第四章 平面向量、数系的扩充与复数第一节 平面向量的概念及其线性运算1.1.向量的有关概念向量的有关概念(1)(1)定义：既有定义：既有_又有又有_的量的量. .(2)(2)表示方法：用表示方法：用_来表示向量来表示向量. .有向线段的长度表示有向线段的长度表示向量的向量的_，用箭头所指的方向表示向量的，用箭头所指的方向表示向量的_._.用用a, ,b, ,或或用用 来表示来表示. .(3)(3)模：向量的模：向量的_叫做向量的模，记作叫做向量的模，记作| |a|,|,|b| |或或 大小大小方向方向有向线段有向线段大小大小方向方向长度长度【即时应用即时应用】(1)(1)请写出高中物理中的三个向量请写出高中物理中的三个向量_._.(2)(2)判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：( (请在括号中填写请在括号中填写“真真”或或“假假”) )向量的大小是实数向量的大小是实数 ( )( )向量可以用有向线段表示向量可以用有向线段表示 ( )( )向量就是有向线段向量就是有向线段 ( )( )向量向量 的长度和向量的长度和向量 的长度相等的长度相等 ( )( )【解析解析】(1)(1)由向量的定义可知，物理中的速度、力、加速度由向量的定义可知，物理中的速度、力、加速度等都为向量等都为向量. .(2)(2)向量是既有大小又有方向的量，向量的大小为实数，故向量是既有大小又有方向的量，向量的大小为实数，故为真；向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度为向量的为真；向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度为向量的大小，有向线段的方向为向量的方向，所以大小，有向线段的方向为向量的方向，所以为真；为真；为假；为假； 与与 是大小相等、方向相反的向量，故是大小相等、方向相反的向量，故为真为真. .答案：答案：(1)(1)速度、力、加速度速度、力、加速度( (答案不唯一答案不唯一) )(2)(2)真真 真真 假假 真真2.2.特殊向量特殊向量(1)(1)零向量：长度为零向量：长度为_的向量叫做零向量，记作的向量叫做零向量，记作0；零向量的方；零向量的方向向_._.(2)(2)单位向量：长度为单位向量：长度为_的向量的向量. .(3)(3)共线向量：方向相同或共线向量：方向相同或_的向量叫做共线向量，共线的向量叫做共线向量，共线向量也叫做向量也叫做_向量；规定：零向量与任何向量共线向量；规定：零向量与任何向量共线. .(4)(4)相等向量：长度相等向量：长度_且方向且方向_的向量的向量. .(5)(5)相反向量：长度相反向量：长度_且方向且方向_的向量的向量. .0 0不确定不确定1 1个单位个单位相反相反平行平行相等相等相同相同相等相等相反相反【即时应用即时应用】(1)(1)判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：( (请在括号中填写请在括号中填写“真真”或或“假假”) )若若a与与b平行，则平行，则b与与a方向相同或相反方向相同或相反 ( )( )若若a与与b平行同向，且平行同向，且| |a|b|,|,则则a b ( ) ( )|a|=|=|b| |与与a、b的方向没有关系的方向没有关系 ( )( )(2)(2)把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是的终点所构成的图形是_._.【解析解析】(1)(1)假，当假，当a为零向量时，方向是不确定的为零向量时，方向是不确定的. . 假，向量不能比较大小假，向量不能比较大小. .真，向量真，向量a与与b的模相等，即长度相等，与方向无关的模相等，即长度相等，与方向无关. .(2)(2)这些向量的终点所构成的图形是以共同的始点为圆心，以这些向量的终点所构成的图形是以共同的始点为圆心，以单位单位1 1为半径的圆为半径的圆. .答案：答案：(1)(1)假假 假假 真真(2)(2)圆圆3.3.向量的加法与减法向量的加法与减法向量向量运算运算定义定义法则法则( (或几何意义或几何意义) )运算律运算律加法加法求两个向量和求两个向量和的运算的运算_法则法则_法则法则(1)(1)交换律交换律: :a+ +b=_.=_.(2)(2)结合律结合律: :( (a+ +b)+)+c=_.=_.三角形三角形平行四边形平行四边形b+ +aa+(+(b+ +c) )向量向量运算运算定义定义法则法则( (或几何意义或几何意义) )运算律运算律减法减法求求a与与b的的相反向量相反向量- -b的和的的和的运算叫做运算叫做a与与b的差的差_法则法则三角形三角形【即时应用即时应用】(1)(1)下列命题是否正确下列命题是否正确( (请在括号中填请在括号中填“”或或“”) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(2)(2)若菱形若菱形ABCDABCD的边长为的边长为2 2，则，则| |=_.