第二节 证明不等式的基本方法 三年三年3 3考考 高考指数高考指数:1.1.能够运用平均值不等式求一些特定函数的极值能够运用平均值不等式求一些特定函数的极值. .2.2.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证法、放缩法. .1.1.以一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等知识为背景以一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等知识为背景考查不等式的常用证明方法考查不等式的常用证明方法. .2.2.与数列等知识综合考查不等式的其他证明方法与数列等知识综合考查不等式的其他证明方法. .1.1.三个正数的算术三个正数的算术几何平均值不等式几何平均值不等式(1)(1)如果如果a,b,cRa,b,cR+ +, ,那么那么a a3 3+b+b3 3+c+c3 3 3abc3abc，当且仅当，当且仅当_时，等号成立时，等号成立. .(2)(2)如果如果a,b,c_a,b,c_，那么，那么 _ _ ，当且仅当，当且仅当_时，等号成立时，等号成立. .即：三个正数的算术平均值即：三个正数的算术平均值_它们的几何平均值它们的几何平均值. .a=b=ca=b=cR R+ +a=b=ca=b=c不小于不小于(3)(3)对于对于n n个正数个正数a a1 1,a,a2 2, ,，a an n，它们的算术平均值，它们的算术平均值_它们它们的几何平均值，即的几何平均值，即 _ _ ，当且仅当，当且仅当_时，等号成立时，等号成立. .不小于不小于a a1 1=a=a2 2= =a=an n【即时应用即时应用】(1)(1)思考：满足不等式思考：满足不等式 成立的成立的a,b,ca,b,c的取值范围的取值范围分别是什么？分别是什么？提示：提示：a,b,ca,b,c的取值范围分别为的取值范围分别为a0,b0,c0.a0,b0,c0.(2)(2)若若a2,b3,a2,b3,则则 的最小值为的最小值为_._.【解析解析】a2,b3,a-20,b-30,a2,b3,a-20,b-30,( (当且仅当当且仅当a=3,b=4a=3,b=4时等号成立时等号成立).).答案：答案：8 82.2.比较法比较法(1)(1)作差比较法：作差比较法：理论依据：理论依据：ab ab _; ; ab a0a-b0a-b0a-b0, 1b0, 1_; ; b0, 0, bababab0, , ,ab0, , ,则则x x、y y的大小关系的大小关系是是x_y.(x_y.(填填“ ”、“ b0,x0,y0,ab0,x0,y0,= = = ，ab0,ab0, , ,故故xy.xb0,ab0,x-y=x-y= = =xy.xy.答案：答案： b0,ab0,则则 ( )( )若若ab0,ab0,则则 ( )( )若若ab0,ab0,则则 ( )( )已知已知xR,xR,则则 ( )( )(2)(2)设设0x1,0xb0,ab0,则则 此式错误；此式错误；ab0ab0，则，则 , ,进而可得进而可得 , ,所以可得所以可得 正正确；确；= =故故错误；错误；当取等号时当取等号时, ,即即 此时需此时需x x2 2+2=1,+2=1,显然不成立，显然不成立，因此取不到等号，故因此取不到等号，故错误错误. .(2)(2)由由a a2 2=2x,b=2x,b2 2=1+x=1+x2 2+2xa+2xa2 2,a0,b0,a0,b0得得ba.ba.又又 得得cb,cb,知知c c最大最大. .(3)(3)方法一：方法一：a=2- 0,c0,a=2- 0,c0,再由再由b b2 2-c-c2 2= = 得得bc,abcbc,abba.cba.方法二：由已知得方法二：由已知得a0,c0,a0,c0,又又 ,21, ,21, 即即bc.bc.abc,abba.cba.答案：答案：(1)(1) (2)c (3)cba (2)c (3)cba4.4.分析法分析法(1)(1)定义：从定义：从_出发，逐步寻求使它成立的充分条出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为件，直至所需条件为_或一个明显成立的事实或一个明显成立的事实( (定义、定义、公理或已证明的定理、性质等公理或已证明的定理、性质等) )，从而得出要证的命题成立，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法这种证明方法叫做分析法. .这是一种这是一种_的思考和证明方的思考和证明方法法. .