函数及其表示函数及其表示 要点梳理要点梳理1.1.函数的基本概念函数的基本概念 （1 1）函数定义）函数定义 设设A A，B B是非空的是非空的 ，如果按照某种确定的对应，如果按照某种确定的对应 关系关系f f, ,使对于集合使对于集合A A中的中的 一个数一个数x x, ,在集合在集合B B中中数集数集任意任意基础知识基础知识 自主学习自主学习都有都有 的数的数f f( (x x) )和它对应，那么就称和它对应，那么就称f f: :A AB B为为 从集合从集合A A到集合到集合B B的一个函数，记作的一个函数，记作y y= =f f( (x x),),x xA A. .(2)(2)函数的定义域、值域函数的定义域、值域在函数在函数y y= =f f( (x x),),x xA A中，中，x x叫做自变量叫做自变量, ,x x的取值范围的取值范围A A 叫做函数的叫做函数的 ；与；与x x的值相对应的的值相对应的y y值叫做函数值叫做函数值，函数值的集合值，函数值的集合 f f( (x x)|)|x xA A 叫做函数的叫做函数的 . .显显然，值域是集合然，值域是集合B B的子集的子集. .(3)(3)函数的三要素：函数的三要素： 、 和和 . .(4)(4)相等函数：如果两个函数的相等函数：如果两个函数的 和和 完完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据依据. . 唯一确定唯一确定定义域定义域值域值域定义域定义域值域值域对应关系对应关系定义域定义域对应关系对应关系2.2.函数的表示法函数的表示法表示函数的常用方法有：表示函数的常用方法有： 、 、 . .3.3.映射的概念映射的概念设设A A、B B是两个非空集合，如果按照某种对应法则是两个非空集合，如果按照某种对应法则f f， 使对于集合使对于集合A A中的任意一个元素中的任意一个元素x x, ,在集合在集合B B中中 确定的元素确定的元素y y与之对应，那么就称对应与之对应，那么就称对应f f：A AB B为为 从集合从集合A A到集合到集合B B的一个映射的一个映射. .4.4.由映射的定义可以看出，映射是由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函概念的推广，函 数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A A, , B B必须是必须是 . . 解析法解析法图象法图象法列表法列表法都有唯都有唯一一函数函数非空数集非空数集基础自测基础自测1.1.设集合设集合M M=x x|0|0x x22，N N=y y|0|0y y22，那么下面，那么下面 的的4 4个图形中，能表示集合个图形中，能表示集合M M到集合到集合N N的函数关系的的函数关系的 有有 ( ) ( ) A. B. A. B. C. C. D.D.解析解析 由映射的定义，要求函数在定义域上都有图由映射的定义，要求函数在定义域上都有图象，并且一个象，并且一个x x对应着一个对应着一个y y，据此排除，据此排除，选，选C.C.C2.2.给出四个命题：给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射；函数是其定义域到值域的映射；f f（x x）= = 是函数；是函数；函数函数y y=2=2x x（x xN N）的图象）的图象是一条直线；是一条直线；f f（x x）= = 与与g g( (x x)=)=x x是同一个函数是同一个函数. .其中正确的有其中正确的有（）A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个解析解析 由函数的定义知由函数的定义知正确正确. .满足满足f f（x x）= = 的的x x不存在，不存在，不正确不正确. .又又y y=2=2x x（x xN N) )的图象是一条直线上的一群孤立的的图象是一条直线上的一群孤立的 点，点，不正确不正确. . 又又f f（x x）与）与g g（x x）的定义域不同，）的定义域不同，也不正确也不正确. . A3.3.下列各组函数是同一函数的是下列各组函数是同一函数的是 ( )( )解析解析 排除排除A A； 排除排除B B；当当 即即x x11时时, ,y y=|=|x x|+|+|x x-1|=2-1|=2x x-1,-1,排除排除C C. .故选故选D D. . 答案答案 D 4.4.函数函数 的定义域为的定义域为 . .解析解析 若使该函数有意义，则有若使该函数有意义，则有x x-1-1且且x x2,2,其定义域为其定义域为 x x| |x x-1-1且且x x2.2. x x| |x x-1-1且且x x225.5.已知已知f f（ ）= =x x2 2+5+5x x, ,则则f f( (x x)=)= . . 解析解析题型一题型一 求函数的定义域求函数的定义域【例例1 1】（20092009江西理，江西理，2 2）函数函数的定义域为的定义域为（）A.A.