第第7章章 耦合电感与变压器耦合电感与变压器7. 1 互感和互感电压互感和互感电压7. 2 耦合电感电路的分析耦合电感电路的分析7. 3 空芯变压器电路分析空芯变压器电路分析7. 4 理想变压器和全耦合变压器理想变压器和全耦合变压器7. 5 变压器的电路模型变压器的电路模型7. 1 互感和互感电压互感和互感电压一、一、 互感和互感电压互感和互感电压+u11+u21i1 11 21N1N2当当 线线 圈圈 1中中 通通 入入 电电 流流 i1时时 ， 在在 线线 圈圈 1中中 产产 生生 磁磁 通通(magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈，同时，有部分磁通穿过临近线圈2。线圈线圈1的自感系数的自感系数 (self-inductance coefficient)线圈线圈1对线圈对线圈2的互感系数，的互感系数，单位：单位：H(mutual inductance coefficient)当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质(空心线圈空心线圈)时，有时，有u11：自感电压；：自感电压； u21：互感电压。：互感电压。 ：磁链：磁链 (magnetic linkage)当当i1与与u11关关联联取取向向；u21与与磁磁通通符符合合右右手手螺螺旋旋法法则则时时，根据电磁感应定律和楞次定律：根据电磁感应定律和楞次定律：当当 线线 圈圈 1中中 通通 入入 电电 流流 i1时时 ， 在在 线线 圈圈 1中中 产产 生生 磁磁 通通(magnetic flux)，同同时时，有有部部分分磁磁通通穿穿过过临临近近线线圈圈2。当当i1为为时时变变电电流流时时，磁磁通通也也将将随随时时间间变变化化，从从而而在在线线圈圈2两两端端产产生感应电压。生感应电压。+u12+u22i2 12 22N1N2可以证明可以证明：M12= M21= M。当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：含自感电压和互感电压： 互感的性质互感的性质可以证明，可以证明，M12=M21=M互感系数互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互位置相互位置 和周围的介质磁导率有关。和周围的介质磁导率有关。 耦合系数耦合系数 (coupling coefficient)k：k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。表示两个线圈磁耦合的紧密程度。全耦合（全耦合（perfect coupling）：）： K=1紧耦合紧耦合 K1无耦合（孤立电感）无耦合（孤立电感） K=0可以证明，可以证明， 0 k 1互感小于两元件自感的几何平均值。互感小于两元件自感的几何平均值。二、互感线圈的二、互感线圈的同名端同名端具具有有互互感感的的线线圈圈两两端端的的电电压压包包含含自自感感电电压压和和互互感感电电压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。对自感电压：对自感电压：当当u11, i 1关联取向关联取向当当u11, i1 非关联取向非关联取向对对互互感感电电压压，因因产产生生该该电电压压的的的的电电流流在在另另一一线线圈圈上上，因因此此，要要确确定定其其符符号号，就就必必须须知知道道两两个个线线圈圈的的绕绕向向。这这在在电路分析中显得很不方便。电路分析中显得很不方便。+u11+u21i1 11 0N1N2+u31N3 s引入同名端可以解决这个问题。引入同名端可以解决这个问题。同同名名端端：当当两两个个电电流流分分别别从从两两个个线线圈圈的的对对应应端端子子流流入入 ，其其所所产产生生的的磁磁场场相相互互加加强强时时，则则这这两两个个对对应应端端子子称称为为同同名名端端，否则为否则为异名端异名端。 * 同名端表明了线圈的相互绕法关系。同名端表明了线圈的相互绕法关系。