1.2 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件3充分条件与必要条件充分条件与必要条件 (1)如果如果pq，则p是是q的的 ，q是是p的的 ； (2)如果如果pq，qp，则p是是q的的 4反证法与证命题的逆否命题反证法与证命题的逆否命题 反反证法首先法首先 ，即假定即假定结论 由此出由此出发直至推出直至推出 、 ；证命命题的逆否命的逆否命题，即由，即由的否定推出的否定推出 的的 充分条件充分条件必要条件必要条件充要条件充要条件否定结论否定结论不成立不成立与题设、定义与题设、定义定理相矛盾定理相矛盾结论结论题设题设否定否定1 已知已知p是是r的充分条件而不是必要条件，的充分条件而不是必要条件，q是是r的充分条件，的充分条件，s是是r的必要条件，的必要条件，q 是是s的必要条件的必要条件 现有下列命有下列命题： s是是q的充要条件；的充要条件；p是是q的充分条件，而不是必要条件；的充分条件，而不是必要条件；r是是q的必要条的必要条 件，件， 而不是充分条件；而不是充分条件；綈綈p是是綈綈s的必要条件，的必要条件， 而不是充分条件；而不是充分条件；r是是s的的 充分条件，而不是必要条件充分条件，而不是必要条件 则正确命正确命题的序号是的序号是() A B C D解析：解析：由已知条件可知：由已知条件可知： ，则sq；pq；又；又p s，则綈綈s綈綈p，因此，因此为正确命正确命题 答案：答案：B2若集合若集合P1,2,3,4，Q x|0x5, xR，则() A“xP”是是“xQ”的充分条件但不是必要条件的充分条件但不是必要条件 B“xP”是是“xQ”的必要条件但不是充分条件的必要条件但不是充分条件 C“xP”是是“xQ”的充分必要条件的充分必要条件 D“xP”既不是既不是“xQ”的充分条件也不是的充分条件也不是“xQ”的必要条件的必要条件 答案：答案：A3(2009重庆重庆)命命题“若一个数是若一个数是负数，数，则它的平方是正数它的平方是正数”的逆命的逆命题是是() A“若一个数是若一个数是负数，数，则它的平方不是正数它的平方不是正数” B“若一个数的平方是正数，若一个数的平方是正数，则它是它是负数数” C“若一个数不是若一个数不是负数，数，则它的平方不是正数它的平方不是正数” D“若一个数的平方不是正数，若一个数的平方不是正数，则它不是它不是负数数” 答案：答案：B4“2”是是“函数函数ysin(x)的最小正周期的最小正周期为”的的() A充分非必要条件充分非必要条件 B必要非充分条件必要非充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：本题考查充分必要条件；由于本题考查充分必要条件；由于ysin(x)的最小正周期为的最小正周期为 T ，故其最小正周期若为，故其最小正周期若为，则，则2，故，故2是其最小周期为是其最小周期为 的充分但不必要条件的充分但不必要条件 答案：答案：A5一个整数的平方是偶数，一个整数的平方是偶数，则这个整数是偶数；个整数是偶数；是无理数；是无理数；经过平面平面 内一点和平面外一点的直内一点和平面外一点的直线一定不在平面内；一定不在平面内；若向量若向量a、b是平面向量的是平面向量的 一一组基底，基底，则ab与与ab也是平面向量的一也是平面向量的一组基底基底 其中正确命其中正确命题的代号是的代号是_ 解析：解析：可用反证法证明，可用反证法证明，都为正确命题都为正确命题 答案：答案： 【例【例2】 若若ab0，试证试证a3b3aba2b20成立的充要条件是成立的充要条件是ab1.证明证明：先先证必要性：必要性：a3b3aba2b20，(ab)(a2abb2)(a2abb2)0，即，即(ab1)(a2abb2)0，又又ab0， a2abb2 0，因此，因此ab10，即，即ab1. 再再证充分性：充分性：ab1，即，即ab10，(ab1)(a2abb2)0.即即a3b3aba2b20.变式变式2.已知已知a、b是实数是实数，求证：，求证：a4b42b21成立的充分条件是成立的充分条件是a2b21.该条件该条件 是否为必要条件是否为必要条件？试证明你的结论试证明你的结论 证明：证明：a2b21，a4b42b2(a2b2)(a2b2)2b2(a2b2)2b2 a2b21. 即即a4b42b21成立的充分条件是成立的充分条件是a2b21. 另一方面又另一方面又a4b42b21，即为即为a4(b42b21)0.a4(b21)20， (a2b21)(a2b21)0，又又a2b210，a2b210，即即a2b21. 因此因此a2b21既是既是a4b42b21的充分条件，也是的充分条件，也是a4b42b21的必要条件的必要条件.