一轮复习讲义一轮复习讲义两条直线的位置关系两条直线的位置关系 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点平行平行 垂直垂直 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点唯一解唯一解 无解无解 无数个解无数个解 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直 两条直线的交点问题两条直线的交点问题两条直线的交点问题两条直线的交点问题 距离公式的应用距离公式的应用距离公式的应用距离公式的应用 对称与变换的思想对称与变换的思想1.平面内的两条直线的位置关系平面内的两条直线的位置关系若直线若直线l1:y=k1x+b1或或A1x+B1y+C1=0; 直线直线l2:y=k2x+b2或或A2x+B2y+C2=0. (1) l1l2 _且且b1b2 或或_且A2C1- -A1C20(或或B1C2- -B2C10)(2)l1l2_ 或或_ .(3)l1与与l2相交相交或或_或或_.(4)l1与与l2重合重合_; _.k1=k2 且且 b1=b2A1B2- -A2B1=0且且B1C2- -B2C1=0过定点过定点(x0, y0)的直线方程的直线方程: :平行于直线平行于直线 Ax+By+C=0 的直线方程的直线方程: :垂直垂直于直线于直线 Ax+By+C=0 的直线方程的直线方程: :过两条过两条直线直线 l1 1: :A1x+B1y+C=0, l2 2: :A2x+B2y+C=0 交点的直线方程交点的直线方程: :2.2.直线系方程直线系方程直线的方程直线的方程直线的倾斜角的范围直线的倾斜角的范围:00, 1800)斜率的定义式斜率的定义式:k=tan过两点的斜率公式过两点的斜率公式倾斜角与斜率倾斜角与斜率两两直直线线的的位位置置关关系系第三章第三章 直线与方程直线与方程一、知识网络一、知识网络相交相交平行平行重合重合交点：交点：两点的距离：两点的距离：点到直线的距离：点到直线的距离：平行线间的距离平行线间的距离垂直垂直平行平行 A Ax+B By+C C=0（A A，B B不能同时为零，即不能同时为零，即|A A|+|B B|0)A A0，B B=0A A=0，B B0A A0，B B0 y 轴轴平行于平行于 y 轴的直线轴的直线x 轴轴平行于平行于 x 轴的直线轴的直线过过原点的直线原点的直线与与坐标轴的截距均不为零坐标轴的截距均不为零一般式的直线与系数的关系一般式的直线与系数的关系C C=0C C0C C=0C C0C C=0C C0由题意得由题意得所求直线的方程为所求直线的方程为解解: 设所求直线的方程为设所求直线的方程为y- -2=k(x+1), 整理整理,得得 k2+8k+7 = 0 .即即 kx- -y+2+k=0. 例例1. 求过点求过点A(- -1, 2)且与原点的距离等于且与原点的距离等于 的的直线方程直线方程(距离改为距离改为1)x=- -12- -1或或 x= =- -1( (易漏掉易漏掉) )则用上述方法得则用上述方法得 4(y- -2) = 3(x+1), 【1】 求过点求过点A(- -1, 2)且与原点的距离等于且与原点的距离等于 1的直线方程的直线方程.Axoy2 (y- -2) = x+12- -1 【2】 求过点求过点A(- -1, 2)且与原点的距离等于且与原点的距离等于 的直线方程的直线方程. xoyA 【3】 求过点求过点A(- -1, 2)且与原点的距离等于且与原点的距离等于 3的直线方程的直线方程.2- -1xoy- -3无解无解APxyOl1例例2.求直线求直线l1: y=3x4关于点关于点P(2,1)的对称直线的对称直线l2的方程的方程. 在直线在直线l1上取点上取点A(0, - -4), B(1,- -1),点点A关于点关于点P的对称点是的对称点是 A1(4, 2),B1(3,- -1)解解1: 在直线在直线l1上任取两点上任取两点 A, B.点点B关于点关于点P的对称点是的对称点是AA1BB1P0( x o , y o )具备的条件具备的条件P( a, b ) l :Ax + By + C = 0解解出出 xo, yo 即可即可对称问题：对称问题：(1) 点点 ( x , y ) 关于点关于点 ( m , n ) 的对称点为的对称点为 _(2) 点点 ( x , y ) 关于直线关于直线 Ax + By + C = 0 的对的对称称点点 ( x o , yo ) ，则则 _(3) 直线关于点对称的直线方程求法：直线关于点对称的直线方程求法： _； _(4) 直线关于直线对称的直线方程求法：直线关于直线对称的直线方程求法： _； _； _( 2m x , 2n y )求对称点求对称点求对称点求对称点轨迹法轨迹法 (代入法代入法)轨迹法轨迹法 (代入法代入法)点斜式点斜式PxyOl1例例3.