同名端的另一种定义：同名端的另一种定义： 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，则当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，则另一线圈中互感电压的高电位端为其相应的同名端。另一线圈中互感电压的高电位端为其相应的同名端。112233* 例例. 同名端的实验测定：同名端的实验测定：i1122*R SV+电压表正偏。电压表正偏。如图电路，当开关如图电路，当开关S突然闭合时，突然闭合时，i增加，增加，当当两两组组线线圈圈装装在在黑黑盒盒里里，只只引引出出四四个个端端线线组组，要要确确定定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。当当S突然闭合时：突然闭合时： 电压表若正偏，则电压表若正偏，则1、2为同名端为同名端 电压表若反偏，则电压表若反偏，则1、2为同名端为同名端三、由同名端及三、由同名端及u,i参考方向确定互感线圈的特性方程参考方向确定互感线圈的特性方程互感电压的正负号判定规则互感电压的正负号判定规则：当当电流的流入端电流的流入端与该电流引起的与该电流引起的互感电压的参考正极互感电压的参考正极端端为同名端时，互感电压取正号，反之，取负号。为同名端时，互感电压取正号，反之，取负号。i1*L1L2+_uMMi1*L1L2+_uMMi1*L1L2+_u1+_u2i2M*L1L2+_u1+_u2i2Mi1时域形式时域形式：*j L1j L2+_j M+_在正弦交流电路中，其在正弦交流电路中，其相量形式相量形式的方程为的方程为i1L1L2+u1+_u2i2+_互感的时域等效模型互感的时域等效模型+_+_+_互感的等效相量模型互感的等效相量模型注注：上图中将互感电压用受控电压源表示后，上图中将互感电压用受控电压源表示后，L1 与与L2就就不再具有耦合关系。不再具有耦合关系。注意：注意： 有有三三个个线线圈圈，相相互互两两两两之之间间都都有有磁磁耦耦合合，每每对对耦耦合合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。线圈的同名端必须用不同的符号来标记。 A、B为为同同名名端端，B、C为为同同名名端端，但但A、C不不一一定定是同名端。是同名端。(1) 一个线圈可以不只和一个线圈有磁耦合关系；一个线圈可以不只和一个线圈有磁耦合关系；(2) 互感电压的符号有两重含义：同名端；参考方向互感电压的符号有两重含义：同名端；参考方向互感现象的利与弊：互感现象的利与弊：利用利用变压器：信号、功率传递变压器：信号、功率传递避免避免干扰干扰克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。7. 2 耦合电感电路的分析耦合电感电路的分析一、互感线圈的串联一、互感线圈的串联1. 顺串顺串iL顺串顺串u+i*u2+ML1L2u1u+2. 反串反串i*u2+ML1L2u1+u+iL反串反串u+* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：顺接一次，反接一次，就可以测出互感：互感的测量方法：互感的测量方法：1. 同名端在同侧同名端在同侧i = i1 +i2 解得解得u, i的关系：的关系：二、互感线圈的并联二、互感线圈的并联*Mi2i1L1L2ui+2. 异名端在同侧异名端在同侧*Mi2i1L1L2ui+三、含耦合电感电路的一般分析三、含耦合电感电路的一般分析*R2R1j L1+j L2j M相量模型相量模型*MR2R1L1L2u+时域模型时域模型例：如上，列写网孔方程例：如上，列写网孔方程互感电压项互感电压项可见，此法麻烦！可见，此法麻烦！四、互感去耦法四、互感去耦法1. 同名端相连同名端相连*L1123L2Mii1i2(L1M)123(L2M)Mi1i2i2. 异名端相连异名端相连*L1123L2Mii1i2(L1+M)123(L2+M)-Mi1i2i同理可证同理可证例：例：利用互感去耦法求利用互感去耦法求ab端等效电感端等效电感Leq*ML1L2abLeqbLeqL1-MaL2-MM例：例：利用互感去耦法重解前面例题。