“正正难则反反”是是常常见的的数数学学思思想想方方法法，比比如如证明明一一个个数数是是无无理理数数、一一个个函函数数不不是是周周期期函函数数等等问题时，可可考考虑使使用用反反证法法，反反证法法在在立立体体几几何何定定理理的的推推导过程程中中也也有有着着较为广泛的广泛的应用用【例【例3】已已知函数知函数f(x)是是(，)上的增函数，上的增函数，a、bR，对命题，对命题“若若ab0， 则则f(a)f(b)f(a)f(b)” (1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论解答：解答：(1)逆逆命命题是：若是：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0为真命真命题用反用反证法法证明：假明：假设ab0，则ab，ba.f(x)是是(，)上的增函数，上的增函数，则f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)，这与与题设相矛盾，所以逆命相矛盾，所以逆命题为真真(2)逆否命逆否命题：若：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab1 D綈綈p：xR，sin x1 解析：解析：命题命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题是全称命题，全称命题的否定是特称命题 答案：答案：C2设p、q是两个命是两个命题，则复合命复合命题“pq为真，真，pq为假假”的充要条件是的充要条件是() Ap、q中至少有一个中至少有一个为真真 Bp、q中至少有一个中至少有一个为假假 Cp、q中有且只有一个中有且只有一个为真真 Dp为真、真、q为假假 答案：答案：C3下列命下列命题： 有的有的实数是无限不循数是无限不循环小数；小数；有些三角形不是等腰三角形；有些三角形不是等腰三角形；有的菱有的菱 形是正方形；形是正方形；2x1(xR)是整数；是整数；对所有的所有的xR，x3；对任意任意 一个一个xZ,2x21为奇数奇数 其中假命其中假命题的个数的个数为() A1 B2 C3 D5 答案：答案：B4下列命下列命题的否定的否定错误的是的是() Ap：能被：能被3整除的数是奇数；整除的数是奇数；綈綈p：存在一个能被：存在一个能被3整除的数不是奇数整除的数不是奇数 Bp：任意四：任意四边形的四个形的四个顶点共点共圆；綈綈p：存在一个四：存在一个四边形的四个形的四个顶点不共点不共圆 Cp：有的三角形是正三角形；：有的三角形是正三角形；綈綈p：所有的三角形都不是正三角形：所有的三角形都不是正三角形 Dp： x R，x22x20，綈綈p：当：当x22x20时，x R 答案：答案：D 判断命判断命题真假的一般步真假的一般步骤： (1)首先确定新命首先确定新命题的构成形式；的构成形式；(2)判断出用判断出用逻辑联结词联结的每个命的每个命题的真假；的真假；(3)根据真根据真值表判断表判断这个复合命个复合命题的真假的真假【例【例1】 判断下列命题的真假判断下列命题的真假(1) 属于集合属于集合Q，也属于集合，也属于集合R；(2)矩形的对角线互相垂直或相等；矩形的对角线互相垂直或相等；(3)不等式不等式|x2|0没有实数解没有实数解思思路路点点拨拨：先先确确定定组组成成复复合合命命题题的的每每个个简简单单命命题题的的真真假假，再再根根据据真真值值表表判判断断复复合合命题的真假命题的真假解解答答：(1)此此命命题为“pq”的的形形式式，其其中中p： Q，q： R，因因命命题p为假假命命题，命命题q为真命真命题，所以命，所以命题“pq”为假命假命题故原命故原命题为假命假命题(2)此此命命题为“pq”的的形形式式，其其中中p：矩矩形形的的对角角线互互相相垂垂直直，q：矩矩形形的的对角角线相相等等，因因命命题p为假假命命题，命命题q为真真命命题，所所以以pq为真真命命题，故故原原命命题为真真命命题(3)此此命命题是是“綈綈p”的的形形式式，其其中中p：不不等等式式|x2|0有有实数数解解因因为x2是是该不不等式的一个解，所以命等式的一个解，所以命题p为真命真命题，即，即綈綈p为假命假命题所以原命所以原命题为假命假命题.1. 要要判判断断一一个个全全称称命命题是是真真命命题，必必须对限限定定集集合合M中中的的每每个个元元素素x验证p(x)成成立立；但但要要判判断断全全称称命命题为假假命命题，只只要要能能举出出集集合合M中中的的一一个个xx0，使得使得p(x0)不成立即可不成立即可2要判断一个特称命要判断一个特称命题为真命真命题，只要在限定集合，只要在限定集合M中，至少能找到一个中，至少能找到一个xx0，使，使p(x0)成立即可；否成立即可；否则，这一特称命一特称命题就是假命就是假命题【例【例2】 判判断以下命断以下命题的真假：的真假： (1)xR，x2x10； (2)xQ， 是有理数；是有理数； (3)，R，使，使sin()sinsin； (4)x，yZ，使，使3x2y10； (5)a，bR，方程，方程axb0恰有一个解恰有一个解 思维点拨：思维点拨：(1)(2)(5)中含全称量词，使每一个中含全称量词，使每一个x都成立才为真；都成立才为真；(3)(4)中含中含 特称量词，存在一个特称量词，存在一个x0成立即为真成立即为真 解答：解答：(1)x2x1 ，命命题为真命真命题 (2)真命真命题 (3)0时，sin()0，sin sin 0， sin()sin sin，命命题为真命真命题 (4)xy10时，3x2y10，命命题为真命真命题 (5)a0，b1时，axb10，a0，b1时，axb0无解，无解， 