4.2平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2,使a=,其中e1、e2是一组基底.不共线不共线2.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=(x1x2,y1y2);(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1);(3)若a=(x,y),R,则a=(x,y).1e1+2e23.向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示(1)如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),则ab的充要条件为x1y2-x2y1=0;(2)三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.4.几个重要结论几个重要结论(1)若a、b为不共线的向量,则a+b、a-b为以a、b为邻边的平行四边形的对角线向量;(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2);(3)G为ABC的重心+=0G.c1.向量a=,b=,且ab,则锐角的正弦值为()A.B.C.D.答案B依题意得-tancos=0,即sin=.c2.(2015浙江严州中学月考)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C( 3 , 1 ) , 且= 2,则顶点D的 坐 标 为()A.B.C.(3,2)D.(1,3)答案A设D(x,y) , 易 知=(x,y- 2 ) ,=(4,3),又=2,所以解得故选A.c3.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b答案C=a,=b,=+=+=a+b.E是OD的中点,=,|DF|=|AB|.=(-)=-=a-b,=+=a+b+a-b=a+b,故选C.c4.如图所示,A,B,C是圆O上的三点,线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的一点D, 若=m+n,则m+n的 取 值 范 围 是()A.(0,1)B.(1,+)C.(-,-1)D.(-1,0)答案D设=t,D在圆外,t-1,又D、A、B共线,故存在,使得=+,且+=1,c又=m+n,tm+tn=+,m+n=,m+n(-1,0),故选D.5.如图,在ABC中,D是BC上任意一点,E为AD的中点,若=+,则+=.答案解析D是BC上任意一点,设=m-=m(-)=m+(1-m).E为AD的中点,=+=+,由平面向量基本定理知+=.c平面向量基本定理及应用平面向量基本定理及应用典例1(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,BE=BC,DF=DC.若=1,=-,则+=()A.B.C.D.答案C解析=(+)(+)=(+)(+)=+(1+)=4(+)-2(1+)=1.=(-1)(-1)=-2(-1)(-1)=-,由可得+=.c应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算,基本方法有两种:1.运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简,直至用基底表示;2.将向量用含参数的基底表示,然后列方程或方程组,利用基底表示向量的唯一性求解.1-1(2015四川,7,5分)设四边形A B C D为平行四边形,|=6,|=4.若点M,N满足=3,=2,则=()A.20B.15C.9D.6答案C解析依题意有=+=+,=+=-=-,所以=-=9.故选C.c1-2(2015镇海中学仿真考,15,4分)在ABC中,CA=2,CB=6,ACB=60.若点O在ACB的平分线上,满足=m+n,m,nR,且-n-,则|的取值范围是.答案解析据已知可得=m(+)+n(+),化简得=+=+,因为CO平分ACB,故有=,即m=3n,故有=,因此|=.c平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算典例2 (2013重庆,10,5分)在平面上,|=|=1,=+.若|,则|的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析以A为原点,AB1所在直线为x轴建立直角坐标系,如图所示.c设B1(a,0),B2(0,b),O(m,n),则由已知得P(a,b).由|=|=1,|,得(m-a)2+n2=1,m2+(n-b)2=1,(m-a)2+(n-b)2,即-2am+a2=1-(m2+n2),-2nb+b2=1-(m2+n2),m2+n2-2am-2bn+a2+b2,将代入中,得m2+n2+1-(m2+n2)+1-(m2+n2),.|=|=1,相当于以O为圆心,1为半径的圆与x轴,y轴有交点,即有|m|1,|n|1,即m2+n22,故有|=,选D.向量坐标运算的思想方法(1)向量的坐标运算实现了向量运算的代数化,将数与形结合起来,从而可将几何问题转化为代数运算.(2)两个向量相等当且仅当它们的横、纵坐标对应相同.此时注意方程(组)思想的应用.注意:向量的坐标与点的坐标不同,向量平移后,其起点和终点的坐标都发生变化,但向量的坐标不变.2-1(2015浙江镇海中学期中,9)如图,等边ABC的边长为2,D为AC的中点,且ADE也是等边三角形,ADE以点A为中心向下转动,从开始转到稳定位置(即D EB C)的过程中,的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析以A为原点,初始位置时的AE所在直线为x轴,建立直角坐标系,则A(0,0),B( - 1 , -),C( 1 , -),点D,E在以A为圆心,1为半径的圆上运动.设动点E(cos,sin),其中-0,则D.则=,=(cos-1,sin+),则=coscos+sinsin+cos-cos+sin+sin+2=+2sin.由-0,得-,则-1sin-,从而有.共线向量的坐标运算共线向量的坐标运算典例3(2015浙江苍南巨人中学期中)已知向量=(3,-4),=(0,-3),=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,则实数m满足的条件是.答案m解析由题意得=(-3,1),=(2-m,1-m).点A,B,C能构成三角形,则,不共线,即-3(1-m)1(2-m),解得m.3-1(2015浙江模拟训练冲刺卷四,2)已知平面向量a=(1-2k,2),b=(-3,k),若ab,且ab,则|a|=()A.2或B.20或13C.2D.c答案C解析由ab,得k(1-2k)=-6,解得k=2或k=-.当k=2时,a=b,不合题意.当k=-时,有a=(4,2),b=,符合题意,则|a|=2.