要证的结论要证的结论已知条件已知条件执果索因执果索因(2)(2)思路：分析法的思索线路是思路：分析法的思索线路是“执果索因执果索因”，即从要证的不，即从要证的不等式出发，不断用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已等式出发，不断用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止知不等式为止. .【即时应用即时应用】(1)(1)若若|x|1,|y|1,|x|1,|y| ”、“ b,ab,则则 . .”完成下列证明过程完成下列证明过程. .证明证明:b+m0,b0,:b+m0,b0,要证原不等式成立，只需证明要证原不等式成立，只需证明b(a+m)a(b+m),b(a+m)0,m0,只需证明只需证明ba,ba,由已知显然成立由已知显然成立.原不等式成立原不等式成立. .【解析】【解析】(1)(1)要比较要比较|1-xy|1-xy|与与|x-y|x-y|的大小，只需要比较的大小，只需要比较|1-xy|1-xy|2 2与与|x-y|x-y|2 2的大小的大小. .|1-xy|1-xy|2 2-|x-y|-|x-y|2 2=(1-xy)=(1-xy)2 2-(x-y)-(x-y)2 2=1-2xy+x=1-2xy+x2 2y y2 2-x-x2 2+2xy-y+2xy-y2 2=1+x=1+x2 2y y2 2-x-x2 2-y-y2 2=(1-x=(1-x2 2)(1-y)(1-y2 2).).又又|x|1,|y|1,(1-x|x|1,|y|0,)0,即即|1-xy|1-xy|2 2-|x-y|-|x-y|2 20,|1-xy|x-y|.0,|1-xy|x-y|.(2)b(a+m)a(b+m)(2)b(a+m)a(b+m)与与bmambmam等价，等价，因此欲证因此欲证b(a+m)a(b+m)b(a+m)a(b+m)成立，成立，只需证明只需证明bmambm (2)bm (2)bm0,b0,M= ,N= ,a0,b0,M= ,N= ,则则M M与与N N的大小关系的大小关系是是_._.(2)(2)设设M= ,M= ,则则M M与与1 1的大小关系为的大小关系为_._.(3)(3)已知已知|a|b|, |a|b|, 则则m,nm,n之间的大小关系是之间的大小关系是_._.【解析解析】(1)a0,b0,(1)a0,b0,N=N= =M.= =M.MN.M2+121010,2,21010+22+221010, ,2,21111-12-121010, ,M= M= =1. =1.(3)(3)因为因为|a|-|b|a-b|,|a|-|b|a-b|,所以所以 1, 1,即即m1.m1.又因为又因为|a+b|a|+|b|,|a+b|a|+|b|,所以所以 1, 1,即即n1,n1,所以所以m1n.m1n.答案：答案：(1)MN (2)M1(1)MN (2)M0,b0a0,b0时，时，(3)(2012(3)(2012武汉模拟武汉模拟) )已知已知ab,ab,求证：求证：a a4 4+6a+6a2 2b b2 2+b+b4 44ab(a4ab(a2 2+b+b2 2).).【解题指南解题指南】第第(1)(3)(1)(3)小题的不等式，可以采用作差比较法；小题的不等式，可以采用作差比较法；而第而第(2)(2)小题是幂指数型的不等式，两端都是正数，可考虑采用小题是幂指数型的不等式，两端都是正数，可考虑采用作商比较法作商比较法. .【规范解答规范解答】(1)(1)方法一：方法一：(1+2x(1+2x4 4)-(2x)-(2x3 3+x+x2 2) )=2x=2x3 3(x-1)-(x+1)(x-1)(x-1)-(x+1)(x-1)=(x-1)(2x=(x-1)(2x3 3-x-1)=(x-1)(2x-x-1)=(x-1)(2x3 3-2x+x-1)-2x+x-1)=(x-1)=(x-1)2x(x2x(x2 2-1)+(x-1)-1)+(x-1)=(x-1)=(x-1)2 2(2x(2x2 2+2x+1)+2x+1)=(x-1)=(x-1)2 22(x+ )2(x+ )2 2+ + 0,0,1+2x1+2x4 42x2x3 3+x+x2 2. .方法二：方法二：(1+2x(1+2x4 4)-(2x)-(2x3 3+x+x2 2) )=x=x4 4-2x-2x3 3+x+x2 2+x+x4 4-2x-2x2 2+1+1=(x-1)=(x-1)2 2x x2 2+(x+(x2 2-1)-1)2 20,0,1+2x1+2x4 42x2x3 3+x+x2 2. .