14.3.1 因式分解因式分解的定义与提公因式法复习回顾复习回顾口答：口答：反过来反过来复习回顾口答：反过来上面我们把一个上面我们把一个多项式多项式化成了几个化成了几个整整式式的的积积的形式，像这样的式子变形叫做把的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项这个多项式式 ，也叫做把这个多项，也叫做把这个多项式式 。分解因式分解因式因式分解因式分解因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解与整式乘法是因式分解与整式乘法是逆变形逆变形上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式 依依照定义，判断下列变形是不是照定义，判断下列变形是不是因式分解因式分解（把（把多项式多项式化成几个化成几个整式整式的的积积） 依照定义，判断下列变形是不是因式分解（把多项式化成几创设情景创设情景 学校打算把操场重新规划一下，学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积。分，如下图，计算操场总面积。abcm创设情景 学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动abcm方法一：方法一：S = m ( a + b + c )方法二：方法二：S = ma + mb + mcmmabcm方法一：S = m ( a + b + c )方法二方法一：方法一：S = m ( a + b + c )方法二：方法二：S = ma + mb + mcm ( a + b + c ) = ma + mb + mc下面两个式子中哪个是因式分解？下面两个式子中哪个是因式分解？ 在式在式子子ma + mb + mc中，中，m是这个多项是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫式中每一个项都含有的因式，叫做做 。公因式公因式ma + mb + mc = m ( a + b + c )方法一：S = m ( a + b + c )方法二：S =ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在下在下面这个式子的因式分解过程中，面这个式子的因式分解过程中，先先找到找到这个多项式的这个多项式的公因式公因式，再将，再将原式除原式除以公因式以公因式，得到一个新多项式，将这个多，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。项式与公因式相乘即可。这种方法叫做这种方法叫做提公因式法提公因式法。提公因式法一般步骤：提公因式法一般步骤： 1、找到该多项式的公因式，、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式，、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把、把它与公因式相乘。它与公因式相乘。ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 如何准确地找到多项式的公因式呢？如何准确地找到多项式的公因式呢？ 1、系数、系数 所有项的系数的所有项的系数的最大公约数最大公约数 2、字母、字母 应提取每一项都有的字母，应提取每一项都有的字母， 且字母的且字母的指数取最低指数取最低的。的。 3、系数与字母相乘、系数与字母相乘 如何准确地找到多项式的公因式呢？ 1、系数最大公约数为最大公约数为3= 3a的最低指数为的最低指数为1ab的最低指数为的最低指数为1b(3a5bc)= 4 st2(-3s2+2t-1)pq(5q+7p+3)=例题精讲最大公约数为3= 3a的最低指数为1ab的最低指数为 按照提公因按照提公因式法因式分解。式法因式分解。做一做 按照提公因式法因式分解。提高训练提高训练( (一一) )提高训练(一)提高训练提高训练( (二二) )提高训练(二)14.3.2 公式法利用平方差公式进行因式分解复习回顾复习回顾还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：平方差公式：完全平方公式：完全平方公式：计算计算复习回顾还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：完全= (999+1)(9991)此处运用了什么公式此处运用了什么公式? ?新课引入新课引入试计算：试计算：9992 1 12= 1000998 = 998000平方差公式平方差公式逆用逆用因式分解因式分解:（1）x2 ;（2）y2 4 2522 52= (x+2)(x2) = (y+5)(y5) 这些计算过程中都这些计算过程中都逆用逆用了平方差公式了平方差公式即：即：= (999+1)(9991)此处运用了什么公式?新课引入此即运用平方差公式进行因式分解此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：用文字表述为： 两个数的平方差等于这两个两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。数的和与这两个数的差的积。 尝试练尝试练习习( (对下列各式因式分解对下列各式因式分解) )： a2 9 = _ 49 n2 = _ 5s2 20t2 = _ 100x2 9y2 =_(a+3)(a3)(7+n)(7n)5(s+2t)(s2t)(10x+3y)(10x3y)此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为： 两个数 x2 + 4 4x2 + y2 x4 1 x2 x6 6x3 54xy2 (x+p)2 (xq)2 判断下列各式是否可以 x2 + 4例= y2 4x2 = (y+2x)(y2x)= (x2)2 12 = (x2+1) (x21) 4x2 + y2 x4 1= (x2+1) (x+1)(x1)因式分解一定要分解彻底因式分解一定要分解彻底 != y2 4x2 = (y+2x)(y2x) 4 x2 x6 = x2 (x3)2 = (x+x3)(xx3) = x(1+x2)x(1x2) = x2(1+x2)(1+x)(1x) x2 x6 = x2 (1x4) = x2 (1+x2)(1x2) = x2 (1+x2)(1+x)(1x) 在我们现学过的因式分解方法中，在我们现学过的因式分解方法中，先考虑先考虑提取公因式提取公因式，再考虑用，再考虑用公式法公式法。 