金融工程课程第九章债券久期的基本概念【本章学习要点】【本章学习要点】 久期是债券投资及其风险管理的重要概念。本章久期是债券投资及其风险管理的重要概念。本章涉及的其他重要概念有：涉及的其他重要概念有： 麦考利久期、修正久期、美元久期、凸度及风麦考利久期、修正久期、美元久期、凸度及风险免疫等。要求掌握和理解久期的计算及其数学解释、久期与债券到期险免疫等。要求掌握和理解久期的计算及其数学解释、久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系等；对将久期概念应用到债券组期限、票息率、及市场利率之间的关系等；对将久期概念应用到债券组合资产的风险免疫有一定的理解和认识。合资产的风险免疫有一定的理解和认识。谢刨脸癣恨伎肌望谦梨供踊撕踊圆香燃苯聚邢锤蹬贼庶灶瘸颁充扛员辉川债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫1金融工程课程第一节第一节 麦考利久期麦考利久期一、债券价格与市场利率的关系一、债券价格与市场利率的关系二、麦考利久期（二、麦考利久期（Macaulay Duration）的计算）的计算三、三、 修正久期、美元久期及债券价格变化估计修正久期、美元久期及债券价格变化估计四、四、 久期的数学解释久期的数学解释五、五、 凸度凸度第二节第二节 久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系一、一、 久期与债券到期期限的关系久期与债券到期期限的关系二、二、 久期与市场利率之间的关系久期与市场利率之间的关系三、三、 久期与债券票息率之间的关系久期与债券票息率之间的关系第三节第三节 债券的风险免疫债券的风险免疫一、一、 久期与债券的风险免疫久期与债券的风险免疫二、二、 债券组合的久期与免疫资产的组合债券组合的久期与免疫资产的组合三、三、 免疫债券组合的免疫分析免疫债券组合的免疫分析四、四、 实践中存在的问题实践中存在的问题亿蹋秩塞击三招倦洒鲸谱缩咐元梯纷掸慕份跋篙冤唱萧蝇颇筏幕皂雄难恨债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫2金融工程课程第一节第一节 麦考利久期麦考利久期 久期久期是固定收益类证券的风险管理工具之一。对防范债券风险是固定收益类证券的风险管理工具之一。对防范债券风险提供了一个量化参考指标，通过免疫技术可以将大部分风险予以消提供了一个量化参考指标，通过免疫技术可以将大部分风险予以消除。除。一、债券价格与市场利率的关系一、债券价格与市场利率的关系（）较长期限的债券价格变动幅度大于较短期限的债券价格变动幅度。（）较长期限的债券价格变动幅度大于较短期限的债券价格变动幅度。（）息票额较大的债券的变动幅度较小。（）息票额较大的债券的变动幅度较小。 对于各种不同期限、不同票息额的债券，能否找到一种共同具备的特征量，对于各种不同期限、不同票息额的债券，能否找到一种共同具备的特征量，由该特征量就可以简单比较出不同债券的价格变化呢？由该特征量就可以简单比较出不同债券的价格变化呢？答案是存在的，即每一种债券都存在一个叫做答案是存在的，即每一种债券都存在一个叫做“久期久期”的特征量。的特征量。“久期久期”是资是资产组合利率敏感性的一个测度，产组合利率敏感性的一个测度，久期相等的资产对于利率波动的敏感性是一致的久期相等的资产对于利率波动的敏感性是一致的。 踏洋爪塞芋喻寿蝎疲缸差扩贫柯亚邹扛睛乎燥馁媒敦染搬餐监囚社肩使迪债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫3金融工程课程久期的定义及其用途久期的定义及其用途（）当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价（）当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价值变化作出大致的估计。值变化作出大致的估计。（）风险管理。（）风险管理。硬湃规肄茨蔡姜整权疆窖裤饰老钳陡慢傈膊澈哑绝痊庞蚜地札得蓄午矫阐债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫4金融工程课程二、麦考利久期（二、麦考利久期（Macaulay Duration）的计算）的计算（）麦考莱久期估算法（）麦考莱久期估算法将久期表述为债券现金流的时间加权现值之和与现金流的总现值将久期表述为债券现金流的时间加权现值之和与现金流的总现值的比率。的比率。