(2)a0,b0,a(2)a0,b0,aa ab bb b0, 0, 当当a=ba=b时，时，当当ab0ab0时，时，当当ba0ba0时，时，综上可知：当综上可知：当a0,b0a0,b0时，时，(3)a(3)a4 4+6a+6a2 2b b2 2+b+b4 4-4ab(a-4ab(a2 2+b+b2 2) )=a=a4 4-2a-2a2 2b b2 2+b+b4 4-4ab(a-4ab(a2 2-2ab+b-2ab+b2 2) )=(a=(a2 2-b-b2 2) )2 2-4ab(a-b)-4ab(a-b)2 2=(a+b)=(a+b)2 2(a-b)(a-b)2 2-4ab(a-b)-4ab(a-b)2 2=(a-b)=(a-b)2 2(a(a2 2+2ab+b+2ab+b2 2-4ab)=(a-b)-4ab)=(a-b)2 2(a-b)(a-b)2 2=(a-b)=(a-b)4 4, ,ab,(a-b)ab,(a-b)4 40,0,由此可知原命题成立由此可知原命题成立. .【反思反思感悟感悟】1.1.“变形变形”是作差比较法证明不等式的关键，是作差比较法证明不等式的关键，“变形变形”的目的的目的在于判断差的符号在于判断差的符号. .一般通过因式分解或配方将差变形为几个因一般通过因式分解或配方将差变形为几个因式的积或配成几个平方和的形式，当差是二次三项式时，有时式的积或配成几个平方和的形式，当差是二次三项式时，有时亦可用判别式来判断符号，若遇到结果符号不能确定的情况，亦可用判别式来判断符号，若遇到结果符号不能确定的情况，这时要对差式进行分类讨论这时要对差式进行分类讨论. .2.(1)2.(1)作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明明. .(2)(2)作商比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等作商比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明，要注意分母的符号式证明，要注意分母的符号. . 用综合法证明不等式用综合法证明不等式【方法点睛方法点睛】1.1.综合法证明的框图表示综合法证明的框图表示用用P P表示已知条件或已有的不等式，用表示已知条件或已有的不等式，用Q Q表示所要证的结论，则表示所要证的结论，则综合法可用框图表示为综合法可用框图表示为P PQ Q1 1 Q Q1 1Q Q2 2 Q Q2 2Q Q3 3 Q Qn nQ Q2.2.利用利用“综合法综合法”证明不等式的常用结论证明不等式的常用结论(1)|a|0,a(1)|a|0,a2 20,(a0,(ab)b)2 20(a,bR);0(a,bR);(2)a(2)a2 2+b+b2 22ab2ab，(a+b)(a+b)2 24ab, (a4ab, (a，bRbR，当且仅，当且仅当当a=ba=b时取等号时取等号) )；(3) (a(3) (a0,b0,b0,0,当且仅当当且仅当a=ba=b时取等号时取等号) )；(4)a+ 2(a(4)a+ 2(a0)0)， 2(ab2(ab0), -2(ab0), -2(ab0).0).【例【例2 2】(1)(2012(1)(2012南通模拟南通模拟) )已知已知x,y,zx,y,z均为正数均为正数. .求证：求证： (2)(2)已知已知a,b,ca,b,c都是实数，都是实数，求证：求证：a a2 2+b+b2 2+c+c2 2 (a+b+c) (a+b+c)2 2ab+bc+ca.ab+bc+ca.(3)(3)设设a ab bc,c,求证求证: :【解题指南解题指南】第第(1)(1)、(3)(3)小题，从已知出发，借助不等式的性小题，从已知出发，借助不等式的性质、定理质、定理, ,根据基本不等式根据基本不等式, ,经过逐步的逻辑推理，推导出要证经过逐步的逻辑推理，推导出要证明的结论明的结论. .第第(2)(2)小题，以小题，以a a2 2+b+b2 22ab(a,bR)2ab(a,bR)为根据，利用综为根据，利用综合法证明合法证明. .【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为x,y,zx,y,z均为正数，所以均为正数，所以同理可得同理可得当且仅当当且仅当x=y=zx=y=z时，以上三式等号都成立时，以上三式等号都成立. .将上述三个不等式两边分别相加，并除以将上述三个不等式两边分别相加，并除以2 2，得，得(2)a,bR,a(2)a,bR,a2 2+b+b2 22ab.2ab.b,cR,bb,cR,b2 2+c+c2 22bc.2bc.c,aR,cc,aR,c2 2+a+a2 22ca.2ca.