x2 x6 将前面各式例(2) x2 6x3 54xy2 = 6x (x29y2) = 6x (x+3y)(x3y) (x+p)2 (xq)2 = (x+p)+(xq) (x+p)(xq) = (2x+pq)(p+q)YXYXYX 6x3 54xy2 将前面各式例(2)Y 利用平方差利用平方差公式因式分解。公式因式分解。做一做 利用平方差公式因式分解。提高训练提高训练( (一一) )提高训练(一)14.3.2 公式法（中级篇2）利用完全平方公式进复习回顾复习回顾还记得前面学的完全平方公式吗？还记得前面学的完全平方公式吗？计算：计算：复习回顾还记得前面学的完全平方公式吗？计算：新课引入新课引入试计算：试计算：9992 + 1998 + 129991= (999+1)2 = 106此处运用了什么公式此处运用了什么公式? ?完全平方公式完全平方公式逆用逆用 就像平方差公式一样，就像平方差公式一样，完全平方完全平方公式公式也可以也可以逆用逆用，从而进行一些简便，从而进行一些简便计算与因式分解。计算与因式分解。即：即：新课引入试计算：9992 + 1998 +这个公式可以用文字表述为：这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去）两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的这两个数的积的两两倍，等于这两个倍，等于这两个数的和（或差）的平方。数的和（或差）的平方。 牛刀小试牛刀小试( (对下列各式因式分解对下列各式因式分解) )： a2+6a+9 = _ n210n+25 = _ 4t28t+4 = _ 4x212xy+9y2 = _(a+3)2(n5)24(t1)2(2x3y)2这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去 16x2 + 24x + 9 4x2 + 4xy y2 x2 + 2x 1 4x2 8xy + 4y2 1 2a2 + a4 (p+q)2 12(p+q) + 36 形如形如a22ab+b2的式子叫做的式子叫做完全平完全平方式方式。 完全平方式一完全平方式一定可以利用定可以利用完全平完全平方公式方公式因式分解因式分解 判断下列各式是否可以 16x2 + 完全平方式的特点：完全平方式的特点： 1、必须是、必须是三项式三项式（或可以看成三项的）（或可以看成三项的） 2、有两个、有两个同号同号的平方项的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的、有一个乘积项（等于平方项底数的2倍倍） 简记口诀：简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。首平方，尾平方，首尾两倍在中央。完全平方式的特点： 16x2 + 24x + 9 4x2 + 4xy y2 4x2 8xy + 4y2= (4x+3)2= (4x24xy+y2) = (2xy)2= 4 (x22xy+y2)= 4 (xy)2 将例(1)中的完全平方式例(2) 16x 2a2 + (p+q)2 12(p+q) + 36a41= (a21)2= (a+1)2 (a1)2= (a+1) (a1)2= (p+q6)2XXX 2a2 + 将例(1)中的完全平 用完全平方公用完全平方公式进行因式分解。式进行因式分解。做一做 用完全平方公式进行因式分解。 用恰当的方用恰当的方法进行因式分解。法进行因式分解。备选方法：备选方法：提公因式法提公因式法平方差公式平方差公式完全平方公式完全平方公式做一做 用恰当的方法进行因式分解。备选方法：提高训练提高训练( (一一) ) 给给4x2+1加上一个单项式，加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，这使它成为一个完全平方式，这个单项式可以是个单项式可以是 _。提高训练(一) 给4x2+1加上一个单项式，使它成为一个完提高训练提高训练( (二二) )提高训练(二)提高训练提高训练( (三三) )提高训练(三)14.3.3* 因式分解（高级篇）因式分解的其他常知识结构知识结构因式分解因式分解常用方法常用方法提公因式法提公因式法公式法公式法十字相乘法十字相乘法分组分解法分组分解法拆项添项法拆项添项法配方法配方法待定系数法待定系数法求根法求根法知识结构因式分解常用方法提公因式法一、提公因式法一、提公因式法 只需只需找到找到多项式中的多项式中的公因式公因式，然后用然后用原多项式除以公因式原多项式除以公因式，把所，把所得的商与公因式相乘即可。往往与得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。其他方法结合起来用。提公因式法提公因式法随堂练习：随堂练习：1 1）15(15(mm n n)+13()+13(n n mm) )2 2）4(4(x x+ +y y)+4()+4(x x33y y) )一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式，然后用原多项二、公式法二、公式法 只需发现多项式的只需发现多项式的特点特点，再，再将符合其形式的公式套进去即可将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方完成因式分解，有时需和别的方法法结合结合或多种公式或多种公式结合结合。 接下来是一些常用的乘法公接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。式，可以逆用进行因式分解。