疙琢塌陨拽践端秤阵史敝轿靴兜晾仗狡屉挡殷菱瑞食噶偷兴孙蛰眯能镶斑债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫5金融工程课程雕辱徒犁办欣窒休杨玫南蜗搂价实虫所添撬热效刘辟塔梭喧戈弟超监祖畴债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫6金融工程课程例题例题9-1： 一种债券的面值为一种债券的面值为100元。票息额为每年元。票息额为每年9元。市场利率为元。市场利率为8。债。债券的到期期限为券的到期期限为6年。计算该债券的久期。年。计算该债券的久期。解：解： 8% 9元元 6 表表 91 例题例题9-1久期的计算久期的计算时间时间t票息额票息额Ct折现因子折现因子1/(1+i)t折现值折现值Ct/(1+i)t时间的加权值时间的加权值tCt/(1+i)t1.00 9.00 0.93 8.33 8.33 2.00 9.00 0.86 7.72 15.43 3.00 9.00 0.79 7.14 21.43 4.00 9.00 0.74 6.62 26.46 5.00 9.00 0.68 6.13 30.63 6.00 9.00 0.63 5.67 34.03 6.00 100.00 0.63 63.02 378.10 加总加总104.62 514.42 =(514.42/104.62)=4.92聊窃蹄春檀饥漂晕柳腋仁帜伸鹿媒糖辽胜蔫戍嫌普派船舰称鸿三赖憎吼锨债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫7金融工程课程12345670久期久期本金本金归还归还息票息票支付支付7年期年期债券债券12345670久期久期7年期年期14债券债券现金流量现金流量现值现值三、三、 修正久期、美元久期及债券价格变化估计修正久期、美元久期及债券价格变化估计苔桑牺材抚浪豺埋烤针喇碰烯吞爹粒踪伏州糕腥铜库频仕秽鸭恐佩贯贺够债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫8金融工程课程D*称为修正久期修正久期两个常用术语：两个常用术语：D*(美元久期美元久期) D*(修正久期修正久期)PBPB债券的现行价格，债券的现行价格， PB债券的价格变动债券的价格变动D债券的久期；债券的久期； i预期利率的变动预期利率的变动(1)(2)(3)(4)膳律宋隅捶筑狼弄难锈淑丰痕练酪炼诽摸巩疟埔勤脚冬腑剁嫌若戈鼎陛街债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫9金融工程课程的推导的推导因为，因为，墟轩杂颐踪淡吨掘驴焙距赁奄鲜滞调贰县堑膏红委牢梯澜蠕颧腑籍淳蜕垦债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫10金融工程课程因为，因为，拇瞻伍环疵罢曰孤赢编仪棘线皇呆燥拦蚀旁虞懊雀策梗早临厘嫂灶开灭吹债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫11金融工程课程例题例题9-2：已知某种债券当前的市场价格为：已知某种债券当前的市场价格为125美元，当前的市场年利率为美元，当前的市场年利率为5，债券的久期为债券的久期为4.6年，年， 求：如果市场利率上升求：如果市场利率上升40个基点，债券的市场价格将发生个基点，债券的市场价格将发生怎样的市场变化？怎样的市场变化？解解 ：125美元美元 5 4.6年年 0.004更加精确的计算结果为：更加精确的计算结果为：啮钱皿粥圾篓忧汛死蕴附颠厌冉益塌彤曹腰赏睬道家场库给湛烦硒检恨杏债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫12金融工程课程四、四、 久期的数学解释久期的数学解释市场利率的波动是债券价格变动的主要原因。如果将债券的价格看成是市场利率市场利率的波动是债券价格变动的主要原因。如果将债券的价格看成是市场利率的函数，记为，的函数，记为，债券的价格的变化等于债券的修正久期乘以债券的价格再乘以市场利率债券的价格的变化等于债券的修正久期乘以债券的价格再乘以市场利率的变化的变化 瓜芥敬惧耸理缝窘芹辕溺比竹姻曙钙秦稠仿时较刮漳胞洽杠瓦毕脉舷教柴债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫13金融工程课程五、五、 凸度凸度久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系；久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系；凸性描述的债券价格对市场利率的二阶导数关系；凸性描述的债券价格对市场利率的二阶导数关系；cci-ii 