将以上三个不等式相加得将以上三个不等式相加得2(a2(a2 2+b+b2 2+c+c2 2)2(ab+bc+ca) )2(ab+bc+ca) 即即a a2 2+b+b2 2+c+c2 2ab+bc+ca ab+bc+ca 在不等式在不等式的两边同时加上的两边同时加上“a a2 2+b+b2 2+c+c2 2”，得，得3(a3(a2 2+b+b2 2+c+c2 2)(a+b+c)(a+b+c)2 2, ,即即a a2 2+b+b2 2+c+c2 2 (a+b+c) (a+b+c)2 2 在不等式在不等式的两边同时加上的两边同时加上“2(ab+bc+ca)2(ab+bc+ca)”, ,得得(a+b+c)(a+b+c)2 23(ab+bc+ca),3(ab+bc+ca),即即 (a+b+c)(a+b+c)2 2ab+bc+ca ab+bc+ca 由由得得a a2 2+b+b2 2+c+c2 2 (a+b+c) (a+b+c)2 2ab+bc+ca.ab+bc+ca.(3)(3)方法一：方法一：a-c=(a-b)+(b-c),a-c=(a-b)+(b-c),又又a ab bc,c,则则a-ba-b0,b-c0,b-c0,a-c0,a-c0.0.因此有因此有= =(a-b)+(b-c)(a-b)+(b-c)方法二：设方法二：设a-b=x,b-c=y,a-b=x,b-c=y,abc,x0,y0,a-c=x+y0,abc,x0,y0,a-c=x+y0,原不等式即原不等式即原不等式成立原不等式成立. .【反思【反思感悟感悟】1.1.用综合法证明不等式可利用已经证过的不等式作为基础，再用综合法证明不等式可利用已经证过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式，但要注意防止在推运用不等式的性质推导出所要证的不等式，但要注意防止在推证中盲目套用公式和错用性质证中盲目套用公式和错用性质. .2.2.含有条件的不等式的证明问题，要将条件和结论结合起来，含有条件的不等式的证明问题，要将条件和结论结合起来，寻找变形的思路，构造出基本不等式的形式，以正确使用基本寻找变形的思路，构造出基本不等式的形式，以正确使用基本不等式不等式. .3.3.通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之，亦可从明显的、知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之，亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是前者是“执果索因执果索因”，后者是，后者是“由因导果由因导果”，证明时往往联合，证明时往往联合使用分析法与综合法，两面夹击，相辅相成，达到证明不等式使用分析法与综合法，两面夹击，相辅相成，达到证明不等式的目的的目的. . 用分析法证明不等式用分析法证明不等式【方法点睛方法点睛】用分析法证明不等式的方法技巧用分析法证明不等式的方法技巧当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效. .另外另外对于恒等式的证明，也同样可以运用对于恒等式的证明，也同样可以运用. .【提醒提醒】用分析法证明不等式时，不要把用分析法证明不等式时，不要把“逆求逆求”错误地作为错误地作为“逆推逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思想是逆向思维，因此在证题要条件，也就是说，分析法的思想是逆向思维，因此在证题时，应正确使用时，应正确使用“要证要证”、“只需证只需证”这样的连接这样的连接“关键词关键词”. .【例例3 3】设设a,b,c0,a,b,c0,且且ab+bc+ca=1.ab+bc+ca=1.求证：求证：(1)a+b+c ;(1)a+b+c ;(2) (2) 【解题指南解题指南】本题是条件不等式，从已知式和待证式的结论较本题是条件不等式，从已知式和待证式的结论较难用比较法证明，因此可利用分析法证明难用比较法证明，因此可利用分析法证明. .【规范解答规范解答】(1)(1)要证要证a+b+c ,a+b+c ,由于由于a,b,c0,a,b,c0,因此只需证明因此只需证明(a+b+c)(a+b+c)2 23,3,即证：即证：a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2(ab+bc+ca)3,+2(ab+bc+ca)3,而而ab+bc+ca=1,ab+bc+ca=1,故需证明故需证明:a:a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2(ab+bc+ca)3(ab+bc+ca).