| |=_.【解析解析】(1)(1)不正确不正确. .因为因为正确正确. .因为因为正确正确. .因为因为 (2)| |=| |=| |=2.(2)| |=| |=| |=2.答案：答案：(1)(1) (2)2(2)24.4.向量的数乘与共线向量定理向量的数乘与共线向量定理(1)(1)向量的数乘向量的数乘长度长度| |a|=_|=_方向方向当当00时，时，a的方向与的方向与a的方向的方向_；当当00时，时，a的方向与的方向与a的方向的方向_，当当=0=0时，时，a=_,=_,其方向是任意的其方向是任意的. .|a| |相同相同相反相反0(2)(2)向量的数乘的运算律向量的数乘的运算律设设,为实数，则为实数，则( ( a)=_;)=_;(+)(+)a=_(=_(a+ +b)=_.)=_.(3)(3)共线向量定理共线向量定理向量向量a( (a0)0)与与b共线，当且仅当有唯一一个实数共线，当且仅当有唯一一个实数，使得，使得_._.()()aa+a；a+bb=a【即时应用即时应用】(1)(1)思考：在共线向量定理中，当思考：在共线向量定理中，当a=0时，时，还唯一吗？还唯一吗？提示：提示：当当a=0且且b=0时，时，可以为任意实数，不唯一，当可以为任意实数，不唯一，当a=0且且b0时，时，不存在不存在.(2)(2)填空填空: :8(8(a+c)+7()+7(a-c)-)-c=_.=_.设两非零向量设两非零向量e1 1, ,e2 2不共线，且不共线，且k(k(e1 1+ +e2 2)()(e1 1+k+ke2 2) )，则实数，则实数k k的值为的值为_._.点点C C在线段在线段ABAB上，且上，且【解析解析】原式原式=8=8a+8+8c+7+7a-7-7c-c=15=15a-0-0c=15=15a原式原式= =由题意知，由题意知，k(k(e1 1+ +e2 2)=()=(e1 1+k+ke2 2) ) (k-)(k-)e1 1=(k-k)=(k-k)e2 2又又e1 1与与e2 2不共线不共线, , 即即k=0k=0或或1.1.答案：答案：1515a 0 0或或1 1 热点考向热点考向 1 1 平面向量的有关概念平面向量的有关概念1.1.平面向量的概念辨析题的解题方法平面向量的概念辨析题的解题方法向量有关概念的辨析题多出现在选择题或填空题中，解答时准向量有关概念的辨析题多出现在选择题或填空题中，解答时准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别要掌握好确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别要掌握好相等向量；零向量的长度为相等向量；零向量的长度为0 0，方向不确定等知识，充分利用，方向不确定等知识，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法反例进行否定也是行之有效的方法. .2.2.几个重要结论几个重要结论(1)(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性；相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性；(2)(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(3)(3)平行向量与起点无关平行向量与起点无关. . 【例例1 1】已知下列命题：已知下列命题：单位向量都相等单位向量都相等若若a与与b是共线向量，是共线向量，b与与c是共线向量，则是共线向量，则a与与c是共线向量是共线向量两个有共同起点而长度相等的非零向量，它们的终点必相同两个有共同起点而长度相等的非零向量，它们的终点必相同由于由于0方向不确定，故方向不确定，故0不能与任意向量平行不能与任意向量平行如果如果a=b,b=c,则则a=c如果如果| |a|=|=|b| |，则，则a与与b的方向相同的方向相同. .其中不正确的命题是其中不正确的命题是_(_(请把不正确的命题的序号都填上请把不正确的命题的序号都填上).).【解题指南解题指南】以概念为判断依据，或通过举反例说明其不正确以概念为判断依据，或通过举反例说明其不正确. .【规范解答规范解答】各单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故各单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故不正确；当不正确；当b=0时，时，a与与c可以为任意向量，故可以为任意向量，故不正确；两不正确；两个有共同起点而长度相等的非零向量，如果它们的方向相同，个有共同起点而长度相等的非零向量，如果它们的方向相同，则它们的终点必相同，否则终点不相同，故则它们的终点必相同，否则终点不相同，故不正确；规定不正确；规定0与任意向量平行，故与任意向量平行，故不正确；如果不正确；如果a、b、c都为零向量，则都为零向量，则a=c, ,如果如果a、b、c为非零向量，则它们的长度都相等、方向相同，为非零向量，则它们的长度都相等、方向相同，所以所以a=c, ,故故正确；正确；不正确不正确. .