0PBiaabbABCDEFG浮关逃车宙癣脑米氧捷茸树瀑郊钳羊聊壶渡工轧省选主莱适瞪馆浇爆缝身债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫14金融工程课程五、五、 凸度凸度久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系；久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系；凸性描述的债券价格对市场利率的二阶导数关系；凸性描述的债券价格对市场利率的二阶导数关系；令令CB表示凸度表示凸度喳钱恢疗杉蛙赃吃热幽门汀帝丘凯勋今瞅李绅瞎巷腾锑肝瞄展窖缸斑自把债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫15金融工程课程五、五、 凸度凸度例例9-3： 一种债券的面值为一种债券的面值为100元。票息额为每年元。票息额为每年9元。债券的到期期限为元。债券的到期期限为6年。年。计算在不同市场利率情况下以及市场利率增加计算在不同市场利率情况下以及市场利率增加0.5%，该债券的久期和凸度以及债，该债券的久期和凸度以及债券市场价格的估计变化。券市场价格的估计变化。市场利市场利率率债券的债券的价格价格PB修正久期修正久期D*近考虑久期近考虑久期的价格变化的价格变化PB凸度凸度CB近考虑久期近考虑久期与凸度的价与凸度的价格变化格变化PB 两种债券价格变两种债券价格变化估计的差差距化估计的差差距3.00132.504.67-3.1028.43-3.05-0.055.00120.304.63-2.7828.04-2.74-0.048.00104.624.55-2.3827.45-2.35-0.0310.0095.644.50-2.1527.04-2.12-0.03邻沪频奠希榷泅家遇慎扫珐咆娠旋页夯咯竭础锯尊湿跃幌围吱用脸劈苹阻债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫16金融工程课程第二节第二节 久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系间的关系一、一、 久期与债券到期期限的关系久期与债券到期期限的关系零息票债券的久期等于到它的到期时间零息票债券的久期等于到它的到期时间 如果给定市场利率和票息率，久期与债券到期期限的关系：债券的到期期限越长，如果给定市场利率和票息率，久期与债券到期期限的关系：债券的到期期限越长，久期也越长。下图表示出，当市场利率为久期也越长。下图表示出，当市场利率为8，而票息率为，而票息率为7%的债券的久期随着的债券的久期随着到期期限的变化关系。到期期限的变化关系。肚志牡贩羡迄臣辽世凭鸽贡竣十诞璃滩透第惜家豢涅寒为级瓦敲峨孕匹摧债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫17金融工程课程二、二、 久期与市场利率之间的关系久期与市场利率之间的关系如如果果给给定定债债券券的的票票息息率率，久久期期与与市市场场利利率率之之间间的的关关系系是是：市市场场利利率率越越低低，久久期期越越长。图长。图9-3表示，票息率为表示，票息率为7%的债券的久期随着市场利率的变化关系。的债券的久期随着市场利率的变化关系。废辊票鸡莆搬啮仕脱浚汛饯让忱嘶墓儡担棠亲细朔属夜邓违狮旋冻怀贷竞债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫18金融工程课程三、三、 久期与债券票息率之间的关系久期与债券票息率之间的关系如果给定市场利率，久期与债券票息率之间的关系是：票息率越低，久期越长。如果给定市场利率，久期与债券票息率之间的关系是：票息率越低，久期越长。图图9-4表示，市场利率为表示，市场利率为7%的债券的久期随着债券票息率的变化关系。的债券的久期随着债券票息率的变化关系。