求直线求直线l1: y=3x4关于点关于点P(2,1)的对称直线的对称直线l2的方程的方程. A1A2l2在直线在直线 l1上取点上取点A1(0,- -4) ,点点A关于点关于点P的对称点为的对称点为 A2(4 , 2),点点A2(4, 2)在直线在直线 l2 上上,PxyOl1QRl2解解3: 在所求直线在所求直线l2上任取一点上任取一点Q( x, y),例例3.求直线求直线l1: y=3x4关于点关于点P(2,1)的对称直线的对称直线l2的方程的方程. 设点设点Q关于点关于点P的对称点为的对称点为R(x1, y1),则点则点R必在直线必在直线 l1 上上.由中点坐标公式得由中点坐标公式得, 令点令点 M( 6 , 0)关于直线关于直线l:x+y- -2=0的对称的对称点点N(x1, y1), 则有则有在直线在直线 l 1:x+7y- -6=0 上任取一点上任取一点M(6,0), 【1】 求求 l1 :x +7y6 = 0 关于直线关于直线 l : x+y2 = 0对称的直线对称的直线l2方程方程.点点N(2, - -4)也一定在所求的直线也一定在所求的直线 l2上上.所求的直线为所求的直线为:所以所以直线直线 l2 的方程为的方程为7x + y10 = 0. 【1】 求求 l1 :x +7y6 = 0 关于直线关于直线 l : x+y2 = 0对称的直线对称的直线l2方程方程.解解2:设所求直线设所求直线l2上任一点上任一点 P2( x , y) , 则则 P2 关于直线关于直线 l 对称的点对称的点 P1( x1 , y1 )一一定在直线定在直线 l1 上上. 所以直线所以直线l2方程为方程为: 7x + y10 = 0. P1 在直线在直线 l :x+7+7y- -6=0 上上, x1+7y1- -6=0, (2- -y)+7(2- -x)- -6=0, 【1】 求求 l1 :x +7y6 = 0 关于直线关于直线 l : x+y2 = 0对称的直线对称的直线l2方程方程.例例4. 已知定点已知定点P ( - -2, - -1 ) ,直线直线 l : (1+3t)x+(1+2t)y- -(2+5t)=0(t为实数为实数),求证求证:无论无论 t 取何值取何值,点点P到到直线直线 l 的距离不大于的距离不大于证明证明: 将方程变为将方程变为解方程组解方程组故直线恒过点故直线恒过点 Q (1, 1).设设 P 到直线到直线 l 的距离为的距离为d ,则则d |PQ|.而而 |PQ|=所以点所以点 P 到直线到直线 l 的距离不大于的距离不大于 【2】 过点过点A(- -1, 2)且与原点的距离等于且与原点的距离等于1的的直线方程是直线方程是_.3x+ +4y- -5= 0, 或或 x =-=-12- -1Axoy设设 y- -2=k(x+1), 即即 kx- -y+2+k=0. 3x+ +4y- -5= 0. 【3】 ABC 的顶点的顶点A ( 3, 4 ), 两条高的两条高的方程为方程为 7x2y1 = 0 及及 2x7y6 = 0, 不求交不求交点点, 求求 BC 边上的高所在直线方程边上的高所在直线方程.解：设所求直线方程为解：设所求直线方程为7x2y1+(2x7y6 ) = 0. 此直线过点此直线过点 A ( 3, 4 ),故所求故所求方程为方程为 x + y + 1 = 0. xoyABCI 【4】求求过过两两直直线线11x + 3y7 =0 与与 12x + y19 =0的的交交点点且且与与点点 A A(3,2 ), B B (1 , 6 ) 距距离离相等的直线方程相等的直线方程.解解:设设所所求直线求直线 l 方程为方程为 l 过过 ABAB 的中点或与的中点或与 ABAB 平行平行,11x+3y7+(12x+y19 ) = 0.Axyo 【5】 求在两坐标轴上截距相等求在两坐标轴上截距相等,且与点且与点A(3, 1)的距离等于的距离等于 的直线方程的直线方程. 【6】若直线若直线 l 经过点经过点 P (- -1 , 2) , 且点且点M (- -4, 1)和和N (2 , 5)到直线到直线 l 的距离相等，则直线的距离相等，则直线 l 的的方程为方程为_.x=- -1, 或或 2x3y +8=0MNPxoy【7】若若x+2y=1,则则x2+y2 的最小值是的最小值是_.xOABx 2 = 0. 【8】两点两点 A ( 1, 0 ), B ( 3, ) 到直线到直线 l 的距离均等于的距离均等于 1, 则直线则直线 l 的方程有的方程有_条条.4y 【9】三条直线三条直线 l1: x+y = 0, l2: x- -y = 0, l3: x+ ay = 3 能构成能构成三角形三角形 , 则实数则实数a的取值范围是的取值范围是_. 【10】三条直线三条直线 l1: 3x- -y+2 = 0, l2: 2x+ +y+3=0, l3: mx+ y =0不能构成不能构成三角形三角形 , 则实则实数数 m 的取值范围是的取值范围是_. 解解题题是是一一种种实实践践性性技技能能, ,就就象象游游泳泳、滑滑雪雪、弹弹钢钢琴琴一一样样，只只能能通通过过模模仿仿和和实实践来学到它！践来学到它！ 波利亚波利亚