答案：答案：【反思反思感悟感悟】平面向量的基本概念较多，比较容易遗忘，复平面向量的基本概念较多，比较容易遗忘，复习时要构建良好的知识结构来帮助记忆，还可以与物理中、生习时要构建良好的知识结构来帮助记忆，还可以与物理中、生活中的模型进行类比和联想来记忆活中的模型进行类比和联想来记忆. .【变式训练变式训练】给出下列命题给出下列命题: :(1)(1)两个具有公共终点的向量两个具有公共终点的向量, ,一定是共线向量一定是共线向量. .(2)(2)两个向量不能比较大小两个向量不能比较大小, ,但它们的模能比较大小但它们的模能比较大小. .(3)(3)a=0(为实数为实数),),则则必为零必为零. .(4),(4),为实数为实数, ,若若a= b，则，则a与与b共线共线. .其中错误命题的个数为其中错误命题的个数为( )( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析解析】选选C.(1)C.(1)错误错误. .两向量共线要看其方向而不是起点与终两向量共线要看其方向而不是起点与终点点.(2).(2)正确正确. .因为向量既有大小因为向量既有大小, ,又有方向又有方向, ,故它们不能比较大故它们不能比较大小小, ,但它们的模均为实数但它们的模均为实数, ,故可以比较大小故可以比较大小.(3).(3)错误错误. .当当a=0时时, ,不论不论为何值为何值,a=0.(4).(4)错误错误. .当当=0=0时时, , a=b, ,此时此时a与与b可以是任意向量可以是任意向量. .热点考向热点考向 2 2 平面向量的线性运算平面向量的线性运算1.1.平面向量的线性运算法则的应用平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则. .2.2.两个重要结论两个重要结论(1)(1)向量的中线公式：若向量的中线公式：若P P为线段为线段ABAB中点，则中点，则 (2)(2)向量加法的多边形法则向量加法的多边形法则【提醒提醒】当两个向量共线当两个向量共线( (平行平行) )时，三角形法则同样适用时，三角形法则同样适用. .向向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线当两个向量共线( (平行平行) )时，平行四边形法则就不适用了时，平行四边形法则就不适用了. . 【例例2 2】(1)(1)如图，如图，D D，E E，F F分别是分别是ABCABC的边的边ABAB，BCBC，CACA的中点，的中点，则则( )( )(2)(2013(2)(2013泉州模拟泉州模拟) )已知已知P P，A A，B B，C C是平面内四点，且是平面内四点，且 那么一定有那么一定有( )( )(3)(2013(3)(2013福州模拟福州模拟) )如图所示的方格纸中有定点如图所示的方格纸中有定点O O，P P，Q Q，E E，F F，G G，H H，则，则 =_.=_.【解题指南解题指南】(1)(1)利用平面向量的线性运算并结合图形求解利用平面向量的线性运算并结合图形求解(2)(2)将向量将向量 分解为以点分解为以点P P为起点的两向量的差，然后化简即可为起点的两向量的差，然后化简即可. .(3)(3)结合图形，利用平行四边形法则及向量平移即可得出结合图形，利用平行四边形法则及向量平移即可得出. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.A.即即(2)(2)选选D.D.由题意得由题意得即即(3)(3)令令a= =则由平行四边形法则作出向量则由平行四边形法则作出向量 再平移即发现再平移即发现a= =答案：答案：【变式训练变式训练】在在ABCABC中，中， 若点若点D D满足满足 则则 ( )( )【解析解析】选选A.A.【变式备选变式备选】如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中，E E，F F分别是分别是BCBC，DCDC的中点，的中点，G G为为BFBF、DEDE的交点，若的交点，若 试用试用a, ,b来表示来表示 . .【解析解析】 连接连接BDBD，因为，因为G G是是CBDCBD的重心，的重心，所以所以热点考向热点考向 3 3 共线向量定理的应用共线向量定理的应用【方法点睛方法点睛】1.1.共线向量定理及应用共线向量定理及应用(1)(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值求参数的值. .(2)(2)若若a, ,b不共线，则不共线，则a+b= =0的充要条件是的充要条件是=0,=0,这一结这一结论结合待定系数法应用非常广泛论结合待定系数法应用非常广泛. .2.2.证明三点共线的方法证明三点共线的方法若若 则则A A、B B、C C三点共线三点共线. . 