2.201年真题分年真题分). （）（）.主要结论主要结论2）：）：主要推论主要推论2）：）：.例例3. (2019年真题年真题)求极限求极限 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式（）（） 利用结论：利用结论：.例例. 求极限求极限 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：幂指函数（判定类型：幂指函数（）（） 选择方法：取对数，洛比达法则或第二重要极限选择方法：取对数，洛比达法则或第二重要极限（）（） 主要结论：主要结论：则有.(a) 和差取大规则和差取大规则: 假设 = o() , (b) 和差代换和差代换: 例如,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例如,主要结论）：主要结论）：且存在 , 那么.例例1. 求求解解: 原式 (c)乘积代换乘积代换:界, 那么例如,.(d) 幂指型代换幂指型代换:那么.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式（）（） 利用结论：利用结论：例例5(2019年真题年真题3分分). ( ).例例6. 求极限求极限 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型（判定类型（）（） 选择方法：无穷小代换选择方法：无穷小代换（）（） 注意细节：注意细节：推广推广.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 选择方法：无穷小代换选择方法：无穷小代换（）（） 利用结论：利用结论：例例7.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 选择方法：无穷小代换，拉格朗日中值定理选择方法：无穷小代换，拉格朗日中值定理（）（） 利用结论：利用结论：例例8.设设求极限求极限 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 主要结论主要结论4）：）：设假设, 那么假设, 那么设假设, 那么假设, 那么.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 选择方法：重要极限，根值法选择方法：重要极限，根值法（）（） 利用结论：利用结论：例例10设假设, 那么假设, 那么.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 利用结论：利用结论：例例10设假设, 那么假设, 那么.(b)综合计算题综合计算题已知极限反求参数已知极限反求参数无穷小比阶的问题无穷小比阶的问题利用收敛准则求极限利用收敛准则求极限与其他知识结合的综合题与其他知识结合的综合题利用中值定理求极限利用中值定理求极限.例例1. 求极限求极限 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（）（） 判定类判定类型型（）（） 选择方法：根号有理化，无穷小代换选择方法：根号有理化，无穷小代换.例例. 求极限求极限 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（）（） 判定类判定类型型（）（） 选择方法：根号有理化选择方法：根号有理化（）（） 注意细节：注意细节：.例例3. 求极限求极限 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 选择方法：洛比达法则选择方法：洛比达法则（）（） 技巧：变量倒代换，将技巧：变量倒代换，将.例例4. 当当 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式（）（） 利用结论：利用结论：与与是等价无穷小，求是等价无穷小，求a,b.例例5. 假设假设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式（）（） 利用结论：利用结论：求求a,b.例例6. 确定常数确定常数a,b,c的值，使得的值，使得机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式（）（） 注意细节：保号性与变上限积分的求导注意细节：保号性与变上限积分的求导.例例7. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 选择方法：拉格朗日中值定理，洛比达法则选择方法：拉格朗日中值定理，洛比达法则（）（） 注意细节：无穷小代换的灵活运用注意细节：无穷小代换的灵活运用求极限求极限.例例6. 设设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 选择方法：拉格朗日中值定理，乘积无穷小代换选择方法：拉格朗日中值定理，乘积无穷小代换（）（） 注意细节：无穷小代换的灵活运用注意细节：无穷小代换的灵活运用求极限求极限.例例9. 设设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：数列极限（判定类型：数列极限（）（） 选择方法：单调有界数列收敛准则选择方法：单调有界数列收敛准则（）（） 相关结论：相关结论：证明数列证明数列的极限存在，并求此极限的极限存在，并求此极限.例例10. 设设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：数列极限（判定类型：数列极限（）（） 选择方法：单调有界数列收敛准则选择方法：单调有界数列收敛准则（）（） 相关结论：相关结论：证明数列证明数列的极限存在，并求此极限的极限存在，并求此极限.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (例例11 年真题分年真题分). 析析.（判定类型：？（判定类型：？