1矢量场的环量与旋涡源矢量场的环量与旋涡源 不是所有的矢量场都由不是所有的矢量场都由通量源通量源激发。存在另一激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力力 线是闭合的线是闭合的。它有以下两个特点：。它有以下两个特点：（1）、对于任何闭合曲面的通量积分为零；）、对于任何闭合曲面的通量积分为零；（2）、在场所定义的空间中闭合路径的积分不为）、在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。零。 引入环量与旋度的目的就在于：引入环量与旋度的目的就在于：研究矢量场的研究矢量场的线积分不为零这一问题。线积分不为零这一问题。 五、矢量场的环量与旋度五、矢量场的环量与旋度 （一）矢量场的环量（一）矢量场的环量 例：磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲例：磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：线所围曲面的电流成正比，即：上式建立了磁场与电流的关系。上式建立了磁场与电流的关系。 引入引入环量概念环量概念。矢量场对于闭合曲线。矢量场对于闭合曲线L的环量定义的环量定义为该矢量对闭合曲线为该矢量对闭合曲线L的的线积分线积分，记为：，记为：（1)1)如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称 该矢量场为该矢量场为无旋场无旋场，又称为，又称为保守场保守场。（2)2)如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零， 称该矢量场为称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量，能够激发有旋矢量 场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。旋旋度度概概念念的的提提出出：矢矢量量场场的的环环量量给给出出了了矢矢量量场场与与积积分分回回路路所所围围曲曲面面内内旋旋涡源的涡源的宏观联系宏观联系。为为了了给给出出空空间间任任意意点点矢矢量量场场与与旋旋涡涡源源的的关关系系，当当闭闭合合曲曲线线L所所围围的的面面积积趋趋于于零零时时，矢矢量量场场对对回回路路L的的环环量量与与旋旋涡涡源源对对于于L所所围围的的面面积积的的通通量量成正比，即：成正比，即： （二）矢量场的旋度（二）矢量场的旋度(Rotation) JFn矢矢量量场场旋旋度度定定义义为为：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为包含M点在内的小面元边界的环量与小面元比值极限的最大值，其方向为极限取得最大值时小面积元的法线方向，即： 根根据据线线积积分分的的计计算算公公式式，不不难难得得到到旋旋度度在在直直角角坐坐标标系中的表达式为系中的表达式为: 利用旋度的定义式，可得到一般曲线和曲面积分之间的变换关系式，即Stokes定理 环量积分旋度的面积分（三）、环量与旋度之间的联系（三）、环量与旋度之间的联系Stokes定理定理 方向相反方向相反大小相等大小相等结果抵消结果抵消旋度的计算公式旋度的计算公式 圆柱坐标系下旋度的计算公式： 圆柱坐标系下旋度的计算公式： 球坐标系下的旋度计算公式1.5 矢量场的旋度矢量场的旋度 （一）、无源场 对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有散度为零，即： 则称A为无源场。 性质一：在无源场中穿过场域V中任何一个矢量管的所有截面的通量都相等。 性质二：无源场存在矢势。六、无源场和无旋场六、无源场和无旋场（二）、无旋场 对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有旋度为零，即： 则称A为无旋场。 性质一：在无旋场中，A沿场域V的任何闭合路径L的环量为零。即： 性质二：无旋场可以表示为某标量场的梯度场。 （三）、调和场散度和旋度都等于零的矢量场，称为调和场。 根据其无旋性可得：根据其无源性可得：引入Laplacian算子拉普拉斯方程和泊松方程若矢量场仅为无旋场，例如连续分布的体电荷内部，任意点的散度不为零，须引入泊松方程对于矢量场必需考虑如下问题：对于矢量场必需考虑如下问题：（1）场的特性：矢量场除有散和有旋特性外，）场的特性：矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？是否存在别的特性？（2）源的特性：是否存在不同于通量源和旋）源的特性：是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？涡源的其它矢量场的激励源？（3）场的唯一性：如何唯一的确定一个矢量）场的唯一性：如何唯一的确定一个矢量场？场？六、六、Helmholtz定理定理1 矢量场的矢量场的Helmholtz定理定理 空间区域空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，即无源矢量场的叠加，即： 其中其中 为无旋场，为无旋场， 为无源场。为无源场。 Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无源场，由旋涡源激发；并且满足：源场，由旋涡源激发；并且满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：证明：一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。正交坐标系下的梯度公式：正交坐标系下的梯度公式：正交坐标系下的散度计算公式：正交坐标系下的散度计算公式：正交坐标系下的旋度计算公式：正交坐标系下的旋度计算公式：