命命题为假命假命题变式变式2. (2009辽宁辽宁)下下列列4个命个命题 p1：x(0，)， ；p2：x(0,1)， p3：x(0，)， ；p4：x ， 其中的真命其中的真命题是是() Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4 解析：解析：对于对于p1，当，当x(0，)时，总有时，总有 成立，故是假命题；对于成立，故是假命题；对于p2，当，当x 时，时，1 成立，故成立，故是真命题；对于是真命题；对于p3，结合指数函数，结合指数函数y 与对数函数与对数函数 在在(0，)上的图象可以判断其是假命题；对于上的图象可以判断其是假命题；对于p4，结合指数函数，结合指数函数y 与对数函数与对数函数 y 在在 上的图象可以判断其是真命题上的图象可以判断其是真命题 答案：答案：D对一个命一个命题的否定是全部否定，而不是部分否定：的否定是全部否定，而不是部分否定：(1)全全(特特)称命称命题的否定与一般的否定与一般命命题的否定有着一定的区的否定有着一定的区别，全，全(特特)称命称命题的否定是将其全称量的否定是将其全称量词改改为存在量存在量词(或存在量或存在量词改改为全称量全称量词)，并把，并把结论否定；而命否定；而命题的否定，的否定，则直接否定直接否定结论即即可可(2)要判断要判断“綈綈p”的真假，可以直接判断，也可以判断的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假，利用的真假，利用p与与“綈綈p”的真假相反判断的真假相反判断【例【例3】 写写出下列命出下列命题的的“否定否定”，并判断其真假，并判断其真假 (1)p：xR，x2x 0； (2)q：所有的正方形都是矩形；：所有的正方形都是矩形； (3)r：xR，x22x20； (4)s：至少有一个：至少有一个实数数x，使，使x310. 思维点拨：思维点拨：解决这类问题一定要抓住决定命题性质的量词，从量词的解决这类问题一定要抓住决定命题性质的量词，从量词的 否定入手，书写命题的否定否定入手，书写命题的否定 解答：解答：(1)綈綈p：xR，x2x 0，是假命，是假命题， 这是因是因为xR， 恒成立恒成立 (2)綈綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命：至少存在一个正方形不是矩形，假命题 (3)綈綈r：xR，x22x20，真命，真命题，这是由于是由于xR，x22x2 (x1)2110成立成立 (4)綈綈s：xR，x310，假命，假命题这是由于是由于x1时，x310. 1一个命题的否定与否命题的区别一个命题的否定与否命题的区别 否否命命题题与与命命题题的的否否定定不不是是同同一一概概念念，否否命命题题是是对对原原命命题题“若若p则则q”既既否否定定其其 条件，又否定其结论；而命题条件，又否定其结论；而命题p的否定即非的否定即非p，只是否定命题的结论，只是否定命题的结论 命命题题的的否否定定与与原原命命题题的的真真假假总总是是相相对对立立的的，即即一一真真一一假假；而而否否命命题题与与原原命命题题的真假无必然联系的真假无必然联系 另外，在写另外，在写“非非p”形式时常用以下表格中的否定词语：形式时常用以下表格中的否定词语：【方法规律】【方法规律】 正面词语正面词语大于大于()是是都是都是所有的所有的任意一任意一个个至少一至少一个个反面词语反面词语不大于不大于()不是不是不都是不都是至少一个至少一个不不某个不某个不一个也一个也没有没有2. 逻辑联结词与集合间的关系逻辑联结词与集合间的关系 逻辑联结词逻辑联结词“或或”“且且”“非非”与集合中的并集、交集、补集有着相近的关系，与集合中的并集、交集、补集有着相近的关系，要注要注 意类比其中对逻辑联结词意类比其中对逻辑联结词“或或”的理解是难点的理解是难点(“或或”有三层含义，以有三层含义，以“p或或q为真为真” 为例：一是为例：一是p成立但成立但q不成立，二是不成立，二是p不成立但不成立但q成立，三是成立，三是p成立且成立且q也成立也成立). (2009宁夏、海南宁夏、海南)有有四个关于三角函数的命四个关于三角函数的命题：p1：xR， ；p2：x，yR，sin(xy)sin xsin y；p3：x0，, sin x；p4：sin xcos yxy .其中的假命其中的假命题是是()Ap1，p4Bp2，p4Cp1，p3Dp2，p3解析：解析：(1)由命题由命题p1：xR， 表示特称命题，由于表示特称命题，由于 ，所以命题，所以命题p1是假命题；是假命题；(2)因为命题因为命题p2：x、yR，sin(xy)sin xsin y表表示特称命题，而示特称命题，而sin(00)sin0sin 0，所以命题，所以命题p2是真命题；是真命题；(3)因为命题因为命题p3：x0，, sin x表示全称命题，而对于表示全称命题，而对于x0，时，都有时，都有 成立，所以命题成立，所以命题p3是真命题；是真命题；(4)由命题由命题p4：sin xcos yxy 表示全称命题，当表示全称命题，当sin xcos y时，时，xyk (kZ)，所以命题，所以命题p4是假命题是假命题故选故选A.【答题模板】【答题模板】 答案：答案：A