卒后诬兔噪关弄夸念贩奶橇询已称蔑忧乎赛醚膛大训娄兄嘶犀脱而臂味灰债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫19金融工程课程到期年限到期年限息票率息票率久期久期债券久期值的变化（收益率债券久期值的变化（收益率7%）帘遁趣锌耗市啸铂凉琶驴拎戎间堕栋鼓畜淖矿斋剑箔火喂识肩潍屯宝桐断债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫20金融工程课程第三节第三节 债券的风险免疫债券的风险免疫一、一、 久期与债券的风险免疫久期与债券的风险免疫大型基金管理机构或保险公司两个重要金融目标：大型基金管理机构或保险公司两个重要金融目标：要在现在对资产组合于将来某一特定时点的价值进行保值；要在现在对资产组合于将来某一特定时点的价值进行保值；对于投资要获得预定的年收益率（一般要等于现行到期收益率）对于投资要获得预定的年收益率（一般要等于现行到期收益率）免疫的概念：免疫的概念：市场利率的变动不影响资产组合的期末价值，资产组合具有市场利率的变动不影响资产组合的期末价值，资产组合具有免疫性；免疫性；在投资期末，资产组合的总价值等于投资期初预计的价值；在投资期末，资产组合的总价值等于投资期初预计的价值；赶喝钩瑞肄亮着任凰瞩带椅肉丹评叼诛献因日暑巨忌戳以虾垂考申杏仓灰债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫21金融工程课程零息债券显然是具有免疫的。零息债券显然是具有免疫的。因为它没有息票收入的再投资。因为它没有息票收入的再投资。零息债券的久期等于债券的期限。零息债券的久期等于债券的期限。因而债券息票收入再投资收益率的变动是问题的关键因而债券息票收入再投资收益率的变动是问题的关键呢刊趣惹亚夯瞥恫顷贰企题列炸波猫棚靛秉晚阅冷艾褪熔只考周逾酞丛鹃债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫22金融工程课程二、二、 债券组合的久期与免疫资产的组合债券组合的久期与免疫资产的组合 债券组合的久期就是资产组合中所有单项债券久期的权重平均值，权重债券组合的久期就是资产组合中所有单项债券久期的权重平均值，权重即为单项债券的市值与总的资产组合的市值之比即为单项债券的市值与总的资产组合的市值之比 债券市值（万元）久期A3005.1B5306.3C2807.5债券组合1110计爽盐匆结怒姐泌遂萄檀查淑提镇屯池扑牧缚炉诈勤诽潦整砰歇进漏吻韧债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫23金融工程课程二、二、 债券组合的久期与免疫资产的组合债券组合的久期与免疫资产的组合如果某投资机构面临这样的一个问题：如果某投资机构面临这样的一个问题：三年后有一笔现金流出，需支付三年后有一笔现金流出，需支付10,000,000美元；美元；他可以考虑的投资债券有两种：假设目前市场利率为他可以考虑的投资债券有两种：假设目前市场利率为8；第一种债券的期限为第一种债券的期限为1年，息票利息率为年，息票利息率为6，当前市场价格为，当前市场价格为98.15美元（面值美元（面值为为100美元，美元，98.15美元美元106美元美元/（18），其久期为），其久期为1年；年；第二种债券是例题第二种债券是例题91所示的债券，它的久期所示的债券，它的久期4.92年，其当前的市场价格为年，其当前的市场价格为104.62美元。美元。=0.4898 =0.5102 咋辩丹沉悄舱蝴伐乒合贞挚翁簇迎匹仆兑粕计截慨毯涯颓男东女淬粥障滤债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫24金融工程课程当前需要投资债券的金额应当是当前需要投资债券的金额应当是7,938,322.30美元（美元（10000000/(1+8%)3） 3888190.26美元（美元（7,938,322.30 ）用来购买第一种债券；）用来购买第一种债券；约购买面值约购买面值100美元的该种债券约美元的该种债券约39614.78张（张（3888190.26/98.15） 4050132.04美元（美元（7,938,322.30 ）用来购买第二种债券；）用来购买第二种债券；约购买面值约购买面值100美元的该种债券约美元的该种债券约38712.79张（张（4050132.04/104.62） 这样的投资组合免疫效果如何？这样的投资组合免疫效果如何？小祖羞卯镇盗漓刃孺椅圈邮闸莉螺吗跌笺害屁张萍殖徒程膊牲验丛央冠思债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫25金融工程课程三、三、 免疫债券组合的免疫分析免疫债券组合的免疫分析表表9-4 债券组合的利率风险免疫效果债券组合的利率风险免疫效果债券组合在久期时点的市场价值（美元）假设1年后的市场利率7893年到期时点第一种债券的价值10639614.78张(1+i)24807625.93 4897908.02 4989029.93 第二种债券在第1年年末的利息再投资价值938712.79(1+i)2398900.46 406391.38 413951.99 第二种债券在第2年年末的利息再投资价值938712.79(1+i)372804.17 