2 2 方方 差差第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1 1/11/11设有两种牌号的手表，其走时误差情况如下表设有两种牌号的手表，其走时误差情况如下表设有两种牌号的手表，其走时误差情况如下表设有两种牌号的手表，其走时误差情况如下表试问哪种牌号的手表质量较好？试问哪种牌号的手表质量较好？试问哪种牌号的手表质量较好？试问哪种牌号的手表质量较好？可见两种手表的平均误差一样可见两种手表的平均误差一样可见两种手表的平均误差一样可见两种手表的平均误差一样概率概率概率概率( ( ( (牌号甲牌号甲牌号甲牌号甲) ) ) )概率概率概率概率( ( ( (牌号乙牌号乙牌号乙牌号乙) ) ) )日误差日误差日误差日误差( ( ( (秒秒秒秒) ) ) )设两种手表的走时误差分别为设两种手表的走时误差分别为设两种手表的走时误差分别为设两种手表的走时误差分别为 则则则则 对于同一日误对于同一日误对于同一日误对于同一日误差值，甲表的概率差值，甲表的概率差值，甲表的概率差值，甲表的概率比乙的大，即平均比乙的大，即平均比乙的大，即平均比乙的大，即平均说来甲表中误差大说来甲表中误差大说来甲表中误差大说来甲表中误差大的占的比例较多，的占的比例较多，的占的比例较多，的占的比例较多，故从直观上看，乙故从直观上看，乙故从直观上看，乙故从直观上看，乙表的质量比甲好表的质量比甲好表的质量比甲好表的质量比甲好2 2 方方 差差第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2 2/11/11平方偏差平方偏差平方偏差平方偏差平方偏差的平均值平方偏差的平均值平方偏差的平均值平方偏差的平均值对对对对 考虑偏差考虑偏差考虑偏差考虑偏差对对对对若若若若存在存在存在存在, , , ,则称则称则称则称 为为为为 的的的的方差方差方差方差 称为称为称为称为均方差均方差均方差均方差2 2 方方 差差第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征3 3/11/11试评估两人的射击技术试评估两人的射击技术试评估两人的射击技术试评估两人的射击技术. . . .先计算数学期望先计算数学期望先计算数学期望先计算数学期望可见甲的射击水平比乙略好可见甲的射击水平比乙略好可见甲的射击水平比乙略好可见甲的射击水平比乙略好, , , ,甲的技术比乙要稳定甲的技术比乙要稳定甲的技术比乙要稳定甲的技术比乙要稳定又又又又设甲、乙两射手击中环数分别为设甲、乙两射手击中环数分别为设甲、乙两射手击中环数分别为设甲、乙两射手击中环数分别为 分布律为分布律为分布律为分布律为2 2 方方 差差第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4 4/11/11r.vr.vr.vr.v的的的的平均值平均值平均值平均值r.vr.v与与平均值的平均偏离程度平均值的平均偏离程度平均值的平均偏离程度平均值的平均偏离程度, ,则有则有视为视为视为视为的数学期望的数学期望的数学期望的数学期望则则则则设设设设 的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为设设设设 的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为 则则则则2 2 方方 差差第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征5 5/11/11求求求求设设设设, , , ,又又又又由上节计算得由上节计算得由上节计算得由上节计算得2 2 方方 差差第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征6 6/11/11求求求求设设设设由上节计算得由上节计算得由上节计算得由上节计算得的密度为的密度为的密度为的密度为2 2 方方 差差第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征7 7/11/11求求求求设设设设 的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为且且且且故故故故2 2 方方 差差第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征8 8/11/11若若若若 ( ( ( (常数常数常数常数),),),),则则则则设设设设 为常数为常数为常数为常数, , , ,则则则则对于对于对于对于有有有有特别当特别当特别当特别当 独立时独立时独立时独立时, , , ,有有有有独立独立独立独立独立独立独立独立当当当当 独立时独立时独立时独立时, , , ,是否有是否有是否有是否有若若若若独立独立独立独立, , , ,则则则则( ( ( (常数常数常数常数) ) ) )2 2 方方 差差第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征9 9/11/11其中其中其中其中求求求求设设设设因为二项分布来自因为二项分布来自因为二项分布来自因为二项分布来自 重伯努利试验重伯努利试验重伯努利试验重伯努利试验, , , ,故有故有故有故有第第第第 次伯努利试验事件次伯努利试验事件次伯努利试验事件次伯努利试验事件 发生发生发生发生第第第第 次伯努利试验事件次伯努利试验事件次伯努利试验事件次伯努利试验事件 发生发生发生发生独立同分布独立同分布独立同分布独立同分布, , , ,其分布律为其分布律为其分布律为其分布律为且且且且2 2 方方 差差第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1010/11/11求求求求设设设设由上节计算得由上节计算得由上节计算得由上节计算得, , , ,故故故故2 2 方方 差差第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1111/11/11正态正态正态正态r.vr.vr.vr.v的值几乎都落在的值几乎都落在的值几乎都落在的值几乎都落在 内内内内即即即即则则则则对一般的对一般的对一般的对一般的 如何估计概率如何估计概率如何估计概率如何估计概率是任意实数是任意实数是任意实数是任意实数. . . .其中其中其中其中( ( ( (切比雪夫切比雪夫切比雪夫切比雪夫ChebyshevChebyshev不等式不等式不等式不等式) ) ) )都存在都存在都存在都存在, , , ,则则则则设设设设有有有有只证连续型情形只证连续型情形只证连续型情形只证连续型情形. . . .的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为设设设设则则则则改写为改写为改写为改写为分别取分别取分别取分别取则有则有则有则有人物介绍人物介绍人物介绍人物介绍切比雪夫切比雪夫切比雪夫切比雪夫切比雪夫切比雪夫