+2(ab+bc+ca)3(ab+bc+ca).即证：即证：a a2 2+b+b2 2+c+c2 2ab+bc+ca.ab+bc+ca.而这可以由而这可以由ab+bc+caab+bc+ca=a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2( (当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时等号成立时等号成立) )证得证得. .原不等式成立原不等式成立. .(2) (2) 在在(1)(1)中已证中已证a+b+c .a+b+c .因此要证原不等式成立，只需证明因此要证原不等式成立，只需证明即证即证即证即证而而 ab+bc+ca(a=b=c= ab+bc+ca(a=b=c= 时等号成立时等号成立),),原不等式成立原不等式成立. .【反思反思感悟感悟】1.1.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆析法证明的关键是推理的每一步必须可逆. .2.2.分析法易于寻找解题思路，其步骤中相应的语言叙述不可少分析法易于寻找解题思路，其步骤中相应的语言叙述不可少( (比如比如“要证要证”“”“只需证只需证”“”“即证即证”),),否则是错误否则是错误的，有时也用的，有时也用“”代替语言叙述代替语言叙述. .3.3.分析法执果索因，利于思考分析法执果索因，利于思考; ;综合法由因导果，宜于表达，适综合法由因导果，宜于表达，适合人们的思维习惯，凡是能用分析法证明的不等式，一定可以合人们的思维习惯，凡是能用分析法证明的不等式，一定可以用综合法证明用综合法证明. .因此，我们做题时，通常先用分析法探求证题途因此，我们做题时，通常先用分析法探求证题途径，在解答问题时用综合法书写径，在解答问题时用综合法书写. . 用反证法证明不等式用反证法证明不等式【方法点睛方法点睛】1.1.反证法的主要适用情形反证法的主要适用情形(1)(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰的线索不够清晰; ;(2)(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只研究一种或很少的几种情形面进行证明，只研究一种或很少的几种情形. .2.2.反证法的证明步骤反证法的证明步骤(1)(1)假设：作出与命题结论相反的假设；假设：作出与命题结论相反的假设；(2)(2)归谬：在假设的基础上，经过推理，导出矛盾的结果；归谬：在假设的基础上，经过推理，导出矛盾的结果；(3)(3)结论：肯定原命题的正确性结论：肯定原命题的正确性. .【提醒提醒】(1)(1)用反证法证明不等式，在否定了原命题的不等关系用反证法证明不等式，在否定了原命题的不等关系后，所得的数量关系一般不止一种情形后，所得的数量关系一般不止一种情形( (因为因为“ ”的反面是的反面是“”，而不单是，而不单是“ ”) )，在证明时切勿遗漏，在证明时切勿遗漏. .(2)(2)证明过程一定要用证明过程一定要用“假设假设”，否则不叫反证法，否则不叫反证法. .(3)(3)常用在直接证明比较困难或所证结论涉及常用在直接证明比较困难或所证结论涉及“不可能不可能”、“不不是是”、“至少至少”、“至多至多”、“唯一唯一”等字眼时的题目等字眼时的题目. .【例例4 4】已知已知a a，b b，cRcR，f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c.+bx+c.若若a+c=0a+c=0，f(x)f(x)在在-1-1，11上最大值为上最大值为2 2，最小值为，最小值为 ，求证求证:a0:a0且且【解题指南解题指南】直接证明直接证明a0a0且且 比较困难，可考虑从反面比较困难，可考虑从反面入手，运用反证法，导出矛盾，从而证得结论入手，运用反证法，导出矛盾，从而证得结论. .【规范解答规范解答】由由a+c=0a+c=0得得c=-ac=-a，f(x)=axf(x)=ax2 2+bx-a.+bx-a.假设假设a=0a=0或或(1)(1)由由a=0a=0得，得，f(x)=bxf(x)=bx，依题意知，依题意知b0b0，又，又f(x)f(x)在在-1-1，11上是上是单调函数，单调函数，f(x)f(x)的最大值为的最大值为|b|b|，最小值为，最小值为-|b|.