机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 第八章 矩阵特征值问题计算内容提要8.1 引言8.2 幂法及反幂法机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 8.1 引言引言 物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题。例如，振动问题矩阵的特征值问题。例如，振动问题( (大型桥梁或建筑大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁震荡等物的振动、机械的振动、电磁震荡等) )，物理学中的某，物理学中的某些临界值的确定。它们都归结为下述数学问题。些临界值的确定。它们都归结为下述数学问题。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 8.2 幂法及反幂法幂法及反幂法一、幂法一、幂法幂法是一种求实矩阵幂法是一种求实矩阵A A的按模最大的特征值的按模最大的特征值1 1及其对应的特征及其对应的特征向量向量x x1 1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 kUk(规范化向量)Max(vk) 0 1 51020(1 1 1)(0.9091 0.8182 1)(0.7651 0.6674 1)(0.7494 0.6508 1)(0.7482 0.6497 1)2.75000002.55879182.53800292.5365323于是主特征值为：2.5365323；对应特征向量为：(0.7482 0.6497 1)机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 二、二、加速方法加速方法机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 kUk(规范化向量)Max(vk) 0 5 6 7 8 910(1 1 1)(0.7516 0.6522 1)(0.7491 0.6511 1)(0.7488 0.6501 1)(0.7484 0.6499 1)(0.7483 0.6497 1)(0.7482 0.6497 1)1.79140111.78884431.78733001.78691521.78665871.7865914三、反幂三、反幂法法反幂法可求非奇异实矩阵的按模最小特征值及特征向量。也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 加速后的反幂法计算公式加速后的反幂法计算公式:机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 知识结构图八矩阵特征值与特征向量的计算重要概念（特征值，特征向量，正交相似变换， 反射变换，平面旋转变换，QR分解）迭代法幂法（原理、计算公式、加速技巧）反幂法（原理、计算方法、加速技巧）雅可比方法（原理、方法、收敛性）变换法QR方法基本QR方法原点平移QR方法双步原点平移QR方法机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列