3.2 边边 缘缘 分分 布布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 随机向量随机向量(X,Y)的中的中, X,Y 的分布分别称为的分布分别称为X,Y 的边缘分布的边缘分布.X,Y 的分布函数的分布函数FX (x) ,FY (y)称为称为边缘分布函数边缘分布函数边缘分布函数边缘分布函数.离散型随机变量离散型随机变量( X, Y ) 的联合概率分布的联合概率分布X X的边缘分布律的边缘分布律的边缘分布律的边缘分布律Y Y 的边缘分布律的边缘分布律的边缘分布律的边缘分布律(1) 不放回抽不放回抽样样X i 表示第表示第i 次取到的次品数次取到的次品数(i =1,2),分别就不放回和分别就不放回和有放回两种抽样方式有放回两种抽样方式,求求X1与与X2 的边缘分布的边缘分布.(2) 有放回抽样有放回抽样1. (1)(2)中的边缘分布相同中的边缘分布相同,但联合分布不同但联合分布不同;2. 联合分布可以确定边缘分布联合分布可以确定边缘分布,边缘分布不能确定联合边缘分布不能确定联合 分布分布; 二维随机向量的性质不能由它的两个分量的个别性二维随机向量的性质不能由它的两个分量的个别性质来确定质来确定, ,必须考虑它们之间的联系必须考虑它们之间的联系. .连续型随机变量连续型随机变量( X, Y )X 的边缘分布函数的边缘分布函数FX (x)Y Y 的边缘密度函数的边缘密度函数的边缘密度函数的边缘密度函数X X 的边缘密度函数的边缘密度函数的边缘密度函数的边缘密度函数例例2 求下列两个二维均匀分布关于求下列两个二维均匀分布关于X 和和Y 的边缘密度的边缘密度.解解:同理同理,Y 的边缘密度为的边缘密度为X 的边缘密度的边缘密度同理同理,Y 的边缘密度为的边缘密度为(1) 中的中的X 和和Y 都服从一维均匀分布都服从一维均匀分布,(2)中则不然中则不然.例例3 设二维随机变量设二维随机变量 (X,Y) 具有概率密度具有概率密度求边缘概率密度求边缘概率密度二维正态变量二维正态变量设设(X,Y) 二维随机向量二维随机向量,其概率密度为其概率密度为其中其中1, 2, 1, 2, 均为常数均为常数,且且则称则称(X,Y) 服从二维正态分布服从二维正态分布,记作记作二维正态分布的边缘分布均为一维正态分布二维正态分布的边缘分布均为一维正态分布二维正态分布的边缘分布均为一维正态分布二维正态分布的边缘分布均为一维正态分布.证明证明:令令:思考题：思考题：二维随机向量的联合分布与边缘分布有什么关系二维随机向量的联合分布与边缘分布有什么关系？思考题答案：思考题答案： 二维随机向量的联合分布可以确定边缘分布二维随机向量的联合分布可以确定边缘分布, ,边缘边缘分布一般不能确定联合分布分布一般不能确定联合分布. .练习题：练习题：2. 将三个球随机地放入四个盒子将三个球随机地放入四个盒子, X、Y 分别表示第分别表示第一、二个盒子中球的个数一、二个盒子中球的个数,求求 X 与与 Y 的联合概率分布，的联合概率分布，及关于及关于Y 的边缘分布的边缘分布.1. 设设随随机机变变量量(X,Y)的的联联合合分分布布函函数数为为F(X,Y) ,其其边边缘分布函数缘分布函数FX (x) = ( )3. 盒盒子子里里装装有有3只只黑黑球球,2只只红红球球和和2只只白白球球,从从中中任任取取4只只球球,以以X表表示示取取到到黑黑球球只只数数,以以Y表表示示取取到到红红球球只只数数，求求(X,Y) 的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律.4. 设二维随机变量设二维随机变量(,) 的联合密度函数为的联合密度函数为求求(,) 的边缘分布的边缘分布.5. 设二元随机变量设二元随机变量(X,Y)的联合概率密度是的联合概率密度是求求: (1) 关于关于X 的边缘密度函数的边缘密度函数 f X (x) ；6. 设随机变量设随机变量(X,Y)的联合密度函数的联合密度函数其中其中a 0, 求求Y 的边缘密度函数的边缘密度函数.7. 设随机变量设随机变量(X,Y)的联合密度函数的联合密度函数求求 X, Y 的边缘密度函数的边缘密度函数.练习题答案：练习题答案：1. (1) ;2. 3. 4.