-|b|.于是于是|b|=2|b|=2，-|b|= -|b|= 显然矛盾，故显然矛盾，故a0.a0.(2)(2)由由 得，得， 且且a0a0，故故f(x)f(x)在在-1-1，11上单调，其最大值为上单调，其最大值为|b|b|，最小值为，最小值为-|b|-|b|，由由(1)(1)知，这是不可能的，所以知，这是不可能的，所以 不成立不成立. .综合综合(1)(2)(1)(2)可知，假设不成立，故可知，假设不成立，故a0a0且且 【反思反思感悟感悟】适宜用反证法证明的数学命题适宜用反证法证明的数学命题结论本身以否定形式出现的一类命题；结论本身以否定形式出现的一类命题；关于唯一性、存在性的命题；关于唯一性、存在性的命题；结论以结论以“至多至多”“”“至少至少”等形式出现的命题等形式出现的命题. . 用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式【方法点睛方法点睛】1.1.放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧主要有放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧主要有(1)(1)不等式的传递性；不等式的传递性；(2)(2)等量加不等量为不等量；等量加不等量为不等量；(3)(3)同分子同分子( (母母) )异分母异分母( (子子) )的两个分式大小的比较的两个分式大小的比较. .缩小分母、缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和时放缩有时需便于求和. .2.2.放缩法的常用措施放缩法的常用措施(1)(1)舍去或加上一些项，如舍去或加上一些项，如a a2 2+a+1 +a+1 等等; ;(2)(2)将分子或分母放大将分子或分母放大( (缩小缩小) )，如，如 等等. .(3)(3)利用绝对值不等式的性质，如利用绝对值不等式的性质，如|a+b|a|+|b|a+b|a|+|b|等等. .【提醒提醒】放缩法在不等式的证明中几乎处处存在，放缩法在不等式的证明中几乎处处存在，“放放”和和“缩缩”均有一个度，均有一个度，“放放”和和“缩缩”的方向与的方向与“放放”和和“缩缩”的量的大小是由题目的条件和结论分析得出的的量的大小是由题目的条件和结论分析得出的. .【例例5 5】设设a,ba,b是不相等的正数，且是不相等的正数，且a a3 3-b-b3 3=a=a2 2-b-b2 2, ,求证：求证：1a+b .1a+b4ab4ab等不等式将已知等式进行放缩等不等式将已知等式进行放缩. .【规范解答】【规范解答】a0,b0a0,b0且且ab,ab,aa3 3-b-b3 3=a=a2 2-b-b2 2可化为可化为a a2 2+ab+b+ab+b2 2=a+b.=a+b.(a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2aa2 2+ab+b+ab+b2 2=a+b.=a+b.a+b1.a+b1.又又(a+b)(a+b)2 24ab4ab，a+b=aa+b=a2 2+b+b2 2+ab=(a+b)+ab=(a+b)2 2-ab(a+b)-ab(a+b)2 2- (a+b)- (a+b)2 2. .即即 (a+b) (a+b)2 2a+ba+b，a+b ,1a+b .a+b ,1a+b0)(a0)，方程，方程f(x)-x=0f(x)-x=0的两根的两根x x1 1、x x2 2满足满足0x0x1 1xx2 2 . .(1)(1)当当x(0,xx(0,x1 1) )时，求证：时，求证：xf(x)xxf(x)x1 1；(2)(2)设函数设函数f(x)f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=xx=x0 0对称，对称，证明证明x x0 0 . .【解题指南解题指南】(1)(1)构造函数，利用作差法求解构造函数，利用作差法求解. .(2)(2)利用对称轴化简求解利用对称轴化简求解. .【规范解答规范解答】(1)(1)令令F(x)=f(x)-x.F(x)=f(x)-x.xx1 1,x,x2 2是方程是方程f(x)-x=0f(x)-x=0的根，的根，F(x)=a(x-xF(x)=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2). ). 2 2分分当当x(0,xx(0,x1 1) )时，由时，由x x1 1x0.)0.