二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式常用公式常用公式1、(a+b)(ab)=a2b2（平方差公式）平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2（完全平方公式）完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)及及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导公式推导常用公式这是公式这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程的推导过程不要与不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆混淆这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz 的推导过程公式法公式法随堂练习：随堂练习：1 1）( (a a2 21010a a+25)(+25)(a a2 225)25)2 2）x x3 3+3+3x x2 2+ +3 3x x+1+1二、公式法二、公式法 只需发现多项式的只需发现多项式的特点特点，再，再将符合其形式的公式套进去即可将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方完成因式分解，有时需和别的方法法结合结合或多种公式或多种公式结合结合。公式法随堂练习：二、公式法 只需发现多项式的特点，再将三、十字相乘法三、十字相乘法前面出现了一个公式：前面出现了一个公式：前面出现了一个公式：前面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我们可以用它进行因式分解我们可以用它进行因式分解我们可以用它进行因式分解我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）例例1：因式分解：因式分解x2+4x+3可以看出常数项可以看出常数项可以看出常数项可以看出常数项 3 = 3 = 1 3而一次项系数而一次项系数而一次项系数而一次项系数 4 = 4 = 1 + + 3原式原式原式原式=(=(x x+1)( )(x x+3) )暂且称为暂且称为暂且称为暂且称为p、q型因式分解型因式分解三、十字相乘法前面出现了一个公式：例1：因式分解x2+4x例例2：因式分解：因式分解x27x+10可以看出常数项可以看出常数项可以看出常数项可以看出常数项10 = 10 = (2)(5)而一次项系数而一次项系数而一次项系数而一次项系数 7 = 7 = (2) + (5)原式原式原式原式=(=(x x2)( )(x x5) )这个公式简单的说，这个公式简单的说，这个公式简单的说，这个公式简单的说，就是把常数项拆成两个数的乘积，就是把常数项拆成两个数的乘积，就是把常数项拆成两个数的乘积，就是把常数项拆成两个数的乘积，而这两个数的和刚好等于一次项系数而这两个数的和刚好等于一次项系数而这两个数的和刚好等于一次项系数而这两个数的和刚好等于一次项系数十字相乘法十字相乘法随堂练习：随堂练习：1 1）a a2 266a a+5 2+5 2）a a2 255a a+6+63 3）x x2 2(2(2mm+1)+1)x x+ +mm2 2+ +mm22例2：因式分解x27x+10这个公式简单的说，十字相乘法三、十字相乘法三、十字相乘法试因式分解试因式分解6x2+7x+2。这里就要用到这里就要用到这里就要用到这里就要用到十字相乘法十字相乘法（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）。既然是二次式，就可以写成既然是二次式，就可以写成既然是二次式，就可以写成既然是二次式，就可以写成( (axax+ +b b)( )(cxcx+ +d d) )的形式。的形式。的形式。的形式。( (axax+ +b b)( )(cxcx+ +d d)=)=acx x2 2+ +(ad+bc)x x+ +bd 所所所所以，需要将以，需要将以，需要将以，需要将二次项系数二次项系数与与与与常数项常数项分别拆成分别拆成分别拆成分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。分解就成功了。分解就成功了。分解就成功了。三、十字相乘法试因式分解6x2+7x+2。既然是二次式，就= 173 x2 + 11 x + 106 x2 + 7 x + 223124 + 3 = 76x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522 + 15= 1113255 + 63x2+11x+10=(x+2)(3x+5)= 173 x2 + 11 x + 106 x2 + 7 x= 65 x2 6 xy 8 y2试因式分解试因式分解5x26xy8y2。这里仍然可以用这里仍然可以用这里仍然可以用这里仍然可以用十字相乘法十字相乘法。15244 105x26xy8y2 =(x2y)(5x+4y)简记口诀：简记口诀：首尾分解，首尾分解，交叉相乘，交叉相乘，求和凑中。求和凑中。十字相乘法十字相乘法随堂练习：随堂练习：1 1）4 4a a2 299a a+2+22 2）7 7a a2 21919a a663 3）2(2(x x2 2+ +y y2 2)+5)+5xyxy= 65 x2 6 xy 8 y2试因式分解5x2四、分组分解法四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等过交换项的位置，添、去括号等一些一些变换变换达到因式分解的目的。达到因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd 。解：原式解：原式 = (ab ac) + (bd cd) = a (b c) + d (b c) = (a + d) (b c)还有别还有别的解法的解法吗？吗？四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置四、分组分解法四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等过交换项的位置，添、去括号等一些一些变换变换达到因式分解的目的。达到因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd 。