（-4-4，-1-1）B.B.（-4-4，1 1）C.C.（-1-1，1 1）D.D.（-1-1，1 1 求函数求函数f f( (x x) )的定义域，只需使解析式有的定义域，只需使解析式有 意义，列不等式组求解意义，列不等式组求解. .解析解析 思维启迪思维启迪 C题型分类题型分类 深度剖析深度剖析探究提高探究提高 （1 1）求函数的定义域，其实质就是以函）求函数的定义域，其实质就是以函 数解析式所含运算有意义为准则数解析式所含运算有意义为准则, ,列出不等式或不等列出不等式或不等 式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：分式中，分母不为零；分式中，分母不为零；偶次方根中，被开方数非负；偶次方根中，被开方数非负；对于对于y y= =x x0 0，要求，要求x x00；对数式中，真数大于对数式中，真数大于0 0，底数大于，底数大于0 0且不等于且不等于1 1；由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束的约束. .（2 2）抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的）抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系关系. . 知能迁移知能迁移1 1 (2008(2008湖北湖北) )函数函数 的定义域为的定义域为（）A.A.（-，-4-42 2，+）B.B.（-4-4，0 0）（0 0，1 1）C.C.-4-4，0 0）（0 0，1 1D.D.-4-4，0 0）（0 0，1 1）解析解析答案答案 D题型二题型二 求函数的解析式求函数的解析式【例例2 2】 （1 1）设二次函数）设二次函数f f( (x x) )满足满足f f( (x x-2)=-2)=f f(-(-x x-2)-2)， 且图象在且图象在y y轴上的截距为轴上的截距为1 1，被，被x x轴截得的线段长为轴截得的线段长为 ，求，求f f( (x x) )的解析式；的解析式；（2 2）已知）已知（3 3）已知）已知f f( (x x) )满足满足2 2f f( (x x)+ =3)+ =3x x, ,求求f f( (x x).). 问题（问题（1 1）由题设）由题设f f（x x）为二次函数，）为二次函数， 故可先设出故可先设出f f（x x）的表达式，用待定系数法求解；）的表达式，用待定系数法求解； 问题（问题（2 2）已知条件是一复合函数的解析式，因此）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（可用换元法；问题（3 3）已知条件中含）已知条件中含x x， ，可用，可用解方程组法求解解方程组法求解. . 思维启迪思维启迪解解 （1 1）f f（x x）为二次函数，）为二次函数，设设f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c ( (a a0)0)，且，且f f( (x x)=0)=0的两根为的两根为x x1 1, ,x x2 2. .由由f f( (x x-2)=-2)=f f（- -x x-2-2），得），得4 4a a- -b b=0.=0.由已知得由已知得c c=1.=1.由由、式解得式解得b b=2,=2,a a= ,= ,c c=1,=1,f f（x x）= = x x2 2+2+2x x+1.+1.探究提高探究提高 求函数解析式的常用方法有求函数解析式的常用方法有:(1):(1)代入法，代入法，用用g g( (x x) )代入代入f f( (x x) )中的中的x x, ,即得到即得到f fg g( (x x) )的解析式；的解析式；(2)(2)拼凑法，对拼凑法，对f fg g( (x x) )的解析式进行拼凑变形，的解析式进行拼凑变形，使它能用使它能用g g( (x x) )表示出来，再用表示出来，再用x x代替两边的所有代替两边的所有“g g( (x x) )”即可；即可；(3)(3)换元法，设换元法，设t t= =g g( (x x),),解出解出x x, ,代入代入 f fg g( (x x) )，得，得f f( (t t) )的解析式即可；的解析式即可；(4)(4)待定系数法，待定系数法，若已知若已知f f( (x x) )的解析式的类型，设出它的一般形式的解析式的类型，设出它的一般形式, ,根根据特殊值，确定相关的系数即可；据特殊值，确定相关的系数即可；(5)(5)赋值法，给变赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式量赋予某些特殊值，从而求出其解析式. . 