又又a0,F(x)=a(x-xa0,F(x)=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)0)0，即即xf(x). xf(x). 4 4分分xx1 1-f(x)=x-f(x)=x1 1- -x+F(x)x+F(x)=x=x1 1-x-a(x-x-x-a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) )=(x=(x1 1-x)-x)1+a(x-x1+a(x-x2 2) ), ,又又0xx0xx1 1xx2 2 0-x0，1+a(x-x1+a(x-x2 2)=1+ax-ax)=1+ax-ax2 21-ax1-ax2 20.0.xx1 1-f(x)0.-f(x)0.由此，得由此，得f(x)xf(x)x1 1. .从而从而xf(x)xxf(x)x1 1. . 8 8分分(2)(2)据题意，知据题意，知xx1 1,x,x2 2是方程是方程f(x)-x=0f(x)-x=0，即即axax2 2+(b-1)x+c=0+(b-1)x+c=0的根，的根，x x1 1+x+x2 2= = 10 10分分axax2 21,x1,x0 0 . bc,abc,则下列不等式成立的是则下列不等式成立的是 ( )( )(A) (B) (A) (B) (C)acbc (D)acbc (D)ac0,b-c0,a-cb-c0,B.a-c0,b-c0,a-cb-c0,2.(20122.(2012江门模拟江门模拟) )某同学准备用反证法证明如下一个问题：某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数函数f(x)f(x)在在0 0，1 1上有意义，且上有意义，且f(0)=f(1),f(0)=f(1),如果对于不同的如果对于不同的x x1 1,x,x2 20,10,1, ,都有都有|f(x|f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)|x)|x1 1-x-x2 2|,|,求证：求证：|f(x|f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)| ,)| ,那么他的反设应该是那么他的反设应该是_._.【解析解析】根据反证法证明的步骤，首先反设，反设是否定原命根据反证法证明的步骤，首先反设，反设是否定原命题的结论题的结论. .答案：答案：x x1 1,x,x2 20,10,1, ,当当|f(x|f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)|x)|x1 1-x-x2 2| |时，有时，有|f(x|f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)|)|3.(20113.(2011安徽高考安徽高考)(1)(1)设设x1,y1,x1,y1,证明证明: :(2)(2)设设1abc1abc，证明：，证明：logloga ab+logb+logb bc+logc+logc calogalogb ba+loga+logc cb+logb+loga ac.c.【证明证明】 (1) (1)由于由于x1,y1,x1,y1,所以要证明所以要证明只需证只需证xy(x+y)+1y+x+(xy)xy(x+y)+1y+x+(xy)2 2. .将上式中的右式减左式，得将上式中的右式减左式，得y+x+(xy)y+x+(xy)2 2- -xy(x+y)+1xy(x+y)+1= =(xy)(xy)2 2-1-1- -xy(x+y)-(x+y)xy(x+y)-(x+y)=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1).=(xy-1)(x-1)(y-1).因为因为x1,y1,x1,y1,所以所以(xy-1)(x-1)(y-1)0,(xy-1)(x-1)(y-1)0,从而所要证明的不从而所要证明的不等式成立等式成立. .(2)(2)设设logloga ab=x,logb=x,logb bc=y,c=y,由对数的换底公式得由对数的换底公式得于是，所要证明的不等式即为于是，所要证明的不等式即为其中其中x=logx=loga ab1,y=logb1,y=logb bc1.c1.故由故由(1)(1)成立知成立知logloga ab+logb+logb bc+logc+logc calogalogb ba+loga+logc cb+logb+loga ac c成立成立. .