（）（） 利用结论：同除以分子分母最低阶无穷小利用结论：同除以分子分母最低阶无穷小的等价无穷小的等价无穷小（）（） 选择方法：？选择方法：？则必有（）则必有（）. 历年真题解析(2019年真题分年真题分). 求极限求极限析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 选择方法：重要极限，洛比达法则，无穷小代换选择方法：重要极限，洛比达法则，无穷小代换（）（） 相关结论：相关结论：. 当当 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式（）（） 利用结论：利用结论：与与是等价无穷小，求是等价无穷小，求a,b(2009年真题分年真题分). .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：讨论左右极限（判定类型：讨论左右极限（）（） 选择方法：重要极限，代入法选择方法：重要极限，代入法（）（） 利用结论：利用结论：(200年真题分年真题分). .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (年真题分年真题分). 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 选择方法：洛比达法则，无穷小代换，重要极限选择方法：洛比达法则，无穷小代换，重要极限（）（） 利用结论：同除以分子分母最低阶无穷小利用结论：同除以分子分母最低阶无穷小的等价无穷小的等价无穷小. 设设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 析析.（判定类型：数列极限（判定类型：数列极限（）（） 选择方法：单调有界数列收敛准则选择方法：单调有界数列收敛准则（）（） 相关结论：相关结论：的极限存在，并求此极限的极限存在，并求此极限(年真题分年真题分). 试证明试证明.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (年真题分年真题分). 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 利用结论：利用结论：（）（） 选择方法：洛比达法则，重要极限选择方法：洛比达法则，重要极限求求a值值.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (年真题分年真题分). 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 利用结论：利用结论：（）（） 选择方法：洛比达法则，重要极限选择方法：洛比达法则，重要极限（）（）.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (年真题分年真题分). 析析.（判定类型：（判定类型：（）（） 利用结论：利用结论：（）（） 选择方法：洛比达法则，重要极限选择方法：洛比达法则，重要极限（）（）.三、三、 连续与间断连续与间断1. 函数连续的等价形式2. 函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点机动 目录 上页 下页 返回 完毕 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .3. 闭区间上连续函数的性质.例例1. 设函数设函数在 x = 0 连续 , 那么 a = , b = .提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .例例2. 求求的间断点, 并判别其类型.解解: x = 1 为第一类可去间断点 x = 1 为第二类无穷间断点 x = 0 为第一类跳跃间断点机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .有无穷间断点及可去间断点解解:为无穷间断点, 所以为可去间断点 ,极限存在例例3. 设函数设函数试确定常数 a 及 b .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .例例4. 设设 f (x) 定义在区间定义在区间上 , 假设 f (x) 在连续,提示提示:阅读与练习阅读与练习且对任意实数证明 f (x) 对一切 x 都连续 .P64 题2(2), 4; P73 题5机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .证证:例例5. 证明证明: 假设假设 令则给定当时, 有又根据有界性定理, 使取那么在内连续,存在, 那么必在内有界.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .例例6. 设函数在闭区间设函数在闭区间a,b上连续，上连续，对于对于以及以及证明：存在证明：存在使得使得.例例7. 有一张形状怪异的饼放在方形的餐桌上，有一张形状怪异的饼放在方形的餐桌上，能否能否一刀将这张饼切成面积相等的两半，而刀口一刀将这张饼切成面积相等的两半，而刀口平行于平行于餐桌的某条指定的边？如果可以做到，问这餐桌的某条指定的边？如果可以做到，问这种切法种切法是否唯一？是否唯一？.综合练习综合练习. 求下列极限：求下列极限：提示提示: 无穷小有界机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .令机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .则有复习复习: 假假设设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 . 确定常数确定常数 a , b , 使使解解: 原式故于是而机动 目录 上页 下页 返回 完毕 . 当当时,是的几阶无穷小?解解: 设其为设其为的阶无穷小,那么因故机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 . 求解解: 令令那么利用夹逼准则可知.