知能迁移知能迁移2 2 （1 1）已知）已知f f( +1)=l( +1)=lg g x x，求，求f f（x x）；）；(2)(2)已知已知f f( (x x) )是一次函数，且满足是一次函数，且满足3 3f f( (x x+1)-2+1)-2f f( (x x-1) -1) =2 =2x x+17+17，求，求f f（x x）；）；(3)(3)设设f f( (x x) )是是R R上的函数，且上的函数，且f f(0)=1,(0)=1,对任意对任意x x，y yR R 恒有恒有f f( (x x- -y y)=)=f f( (x x)-)-y y(2(2x x- -y y+1)+1)，求，求f f( (x x) )的表达式的表达式. .解解 （1 1）（2 2）设）设f f（x x）= =axax+ +b b（a a00），则，则3 3f f（x x+1+1）-2-2f f（x x-1-1）=3=3axax+3+3a a+3+3b b-2-2axax+2+2a a-2-2b b= =axax+ +b b+5+5a a=2=2x x+17+17，a a=2=2，b b=7=7，故，故f f（x x）=2=2x x+7.+7.（3 3）方法一方法一 f f（x x- -y y）= =f f（x x）- -y y（2 2x x- -y y+1+1），），令令y y= =x x，得，得f f（0 0）= =f f（x x）- -x x（2 2x x- -x x+1+1），），f f（0 0）=1=1，f f（x x）= =x x2 2+ +x x+1.+1.方法二方法二 令令x x=0=0，得，得f f(-(-y y)=)=f f(0)-(0)-y y(-(-y y+1)=+1)=y y2 2- -y y+1,+1,再再令令y y=-=-x x, ,得得f f( (x x)=)=x x2 2+ +x x+1.+1. 题型三题型三 分段函数分段函数【例例3 3】设函数设函数f f( (x x)= )= 若若f f(-4)=(-4)=f f(0),(0),f f(-2)=-2,(-2)=-2,则关于则关于x x的方程的方程f f( (x x)=)=x x解的个数为解的个数为 （）A.1 B.2A.1 B.2C.3C.3D.4D.4 求方程求方程f f( (x x)=)=x x的解的个数，先用待定系的解的个数，先用待定系 数法求数法求f f（x x）的解析式，再用数形结合或解方程）的解析式，再用数形结合或解方程. . 思维启迪思维启迪解析解析 由由f f(-4)=(-4)=f f(0),(0),得得b b=4,=4,再由再由f f(-2)=-2,(-2)=-2,得得c c=2,=2,x x0 0时，显然时，显然x x=2=2是方程是方程f f( (x x)=)=x x的解的解; ;x x00时，方程时，方程f f（x x）= =x x即为即为x x2 2+4+4x x+2=+2=x x，解得，解得x x=-1=-1或或x x=-2.=-2.综上，方综上，方程程f f（x x）= =x x解的个数为解的个数为3.3.答案答案 C 分段函数是一类重要的函数模型分段函数是一类重要的函数模型. .解决分解决分段函数问题，关键要抓住在不同的段内研究问题段函数问题，关键要抓住在不同的段内研究问题. .如如本例，需分本例，需分x x00时，时，f f（x x）= =x x的解的个数和的解的个数和x x00时，时，f f（x x）= =x x的解的个数的解的个数. .探究提高探究提高知能迁移知能迁移3 3 设设 则则f f g g(3)=_,(3)=_, =_.=_. 解析解析 g g(3)=2,(3)=2, f f g g(3)=(3)=f f(2)=32+1=7(2)=32+1=7，7 7题型四题型四 函数的实际应用函数的实际应用【例例4 4】 （1212分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托 车的投入成本为车的投入成本为1 1万元万元/ /辆，出厂价为辆，出厂价为1.21.2万元万元/ /辆，年辆，年 销售量为销售量为1 0001 000辆辆. .本年度为适应市场需求本年度为适应市场需求, ,计划提高计划提高 产品档次，适度增加投入成本产品档次，适度增加投入成本. .若每辆车投入成本增若每辆车投入成本增 加的比例为加的比例为x x(0(0x x1)1)，则出厂价相应提高的比例为，则出厂价相应提高的比例为 0.750.75x x, , 同时预计年销售量增加的比例为同时预计年销售量增加的比例为0.60.6x x. .已知年已知年 利润利润=(=(出厂价出厂价- -投入成本投入成本)年销售量年销售量. .(1)(1)写出本年度预计的年利润写出本年度预计的年利润y y与投入成本增加的比与投入成本增加的比 例例x x的关系式；的关系式；（2 2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例增加的比例x x应在什么范围内？应在什么范围内？ 准确理解题意，构建函数模型准确理解题意，构建函数模型. .