返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第十四章第十四章 多元函数的微分学多元函数的微分学二、曲面的切平面与法线 一、空间曲线的切线和法平面一、空间曲线的切线和法平面 返回返回返回返回5 偏导数在几何中的应用偏导数在几何中的应用三、曲面的参数方程形式返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页曲线在曲线在M处的处的切线方程切线方程在在M处的处的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 在在M处的处的法平面方程法平面方程：过：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1. 空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程法平面方程为为:特殊地：特殊地：(相当于x=x)切线方程切线方程为为:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2. 空间曲线方程为空间曲线方程为也可以利用前面的公式得到得到切向量求出求出通过方程组通过方程组返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页切线方程切线方程为为法平面方程法平面方程为为切向量为切向量为或或返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页可以表为这两个向量的线性组合。可以表为这两个向量的线性组合。 关（即非平行）的向量确定一张过该点的平面（称关（即非平行）的向量确定一张过该点的平面（称为这两个向量张成的平面），平面上的任一向量都为这两个向量张成的平面），平面上的任一向量都由空间解析几何知道，由一点及两个线性无由空间解析几何知道，由一点及两个线性无返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证明证明：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所求所求切线方程切线方程为为法平面方程法平面方程为为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解关于x求偏导得所求所求切线方程切线方程为为法平面方程法平面方程为为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页设曲面方程为设曲面方程为曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页令令则则切平面方程切平面方程为为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页法线方程法线方程为为曲面曲面在在M处的法向量处的法向量即即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为曲面在曲面在M处的处的切平面方程切平面方程为为曲面在曲面在M处的处的法线方程法线方程为为令令返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、曲面的参数方程形式三、曲面的参数方程形式曲面也可以表示成参数方程的形式：曲面也可以表示成参数方程的形式：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页曲面的法向量为曲面的法向量为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页或为或为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法）（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）四、小结返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页思考题思考题返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页思考题解答思考题解答设切点设切点依题意知切向量为依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页练练 习习 题题返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页练习题答案练习题答案