16-17 16-17 第一学期第一学期工科数学分析工科数学分析期末试题期末试题 一、填空题（每小题一、填空题（每小题4 4分分, , 共共2020分）分）解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、计算题（每小题二、计算题（每小题5 5分分, , 共共2020分）分）解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1：方程两边同时对方程两边同时对 x 求导，得：求导，得：解解2：方程两边求方程两边求微分微分，得：，得：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：代入原方程，得：代入原方程，得：解解1：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由条件知由条件知，解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 （1 1）（2 2）， 由由(1)(1)知，知，对任何自然数对任何自然数 n，有有解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 列表确定单调区间、凹凸区间及极值点和拐点列表确定单调区间、凹凸区间及极值点和拐点拐点拐点极小值极小值间间断断点点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1) 由对称性由对称性解解:(2) 由对称性由对称性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意上下限注意上下限 ! !(2)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则容器内水的容积是则容器内水的容积是：两边对两边对 t 求导：求导：解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：（1 1）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：（2 2）将（）将（1 1）代入已知等式，有）代入已知等式，有两边对两边对 x 求导，有求导，有两两边再边再对对 x 求导，有求导，有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 特征特征方程方程为为特征根为特征根为对应齐次方程的对应齐次方程的通解为通解为i 是特征方程的单根，是特征方程的单根，求出求出代入原方程，代入原方程， 比较系数得比较系数得得特解：得特解：通解为：通解为：代入初始条件，解得：代入初始条件，解得：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 特征特征方程方程为为特征根为特征根为对应齐次方程的对应齐次方程的通解为通解为作辅助方程：作辅助方程：i 是特征方程的单根，是特征方程的单根，求出求出代入原方程，代入原方程，比较系数得比较系数得取虚部，得特解：取虚部，得特解：通解为：通解为：另解：另解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 通解为：通解为：代入初始条件，解得：代入初始条件，解得：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解: : (2)(2)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：构造辅助函数构造辅助函数由罗尔定理，由罗尔定理，