第第2课时排列与组合及其应用课时排列与组合及其应用1排列与排列数排列与排列数( (1) )排列排列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m( (mn) )个元素，按照个元素，按照 排成一列，叫排成一列，叫做从做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个排列个元素的一个排列( (2) )排列数排列数从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m( (mn) )个元素的个元素的 ，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排列数，记作个元素的排列数，记作 .一定的顺序一定的顺序所有不同排列的个数所有不同排列的个数2组合与组合数组合与组合数( (1) )组合组合从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m( (mn) )个元素个元素 ，叫做从，叫做从n个不同元素中个不同元素中取出取出m个元素的一个组合个元素的一个组合. ( (2) )组合数组合数从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m( (mn) )个元素的个元素的 ，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的组合数，记作个元素的组合数，记作 .合成一组合成一组所有不同组合的个数所有不同组合的个数3排列数、组合数的公式及性质排列数、组合数的公式及性质1设集合设集合A1,2,3,4，m，n A，则方程，则方程 表示焦点位于表示焦点位于x轴上的椭圆有轴上的椭圆有( () )A6个个 B8个个C12个个 D16个个答案：答案：A2若从若从6名志愿者中选出名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有的工作，则选派方案有( () )A180种种 B360种种C15种种 D30种种解析：解析：从从6名志愿者中选出名志愿者中选出4人进行全排列，人进行全排列，所以共有所以共有 360( (种种) )选派方案选派方案答案：答案：B3从从4名男生和名男生和3名女生中选出名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有人中至少有1名女生，则选派方案共有名女生，则选派方案共有( () )A186种种 B31种种C270种种 D216种种解析：解析：由题意可得：选派方案共有由题意可得：选派方案共有 种故选种故选A.答案：答案：A4某班由某班由8名女生和名女生和12名男生组成，现要组织名男生组成，现要组织5名学生外出参观，若这名学生外出参观，若这5名成员按性别分层抽样产生，则参观团的组成方法共有名成员按性别分层抽样产生，则参观团的组成方法共有_种种( (用数用数字作答字作答) )解析：解析：由题意按分层抽样应抽由题意按分层抽样应抽2名女生和名女生和3名男生，则有名男生，则有 6 160种组成方法种组成方法答案：答案：6 1605电视台连续播放电视台连续播放6个广告，其中含个广告，其中含4个不同的商业广告和个不同的商业广告和2个不同的公个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有_种不同的播放方式种不同的播放方式( (结结果用数值表示果用数值表示) )解析：解析：采用特殊位置法先让两个不同的公益广告排在首尾两个位置，采用特殊位置法先让两个不同的公益广告排在首尾两个位置，再让再让4个商业广告排在剩下的个商业广告排在剩下的4个位置，据分步计数原理可知共有个位置，据分步计数原理可知共有 48种播放方式种播放方式答案：答案：48 ( (x6)( )(x5) )90，解得解得x15或或x4( (舍舍) )，经检验经检验x15是原方程的解是原方程的解( (2) )原不等式可化为：原不等式可化为： ( (n3)( )(n4) )4( (n4) )254，即即n211n120，解得解得1n12.又又n N*且且n5，n5,6,7,8,9,10,11.解析：解析：( (1) )原不等式可化为：原不等式可化为： ( (10x)( )(9x) )6，即即x219x840，7x12.又又x8且且x20. 2x8，又又x N*，x8.排列问题的本质就是排列问题的本质就是“元素元素”占占“位子位子”问题，有限制条件的排列问题问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素的限制主要表现在：某些元素“排排”或或“不排不排”在哪个位子上，某些元素在哪个位子上，某些元素“相邻相邻”或或“不相邻不相邻”对于这类问题在分析时，主要按对于这类问题在分析时，主要按“优先优先”原则，原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子 有有3名男生、名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数法总数( (1) )选其中选其中5人排成一排；人排成一排；( (2) )排成前后两排，前排排成前后两排，前排3人，后排人，后排4人；人；( (3) )全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；( (4) )全体排成一排，女生必须站在一起；全体排成一排，女生必须站在一起；( (5) )全体排成一排，男生互不相邻全体排成一排，男生互不相邻变式训练变式训练2.用数字用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数组成没有重复数字的四位数( (1) )可组成多少个不同的四位数？可组成多少个不同的四位数？( (2) )可组成多少个四位偶数？可组成多少个四位偶数？( (3) )将将( (1) )中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？项是什么？组合问题常有以下两类题型变化：组合问题常有以下两类题型变化：( (1) )“含有含有”或或“不含有不含有”某些元素的组合题型：某些元素的组合题型：“含含”，则先将这些元素，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；取出，再由另外元素补足；“不含不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取素中去选取( (2) )“至少至少”或或“最多最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至至少少”与与“最多最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 男运动员男运动员6名，女运动员名，女运动员4名，其中男女队长各名，其中男女队长各1名，选派名，选派5人外人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？