利用互感去耦法重解前面例题。R2R1+j (L2-M)j (L1-M)j M相量模型相量模型*MR2R1L1L2u+时域模型时域模型去耦去耦列网孔方程：列网孔方程：解之：解之：例：例：求求ab间等效电感间等效电感Leq=?。 已知已知M=4mH*ML1=10mHL2=2mHabLeqc14mH6mHabLeq-4mHc7. 3 空芯变压器电路分析空芯变压器电路分析*j L1j L2j M+R1R2ZL空芯变压器：空芯变压器： （非铁磁性骨架材料）（非铁磁性骨架材料）主圈主圈（原边、初级线圈）（原边、初级线圈）：副圈副圈（副边、次级线圈）（副边、次级线圈）：*j L1j L2j M+R1R2ZL一、回路分析法一、回路分析法二、反映阻抗（二、反映阻抗（reflected impedance）其中：其中： Z11=R1+j L1 初级回路的自阻抗初级回路的自阻抗 Z22=R2+ZL+j L2 次级回路的自阻抗次级回路的自阻抗次级在初级回路中的次级在初级回路中的反映阻抗反映阻抗， 或称为或称为引入阻抗引入阻抗。初级等效电路初级等效电路+Z11这这说说明明了了次次级级回回路路对对初初级级回回路路的的影影响响可可以以用用反反映映（引引入入）阻阻抗抗来来考考虑虑。从从物物理理意意义义讲讲，虽虽然然初初级级、次次级级没没有有电电的的联联系系，但但由由于于互互感感作作用用使使闭闭合合的的次次级级回回路路产产生生电电流流，反反过来这个电流又影响初级回路电流和电压。过来这个电流又影响初级回路电流和电压。关于反映阻抗关于反映阻抗：1.次级在初级中的反映阻抗：次级在初级中的反映阻抗：2.与同名端无关。与同名端无关。3.当当Z22为容性为容性 Zref1为感性。为感性。4. 当当Z22为感性为感性 Zref1为容性为容性 。5. 当当Z22为电阻为电阻 Zref1为电阻为电阻 。4. 同理，初级在次级中的反映阻抗：同理，初级在次级中的反映阻抗：次级等效之一：次级等效之一：+另：另： 也可以利用戴文南等效作次级等效。也可以利用戴文南等效作次级等效。次级等效之二：次级等效之二：+*j L1j L2j M+R1R2ZL解：解：*j10 j10 +10 ZLj2 法一法一：回路电流分析法（：回路电流分析法（略略）法二法二：利用初级、次级等效电路。：利用初级、次级等效电路。+10+j10 Zref1=10j10 初级等效初级等效*j10 j10 +10 ZLj2 +次级等效次级等效*0.4HabL2L10.1H0.12H解：解： 法一：反映阻抗法法一：反映阻抗法法二：互感去耦法法二：互感去耦法*0.4HabL2L10.1H0.12Hab-0.12H0.22H0.52H*0.4HabL2L10.1H0.12H例例3.（不讲不讲）支支路路法法、回回路路法法：方方程程较较易易列列写写，因因为为互互感感电电压压可可以以直直接接计入计入KVL方程中。方程中。分析：分析：节节点点法法：方方程程列列写写较较繁繁，因因为为与与有有互互感感支支路路所所连连接接的的节节点点电电压压可可能能是是几几个个支支路路电电流流的的多多元元函函数数，不不能能以以节节点电压简单地写出有互感的支路点流的表达式。点电压简单地写出有互感的支路点流的表达式。 关键：正确考虑互感电压作用，要注意表达式中的正负号，关键：正确考虑互感电压作用，要注意表达式中的正负号，不要漏项。不要漏项。M12+_+_* M23M13L1L2L3Z1Z2Z3此题可先作出去耦等效电路，再列方程此题可先作出去耦等效电路，再列方程(一对一对地消一对一对地消):M12* M23M13L1L2L3* M23M13L1M12L2M12L3+M12L1M12 M13 +M23L2M12 +M13 M23L3+M12 M13 M237. 4 理想变压器和全耦合变压器理想变压器和全耦合变压器1. 理想变压器的伏安关系理想变压器的伏安关系 一、一、. 