解解 （1 1）依题意）依题意, ,本年度每辆摩托车的成本为本年度每辆摩托车的成本为1+1+x x( (万万元元) )，而出厂价为，而出厂价为1.2(1+0.751.2(1+0.75x x) () (万元万元) )，销售量为销售量为1 000(1+0.61 000(1+0.6x x) () (辆辆).).故利润故利润y y= =1.2(1+0.751.2(1+0.75x x)-(1+)-(1+x x) )1 0001 000(1+0.6(1+0.6x x),),4 4分分整理得整理得y y=-60=-60x x2 2+20+20x x+200 (0+200 (0x x1).0,-(1.2-1)1 0000, 8 8分分即即-60-60x x2 2+20+20x x+200-2000,+200-2000,即即3 3x x2 2- -x x0.0.1010分分解得解得00x x , ,适合适合00x x1.1.故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例的比例x x的取值范围是的取值范围是00x x .-3-3 B. B.x x|-3|-3x x22C.C.x x| |x x22D.D.x x|-3|-3-3,-3,N N=x x| |x x2.2.M MN N=x x|-3|-3x x2.11时，时，- -x x=2,=2,x x=-2(=-2(舍去舍去). ). loglog3 32 29.9.函数函数 的定义域为的定义域为_._. 解析解析 要使要使f f( (x x) )有意义，有意义， f f( (x x) )的定义域为的定义域为 x x| |x x44且且x x5.5. x x| |x x44且且x x55三、解答题三、解答题10.10.求下列函数的定义域：求下列函数的定义域： 解解 借助于数轴借助于数轴, ,解这个不等式组解这个不等式组, ,得函数的定义域为得函数的定义域为 (2)-(2)-x x2 2+2+2x x0,0,即即x x2 2-2-2x x0.0. 0 0x x22，函数的定义域为函数的定义域为(0,2).(0,2).11.11.某租赁公司拥有汽车某租赁公司拥有汽车100100辆辆. .当每辆车的月租金为当每辆车的月租金为 3 0003 000元时元时, ,可全部租出可全部租出. .当每辆车的月租金每增加当每辆车的月租金每增加 5050元时，未租出的车将会增加一辆元时，未租出的车将会增加一辆. .租出的车每月租出的车每月 需要维护费需要维护费150150元，未租出的车每辆每月需要维护元，未租出的车每辆每月需要维护 费费5050元元. . (1) (1)当每辆车的月租金定为当每辆车的月租金定为3 6003 600元时，能租出多元时，能租出多 少辆车？少辆车？ (2)(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的 月收益最大？最大月收益是多少？月收益最大？最大月收益是多少？解解 （1 1）当每辆车的月租金定为）当每辆车的月租金定为3 6003 600元时，未元时，未租出的车辆数为租出的车辆数为 ，所以这时租出，所以这时租出了了8888辆车辆车. .（2 2）设每辆车的月租金定为）设每辆车的月租金定为x x元，则租赁公司的月元，则租赁公司的月所以所以, ,当当x x=4 050=4 050时时, ,f f( (x x) )最大最大, ,最大值为最大值为f f(4 050)=(4 050)=307 050. 307 050. 即当每辆车的月租金定为即当每辆车的月租金定为4 0504 050元时，租赁公司的月元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为收益最大，最大月收益为307 050307 050元元. . 12.12.已知已知g g( (x x)=-)=-x x2 2-3,-3,f f( (x x) )是二次函数是二次函数, ,当当x x-1,2-1,2时时, , f f（x x）的最小值为）的最小值为1 1，且，且f f（x x）+ +g g（x x）为奇函数，）为奇函数， 求函数求函数f f（x x）的表达式）的表达式. .解解 设设f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c ( (a a0),0),则则f f( (x x)+)+g g( (x x)=()=(a a-1)-1)x x2 2+ +bxbx+ +c c-3,-3,又又f f( (x x)+)+g g( (x x) )为奇函数，为奇函数，a a=1=1，c c=3.=3.f f（x x）= =x x2 2+ +bxbx+3+3，对称轴，对称轴x x= .= .当当 ，即，即b b-4-4时，时，f f( (x x) )在在-1-1，2 2上为上为减函数，减函数，f f（x x）的最小值为）的最小值为f f（2 2）=4+2=4+2b b+3=1. +3=1.