第三讲微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 导数导数描述函数变化快慢描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton导数与微分PPT课件一、导数的定义一、导数的定义定义定义1 . 设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义 , 在点处可导可导, 在点的导数导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件若上述极限不存在 ,在点 不可导. 若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意注意:就说函数就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件二、二、 导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件三、三、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x = 0 处连续 , 但不可导.机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件在点的某个右右 邻域内四、四、 单侧导数单侧导数若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作即(左)(左左)例如例如,在 x = 0 处有定义定义2 . 设函数有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件定理定理2. 函数在点且存在简写为在点处右右 导数存在定理定理3. 函数在点必 右右 连续.(左左)(左左)若函数与都存在 , 则称显然:在闭区间 a , b 上可导在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件是且机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件内容小结内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2. 增量比的极限;切线的斜率;机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件2. 设存在 , 则3. 已知则4. 若时, 恒有问是否在可导?解解:由题设由夹逼准则故在可导, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件5. 设, 问 a 取何值时,在都存在 , 并求出解解:故时此时在都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件解解: 因为6. 设存在, 且求所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、函数的求导法则 导数与微分PPT课件（一）四则运算求导法则（一）四则运算求导法则 定理定理1.的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件（二）反函数的求导法则（二）反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件在点 x 可导,（三）复合函数求导法则（三）复合函数求导法则定理定理3.在点可导复合函数且在点 x 可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例例1. 设求解解:思考思考: 若存在 , 如何求的导数?这两个记号含义不同练习练习: 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例例2. 设解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件（四）初等函数的求导问题（四）初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例例3. 求解解:例例4. 设解解:求机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例例5. 求解解:关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例例6. 设求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例例7. 设求解解: 方法方法1 利用导数定义.方法方法2 利用求导公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例例8 设解：解：2 . 设解解:其中可导, 求求机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 六、高阶导数导数与微分PPT课件定义定义.若函数的导数可导,或即或类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或的二阶导数二阶导数 , 记作的导数为依次类推 ,分别记作则称机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件设求解解:依次类推 ,例例1.思考思考: 设问可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例例2. 设求解解:特别有:解解:规定 0 ! = 1思考思考:例例3. 设求机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例例4. 设求解解: 一般地 ,类似可证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例例5 . 设解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则都有 n 阶导数 , 则(C为常数)莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式公式及设函数推导 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例例6. 求解解: 设则代入莱布尼兹公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件思考与练习思考与练习1. 如何求下列函数的 n 阶导数?解解: 解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件(3)提示提示: 令原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件2. (填空题) (1) 设则提示提示:各项均含因子 ( x 2 )(2) 已知任意阶可导, 且时提示提示:则当机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件解解: 3、设求其中 f 二阶可导.机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 七、隐函数和参数方程求导 导数与微分PPT课件（一）隐函数的导数（一）隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,由表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 两边对 x 求导(含导数 的方程)机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例例1. 求由方程在 x = 0 处的导数解解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例例2. 求的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式两边对 x 求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件 1) 对幂指函数可用对数求导法求导 :说明说明: :按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,两边取对数两边对 x 求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件又如又如, 对 x 求导两边取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件（二）由参数方程确定的函数的导数（二）由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导, 且则时, 有时, 有(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件1. 设求提示提示: 分别用对数微分法求答案答案: :机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件2. 设由方程确定 , 解解: 方程两边对 x 求导, 得再求导, 得当时,故由 得再代入 得 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件求其反函数的导数 .解解:方法方法1方法方法2等式两边同时对 求导3. 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件, 求解解： 4. 设方程组两边同时对 t 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用一、微分的概念一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 八、函数的微分导数与微分PPT课件的微分微分,定义定义: 若函数在点 的增量可表示为( A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理定理: 函数在点 可微的充要条件充要条件是即在点可微可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分, 记作记机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例例1.求 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件例例2. 设求 解解: 利用一阶微分形式不变性 , 有例例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.导数与微分PPT课件微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分PPT课件