理想变压器理想变压器 (ideal transformer)：*+1 : n理想变压器理想变压器u1i1i2u2 理想变压器也是一种耦合元件，符号与耦合电感相似，理想变压器也是一种耦合元件，符号与耦合电感相似，但理想变压器的唯一参数是但理想变压器的唯一参数是变比变比（匝比）（匝比）n注：注：如前表达式是在如前表达式是在i1,i2以及以及u1,u2的参考方向对同名端一的参考方向对同名端一致致 时得到的。时得到的。i1, i2对同名端一致对同名端一致即：即： i1,i2的流入端为同名端。的流入端为同名端。u1, u2对同名端一致对同名端一致即：即： u1,u2的参考正极端为同名端。的参考正极端为同名端。若若i1,i2以及以及u1,u2的参考方向的参考方向对同名端不一致，对同名端不一致，则前表达则前表达式中式中符号取反。符号取反。*-+2 : 1例：例：对同名端一对同名端一致，取致，取“”对同名端一对同名端一致，取致，取“”*+1 : n例：例：对同名端不对同名端不一致，取一致，取“”对同名端不对同名端不一致，取一致，取“”2. 2. 理想变压器的功率性质：理想变压器的功率性质： 理想变压器的特性方程为代数关系，因此理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆无记忆作用。作用。由由此此可可以以看看出出，理理想想变变压压器器既既不不储储能能，也也不不耗耗能能，在电路中只起传递信号和能量的作用。在电路中只起传递信号和能量的作用。*+1 : nu1i1i2u2例例:* *1 : 2.5+12mV-j10 10 +-+-解：解：3. 理想变压器的阻抗变换性质：理想变压器的阻抗变换性质：* *+1 : nRLu2(a)*+1 : nu2(b)阻抗变换一：阻抗变换一：利用伏安关系证明利用伏安关系证明(a),(b)等效：等效：对对(a)有：有：i2=0*+1 : 10u1i1i21K * *+1 : 10u1i110 例：例：求端口输入电阻求端口输入电阻Rii=0+u1i110 端口输入电阻端口输入电阻 : Ri=u1/ i1=10 阻抗变换之二阻抗变换之二：*+1 : nu1i1i2u2+-R(a)*+1 : nu1i1i2u2+-n2 R(b)*+1 : nu1R1R2i2+u2n2 R2* *+1 : nu1i1i2+n2 R1例：例：注：注：应注意变换次序及变换前后阻抗与线圈的串、并联关系。应注意变换次序及变换前后阻抗与线圈的串、并联关系。应用应用：例：例：电力传输中高压送电减小线路上热损耗电力传输中高压送电减小线路上热损耗* *1 : n* *n : 1+220Vr0电电厂厂用用户户若直接低压传输，传输线上电流较大，若直接低压传输，传输线上电流较大，r0上热损耗上热损耗很大，且用户端不能获得正常的很大，且用户端不能获得正常的220V额定电压。额定电压。实际中采用变压器实现实际中采用变压器实现高压传输高压传输，传输线路上电流，传输线路上电流非常小，热损耗很小。非常小，热损耗很小。降压降压220V+-升压升压几百几百KV+-例例:已已知知电电源源内内阻阻RS=1k ，负负载载电电阻阻RL=10 。为为使使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比上获得最大功率，求理想变压器的变比n。* *n : 1RL+uSRSn2RL+uSRS当当 n2RL=RS时匹配，即时匹配，即10n2=1000 n2=100， n=10 .例例:*+1 : 1050 +1 方法方法1：网孔分析法：网孔分析法解得解得方法方法2：阻抗变换：阻抗变换+1 方法方法3：戴维南等效：戴维南等效* *+1 : 10+1 初级等效初级等效求求R0：* *1 : 101 R0R0=102 1=100 戴维南等效电路：戴维南等效电路：+100 50 次级等效次级等效例：例： （不讲不讲）理理想想变变压压器器次次级级有有两两个个线线圈圈，变比分别为变比分别为5:1和和6:1。求初级等效电阻求初级等效电阻R。解：解：R100 180 (根据根据)*+5 : 14 6 : 15 +4. 