解：原式解：原式 = (ab + bd) (ac + cd) = b (a + d) c (a + d) = (a + d) (b c)四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置例例2：因式分解：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。解：原式解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1) = (x3+1)(x2+x+1) = (x+1)(x2x+1)(x2+x+1)立方和公式立方和公式分组分解法分组分解法随堂练习：随堂练习：1 1）xyxy xzxz y y2 2+2+2yzyz z z2 22 2）a a2 2 b b2 2 c c2 222bcbc22a a+1+1例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。解：原式 回顾例题：回顾例题：因式分解因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。另解：原式另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1) = (x+1)(x4+x2+1) = (x+1)(x4+2x2+1x2) = (x+1)(x2+1)2x2 = (x+1)(x2+x+1)(x2x+1)五五*、拆项添项法、拆项添项法怎么结果怎么结果与刚才不与刚才不一样呢？一样呢？因为它还因为它还可以继续可以继续因式分解因式分解回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。另解： 拆项添项法对数学能力有着更拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的分解，要对结果有一定的预见性预见性，尝试较多，做题较繁琐。尝试较多，做题较繁琐。 最好能根据现有多项式内的项最好能根据现有多项式内的项猜测猜测可能需要使用的公式，有时要可能需要使用的公式，有时要根据形式根据形式猜测猜测可能的系数。可能的系数。五五*、拆项添项法、拆项添项法 拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式因式分解因式分解 x4 + 4解：原式解：原式 = x4 + 4x2 + 4 4x2 = (x2+2)2 (2x)2 = (x2+2x+2)(x22x+2)都是平方项都是平方项猜测使用完全平方公式猜测使用完全平方公式完全平方公式完全平方公式平方差公式平方差公式拆项添项法拆项添项法随堂练习：随堂练习：1 1）x x4 42323x x2 2y y2 2+ +y y4 42 2）( (mm2 21)(1)(n n2 21)+41)+4mnmn例因式分解 x4 + 4解：原式 = x4 + 4x2 + 配方法配方法 配方法是一种特殊的拆项添项配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式法，将多项式配成完全平方式配成完全平方式，再，再用平方差公式进行分解。用平方差公式进行分解。因式分解因式分解 a2b2+4a+2b+3 。解：原式解：原式 = (a2+4a+4) (b22b+1) = (a+2)2 (b1)2 = (a+b+1)(ab+3)配方法配方法 ( (拆项添项法拆项添项法) )分组分解法分组分解法完全平方公式完全平方公式平方差公式平方差公式配方法 配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全六六*、待定系数法、待定系数法试因式分解试因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。通过十字相乘法得到通过十字相乘法得到通过十字相乘法得到通过十字相乘法得到 (2(2x x33y y)( )(x x+3+3y y) )设原式等于设原式等于(2x3y+a)(x+3y+b)通过比较两式同类项的系数可得：通过比较两式同类项的系数可得：通过比较两式同类项的系数可得：通过比较两式同类项的系数可得：解得：解得：解得：解得： ，原式原式原式原式 = (2 = (2x x 3 3y y+4)(+4)(x x+3+3y y+5)+5)六*、待定系数法试因式分解 2x2+3xy9y2+14x= 3= 1410 + 42 x2 + 3 xy 9 y2 + 14 x 3 y + 20双十字相乘法双十字相乘法 双十字相乘法适用于双十字相乘法适用于二次六项式二次六项式的因式分解，而待定系数法则没有这的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。个限制。因式分解因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。21336 345= 312 15原式原式原式原式 = = ( (2x x3y y+ +4)( )(x x+ +3y y+ +5) )= 3= 1410+ 42 x2 + 3 xy 9 y2七七*、求根法、求根法 设原多项式等于零，解出方程设原多项式等于零，解出方程的解的解 x1、x2，则原式就可以分则原式就可以分解为解为(xx1)(xx2)(xx3)更多的方法需要同学们自己去寻找更多的方法需要同学们自己去寻找 !多练才能拥有自己的解题智慧多练才能拥有自己的解题智慧 !七*、求根法 设原多项式等于零，解出方程的解 x1、x综合训练综合训练( (一一) )综合训练(一)综合训练综合训练( (二二) )2、x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz因式因式分解分解后的结果是后的结果是( )( )。 A. (A. (y y z z)( )(x x+ +y y)( )(x x z z) B. () B. (y y z z)( )(x x y y)( )(x x+ +z z) ) C. ( C. (y y+ +z z)( )(x x y y)( )(x x+ +z z) D. () D. (y y+ +z z)( )(x x+ +y y)( )(x x z z) )3、因式分解因式分解 x3 + 6x2 + 11x + 6 。综合训练(二)2、x2yy2z+z2xx2z+y2x+z综合训练综合训练( (三三) )综合训练(三)The End