( (1) )男运动员男运动员3名，女运动员名，女运动员2名；名；( (2) )至少有至少有1名女运动员；名女运动员；( (3) )队长中至少有队长中至少有1人参加人参加变式训练变式训练3.一个口袋内有一个口袋内有4个不同的红球，个不同的红球，6个不同的白球个不同的白球( (1) )从中任取从中任取4个，使红球的个数不比白球少，这样的取法有多少种？个，使红球的个数不比白球少，这样的取法有多少种？( (2) )若取一个红球记若取一个红球记2分，取一个白球记分，取一个白球记1分，从口袋中取分，从口袋中取5个球，使总分不个球，使总分不小于小于7的取法有多少种？的取法有多少种？解决排列组合问题可遵循解决排列组合问题可遵循“先组合后排列先组合后排列”的原则，区分排列组合问的原则，区分排列组合问题主要是判断题主要是判断“有序有序”和和“无序无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现样的算法无序，关键是在计算中体现“有序有序”和和“无序无序” ( (1)( )(2010山东卷山东卷) )某台小型晚会由某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( () )A36种种 B42种种C48种种 D54种种( (2)( )(2009四川卷四川卷) )3位男生和位男生和3位女生共位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两位同学站成一排，若男生甲不站两端，端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( () )A360 B288C216 D96答案：答案：( (1) )B( (2) )B变式训练变式训练4.用数字用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有_个个( (用数字作答用数字作答) )答案：答案：3241对于有附加条件的排列组合应用题，通常从三个途径考虑对于有附加条件的排列组合应用题，通常从三个途径考虑( (1) )以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；( (2) )以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；( (3) )先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数2求解排列、组合问题的方法与技巧求解排列、组合问题的方法与技巧( (1) )特殊元素优先安排；特殊元素优先安排；( (2) )合理分类与准确分步；合理分类与准确分步；( (3) )排列、组合混合问题先选后排列、组合混合问题先选后排；排；( (4) )相邻问题捆绑处理；相邻问题捆绑处理；( (5) )不相邻问题插空处理；不相邻问题插空处理；( (6) )定序问题排除法处理；定序问题排除法处理；( (7) )分排问题直排处理；分排问题直排处理；( (8) )“小集团小集团”排列问题先整体后局部；排列问题先整体后局部；( (9) )构造模型；构造模型；( (10) )正难正难则反，等价转化则反，等价转化对近三年高考试题的统计分析，有以下的命题规律：对近三年高考试题的统计分析，有以下的命题规律：1考查热点：排列与组合的综合运用考查热点：排列与组合的综合运用2考查形式：选择题或填空题为主，题目难度中等，有时个别题目难度较大考查形式：选择题或填空题为主，题目难度中等，有时个别题目难度较大3考查角度：考查角度：一是对排列与组合问题的考查，解题的突破口是明确一是对排列与组合问题的考查，解题的突破口是明确“怎样才算完成一件事情怎样才算完成一件事情”，在处理具体问题时，首先必须弄清楚是在处理具体问题时，首先必须弄清楚是“分类分类”还是还是“分步分步”，其次要搞清楚，其次要搞清楚“分类分类”和和“分步分步”的具体标准是什么的具体标准是什么二是对排列与组合的综合运用的考查，解题时可以适当地画出树状图、框图或列出二是对排列与组合的综合运用的考查，解题时可以适当地画出树状图、框图或列出表格，使问题的分析更直观、清晰表格，使问题的分析更直观、清晰4命题趋势：以现实生活为背景素材，以排列组合公式为基础，结合两个计数原命题趋势：以现实生活为背景素材，以排列组合公式为基础，结合两个计数原理考查为新的命题趋势理考查为新的命题趋势 ( (2010全国卷全国卷) )某校开设某校开设A类选修课类选修课3门，门，B类选修课类选修课4门，一门，一位同学从中共选位同学从中共选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有有( () )A30种种 B35种种C42种种 D48种种答案：答案：A阅后报告阅后报告本题方法一是直接法，而方法二是间接法，这两种方法是解本题方法一是直接法，而方法二是间接法，这两种方法是解决排列、组合问题着眼点，考生应掌握决排列、组合问题着眼点，考生应掌握解排列组合题的解排列组合题的“24字方针，字方针，12个技巧个技巧”：( (1) )“二十四字方针二十四字方针”是解排列组合题的基本规律，即：排组分清，加乘明是解排列组合题的基本规律，即：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘( (2) )“十二个技巧十二个技巧”是速解排列组合题的捷径，即：是速解排列组合题的捷径，即：相邻问题捆绑法；相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；多排问题单排法；定序定序问题倍缩法；问题倍缩法；定位问题优先法；定位问题优先法；有序分配问题分步法；有序分配问题分步法；多元问题分多元问题分类法；类法；交叉问题集合法；交叉问题集合法；至少至少( (至多至多) )问题间接法；问题间接法；选排问题先取后排选排问题先取后排法；法； 局部与整体问题排除法；局部与整体问题排除法； 复杂问题转化法复杂问题转化法1( (2010北京卷北京卷) )8名学生和名学生和2位老师站成一排合影，位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法位老师不相邻的排法种数为种数为( () )答案：答案：A2( (2010四川卷四川卷) )由由1、2、3、4、5组成没有重复数字且组成没有重复数字且1、2都不与都不与5相相邻的五位数的个数是邻的五位数的个数是( () )A36 B32C28 D24答案：答案：A3( (2010天津卷天津卷) )如图，用四种不同颜色给图中如图，用四种不同颜色给图中的的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有则不同的涂色方法共有( () )A288种种 B264种种C240种种 D168种种答案：答案：B4( (2010重庆卷重庆卷) )某单位拟安排某单位拟安排6位员工在今年位员工在今年6月月14日至日至16日日( (端午节假期端午节假期) )值班，每天安排值班，每天安排2人，每人值班人，每人值班1天若天若6位员工中的甲不值位员工中的甲不值14日，乙不值日，乙不值16日，则不同的安排方法共有日，则不同的安排方法共有( () )A30种种 B36种种C42种种 D48种种答案：答案：C练规范、练技能、练速度