理想变压器的实现理想变压器的实现i1*L1L2+_u1+_u2i2M实际变压器实际变压器* *+1 : ni1i2u1u2理想变压器理想变压器空芯变压器空芯变压器： 较小，较小，K很小很小铁芯变压器铁芯变压器： 较大，较大，K1K=1（无漏磁）（无漏磁） L1, L2（即（即 ）无能量损耗无能量损耗理想变压器理想变压器：参数参数: L1,L2,M，储能储能参数参数: n不耗能不耗能;不储能不储能.K=1, L1, L2 0i1+-u2-u1+i2N1N2*两边积分得：两边积分得：忽略积分常数，即两线圈中直流成分，只考时变部分有：忽略积分常数，即两线圈中直流成分，只考时变部分有：此即为理想变压器。此即为理想变压器。 实际变压器，当其实际变压器，当其K接近接近1，L1 、L2很大，或在精度很大，或在精度要求不高的情况下可当作理想变压器处理。要求不高的情况下可当作理想变压器处理。*j L1j L2j M+二、全耦合变压器二、全耦合变压器 (K=1)由此得全耦合变压器的等效电路图：由此得全耦合变压器的等效电路图：*j L1+1 : n理想变压器理想变压器*+解：解： 法一法一：反映阻抗法：反映阻抗法法二：法二：互感去耦法（互感去耦法（略略）法三：法三：利用全耦合变压器的等效电路利用全耦合变压器的等效电路*+1 : 4+次级等效次级等效7. 5 变压器的电路模型变压器的电路模型实实际际变变压压器器是是有有损损耗耗的的，也也不不可可能能全全耦耦合合，即即 L1，L2 , k 1。除除了了用用具具有有互互感感的的电电路路来来分分析析计计算算以以外外，还常用含有理想变压器的电路模形来表示。还常用含有理想变压器的电路模形来表示。一、理想变压器一、理想变压器(全耦合，无损，全耦合，无损，m m= 线性变压器线性变压器)* *+1 : ni1i2u1u2二、全耦合变压器二、全耦合变压器(k=1，无损，无损 ，m m， 线性线性)与与理理想想变变压压器器不不同同之之处处是是要要考考虑自感虑自感L1 、L2和互感和互感M。*j L1j L2j M+全耦合变压器的等值电路图全耦合变压器的等值电路图*j L1+1 : n理想变压器理想变压器L1：激磁电感：激磁电感 (magnetizing inductance ) 三、无损非全耦合变压器三、无损非全耦合变压器(忽略损耗，忽略损耗，k 1，m m， 线性线性) 21i1i2+u1u2 12 1s 2sN1N2在线性情况下，有在线性情况下，有全耦合部分全耦合部分由此得无损非全耦合变压器的电路模型：由此得无损非全耦合变压器的电路模型：* *L10+1 : n全耦合变压器全耦合变压器L1SL2Si1u1u2i2+u1+u2L1S, L2S：漏电感：漏电感(leakage inductance)四四、考考虑虑导导线线电电阻阻(铜铜损损)和和铁铁心心损损耗耗的的非非全全耦耦合合变变压压器器(k 1，m m， 线性线性) 上上面面考考虑虑的的实实际际变变压压器器认认为为是是线线性性的的情情况况下下讨讨论论的的。实实际际上上铁铁心心变变压压器器由由于于铁铁磁磁材材料料 BH特特性性的的非非线线性性, 初初级级和和次次级级都都是是非非线线性性元元件件，本本来来不不能能利利用用线线性性电电路路的的方方法法来来分分析析计计算算，但但漏漏磁磁通通是是通通过过空空气气闭闭合合的的，所所以以漏漏感感LS1，LS2 基基本本上上是是线线性性的的，但但磁磁化化电电感感LM(L10)仍仍是是非非线线性性的的，但但是是其其值值很很大大，并并联联在在电电路路上上起起的的影影响响很很小小，只只取取很很小小的的电电流流，电电机机学学中中常常用用这这种种等等值值电路。电路。* *L10+n : 1L1SL2Si1u1u2i2RmR1R2小结：小结：变压器的原理本质上都是互感作用，实际上有习惯处理方法。变压器的原理本质上都是互感作用，实际上有习惯处理方法。空空心心变变压压器器：电电路路参参数数 L1、L2、M, 储能。储能。理理想想变变压压器器：电电路路参参数数n, 不不耗耗能能、不不储储能能，变变压压、变变流流、变变阻阻抗，等值电路为：抗，等值电路为：Z11Z引入引入n2Z2注意注意：理想变压器不要与全耦合变压器混为一谈。：理想变压器不要与全耦合变压器混为一谈。铁心变压器铁心变压器：电路参数：电路参数 L1, L2, n, M , R1, R2 .