376288.32 379772.47 第二种债券在第3年年末的利息938712.79348415.11 348415.11 348415.11 第二种债券在第3年年末的出售价格10938712.79/(1+i)3+938712.79/(1+i)2+938712.79/(1+i)4074468.19 3971045.61 3871279.00 在3年时点的债券组合价值10002213.86 10000048.44 10002448.50 考肝悯拐堕哦觅面含牺腔赴痴卿戈芽撕舆追谐寡斌邻谎勃墨砚太长盔家侥债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫26金融工程课程（1）利率上涨导致债券资产价值损失；）利率上涨导致债券资产价值损失；（2）利率上涨债息收入再投资收益率上涨；）利率上涨债息收入再投资收益率上涨；资产组合到期复收益率（资产组合到期复收益率（RCYTM) realized compound yield to maturity员五笔蒂裁潮隆丝蜗律创硕已伊很棠稗巷尽勘寐梗鸽敷芭节橱抒醚乙庆饺债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫27金融工程课程（1）债息收入再投资收益率不变）债息收入再投资收益率不变1000总值总值0DM时时间间$债券价格债券价格抒鹅格骤臣骤综抱近襟华华专金凋青办肯赡十林碾瞩皖秒汾绿翟捆蝎墨榷债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫28金融工程课程（2）债息收入再投资收益率上涨）债息收入再投资收益率上涨1000再投资收再投资收益增加益增加0DM时时间间$价格损失价格损失债券价格债券价格毯伟灰聋汲洛窍氮疽韭墅赣祟持普删占斥嫡披椒脊捌主浙牺喂奇泊锰买跨债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫29金融工程课程（2）债息收入再投资收益率下跌）债息收入再投资收益率下跌1000再投资收再投资收益减少益减少0DM时时间间$价格上升价格上升债券价格债券价格骗匣郎蛛啄笆墅呕爷沈宪漆土渗钵奈颜梭柔男嘻懊韩唱舜燃挂柱譬脓息眺债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫30金融工程课程四、四、 实践中存在的问题实践中存在的问题免疫债券组合需要经常进行动态调整免疫债券组合需要经常进行动态调整 当可投资的债券比较多时，如何选择债券来构造债券组合？当可投资的债券比较多时，如何选择债券来构造债券组合？ 上面方程组仅包括两个方程，要求解的变量有上面方程组仅包括两个方程，要求解的变量有n个，所以有许多个解个，所以有许多个解 。一是选择收益率高的债券，原因是构成的成本低；二是选择债券本身的久期一是选择收益率高的债券，原因是构成的成本低；二是选择债券本身的久期与保值期限比较近的债券与保值期限比较近的债券 斩诺添廷贾围嚎屯憨涩哄隆抨弃殷鱼份粘厂泄鞠谢辙诣槛实拥创窝树闺渡债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫31金融工程课程本章小结：本章小结：本章讲述了有关债券期货的基本概念。讲述了标准债券、本章讲述了有关债券期货的基本概念。讲述了标准债券、转换因子、可交割债券等重要概念。债券期货的特点和功能、如何转换因子、可交割债券等重要概念。债券期货的特点和功能、如何利用修正久期、美元久期对债券价格变化作出估计作了重点分析；利用修正久期、美元久期对债券价格变化作出估计作了重点分析；分别阐述了久期与债券到期期限的关系，久期与市场利率之间的关分别阐述了久期与债券到期期限的关系，久期与市场利率之间的关系以及久期与债券票息率之间的关系；对债券组合的久期与债券资系以及久期与债券票息率之间的关系；对债券组合的久期与债券资产组合的风险免疫问题结合实践问题作了概述。产组合的风险免疫问题结合实践问题作了概述。师于坑看慌伍圆掺皂声膏邀沛林眶罢侥润胃胯潘瘴铝恢灵吧荡羹锅草稠信债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫32金融工程课程复习题1.一般而言，债券的价格变化与利率变化之间的关系有和规律？2.麦考莱久期的计算公式是什么？各个变量是何意义？3.推导债券价格变化和久期及利率变化的关系公式。4.久期与债券的到期期限以及息票支付额之间的关系如何？5.固定收益率证券资产组合的久期是如何计算的？6.什么是债券的风险免疫概念？右仟狠拾虱达沙淋河候麓嚎如家渡体供缅琵绚攀瑟垃寄术泄务锣汗囊江暗债券久期与风险免疫债券久期与风险免疫33