【例例3 3】已知已知a, ,b不共线，不共线， 设设tRtR，如果，如果3 3a= =c,2,2b=d, ,e=t(=t(a+ +b),),是否存在实数是否存在实数t t使使C C，D D，E E三三点在一条直线上？若存在，求出实数点在一条直线上？若存在，求出实数t t的值，若不存在，请说的值，若不存在，请说明理由明理由. .【解题指南解题指南】先假设存在，再用先假设存在，再用a,b表示目标向量，最后判断表示目标向量，最后判断是否有是否有 成立即可成立即可. .【规范解答规范解答】由题设知，由题设知， = =d-c=2=2b-3-3a, =, =e-c=(t-3)=(t-3)a+t+tb, ,C C，D D，E E三点在一条直线上的充要条件是存在实数三点在一条直线上的充要条件是存在实数k k，使得使得 ，即，即(t-3)(t-3)a+t +t b=-3k=-3ka+2k+2kb, ,整理得整理得(t-3+3k)(t-3+3k)a=(2k-t)=(2k-t)b. .因为因为a, ,b不共线，所以有不共线，所以有解之得解之得t= .t= .故存在实数故存在实数t= t= 使使C C，D D，E E三点在一条直线上三点在一条直线上. .【反思反思感悟感悟】1.1.注意待定系数法在解决此类问题中的重要作注意待定系数法在解决此类问题中的重要作用用. .其中的其中的k k只是桥梁，可设而不求只是桥梁，可设而不求. .2.2.本例中应用待定系数法求本例中应用待定系数法求t t的值时，不可忽视的值时，不可忽视a, ,b不共线的条不共线的条件件. .【变式训练变式训练】设设e1 1与与e2 2是两个不共线的非零向量，若向量是两个不共线的非零向量，若向量 =3=3e1 1-2-2e2 2, , 试证明：试证明：A A、C C、D D三点共线三点共线. .【证明证明】 共线，共线，A A、C C、D D三点共线三点共线. .【变式备选变式备选】设设a，b是两个不共线向量，若是两个不共线向量，若a与与b起点相同，起点相同，ttR，t t为何值时，为何值时，a，t tb， ( (ab) )三向量的终点在一条直线三向量的终点在一条直线上？上？【解析解析】设设 (R)(R)，化简整理得：化简整理得：a与与b不共线，不共线，故故t= t= 时，时，a,t,tb, (, (a+b) )三向量的终点在一条直线上三向量的终点在一条直线上 1.(20131.(2013福州模拟福州模拟) )在平面上有在平面上有A A，B B，C C三点，设三点，设mn 若若m与与n的长度恰好相等，则有的长度恰好相等，则有( )( )(A)A(A)A，B B，C C三点必在一条直线上三点必在一条直线上(B)ABC(B)ABC必为等腰三角形且必为等腰三角形且B B为顶角为顶角(C)ABC(C)ABC必为直角三角形且必为直角三角形且B B为直角为直角(D)ABC(D)ABC必为等腰直角三角形必为等腰直角三角形【解析解析】选选C.C.如图，以如图，以 为邻边作平行为邻边作平行四边形四边形ABCDABCD，则，则 由由m，n的长度相等可知，两的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形对角线相等，因此平行四边形ABCDABCD一定是矩一定是矩形形选选C.C.2.(20132.(2013南平模拟南平模拟) )已知平面上不共线的四点已知平面上不共线的四点O O，A A，B B，C.C.若若 的值为的值为( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析解析】选选A.A.由由 得得 即即 ，所以，所以 故故3.(20123.(2012浙江高考浙江高考) )设设a, ,b是两个非零向量是两个非零向量( )( )(A)(A)若若| |a+ +b|=|=|a|-|-|b|,|,则则ab(B)(B)若若ab, ,则则| |a+ +b|=|=|a|-|-|b| |(C)(C)若若| |a+ +b|=|=|a|-|-|b|,|,则存在实数则存在实数,使得使得b=a(D)(D)若存在实数若存在实数,使得使得b=a, ,则则| |a+ +b|=|=|a|-|-|b| |【解析解析】选选C.C.对于对于A A：若：若| |a+ +b|=|=|a|-|-|b| |，则，则a与与b共线，且共线，且a与与b反向，故选项也不对，选项正确反向，故选项也不对，选项正确4.(20134.(2013晋江模拟晋江模拟) )给出下列命题给出下列命题向量向量 长度与向量长度与向量 的长度相等；的长度相等；两个有共同起点且长度相等的向量，其终点必相同；两个有共同起点且长度相等的向量，其终点必相同；向量向量 则则A,B,C,DA,B,C,D必在一条直线上必在一条直线上. .其中真命题的序号为其中真命题的序号为_(_(写出所有真命题的序号写出所有真命题的序号) )【解析解析】真命题真命题假命题假命题. .起点相同长度相等的两向量方向不一定相同，故不起点相同长度相等的两向量方向不一定相同，故不正确正确. .假命题假命题 时，直线时，直线AB,CDAB,CD可能平行也可能重合可能平行也可能重合综上可得，命题综上可得，命题为真命题为真命题答案：答案：