专题六专题六 概率与统计概率与统计第第1讲排列与组合、二项式定理讲排列与组合、二项式定理本节目录本节目录感感悟悟真真题题把把脉脉考考向向聚聚焦焦高高考考突突破破热热点点名名师师讲讲坛坛精精彩彩呈呈现现知知能能演演练练轻轻松松闯闯关关感悟真题把脉考向感悟真题把脉考向真题试做真题试做1(2012高高考考课课标标全全国国卷卷)将将2名名教教师师，4名名学学生生分分成成2个个小小组组，分分别别安安排排到到甲甲、乙乙两两地地参参加加社社会会实实践践活活动动，每每个个小小组组由由1名名教教师师和和2名名学学生生组组成成，不不同同的的安安排排方方案案共有共有()A12种种B10种种C9种种 D8种种2(2012高高考考辽辽宁宁卷卷)一一排排9个个座座位位坐坐了了3个个三三口口之之家家，若若每每家家人坐在一起，则不同的坐法种数为人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33! B3(3！)3C(3！)4 D9!解析：选解析：选C.把一家三口看作一个排列，然后再排列这把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家家,所所以有以有(3！)4种种3(2012高考福建卷高考福建卷)(ax)4的展开式中的展开式中x3的系数等于的系数等于8，则实数则实数a_.答案：答案：2答案：答案：160考向分析考向分析该部分的主要内容是分类加法计数原理与分步乘法该部分的主要内容是分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理，该部分是高中数学计数原理、排列与组合、二项式定理，该部分是高中数学中相对独特的一个知识板块，在高考中也占有特殊的位置中相对独特的一个知识板块，在高考中也占有特殊的位置,其主要考查点是排列、组合的实际应用，二项式系数的求其主要考查点是排列、组合的实际应用，二项式系数的求解、二项式指定项的求解等，一般以选择题或填空题的形解、二项式指定项的求解等，一般以选择题或填空题的形式出现，还可能考查使用排列组合的知识进行概率计算、式出现，还可能考查使用排列组合的知识进行概率计算、使用二项式定理解决数列问题或者不等式问题使用二项式定理解决数列问题或者不等式问题热点一热点一两个计数原理的应用两个计数原理的应用在解题的过程中，要正确使用两个计数原理，一般是先分在解题的过程中，要正确使用两个计数原理，一般是先分类，后分步，分类时要明确标准，不重不漏；分步要注意类，后分步，分类时要明确标准，不重不漏；分步要注意各各步间的连续性步间的连续性聚焦高考突破热点聚焦高考突破热点例例1 用数字用数字2,3组成四位数，且数字组成四位数，且数字2,3至少都出现一至少都出现一次次,这样的四位数共有这样的四位数共有_个个(用数字作答用数字作答)思路点拨思路点拨 利用分步乘法计数原理进行求解利用分步乘法计数原理进行求解.【解析解析】先求出先求出2,3组成的所有四位数的个数，再减去不组成的所有四位数的个数，再减去不符合要求的四位数的个数因为四位数的每个数位上都有符合要求的四位数的个数因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是两种可能性，其中四个数字全是2或或3的情况不合题意，所的情况不合题意，所以符合题意的四位数有以符合题意的四位数有24214(个个)【答案答案】14【规律方法规律方法】分类加法计数原理和分步乘法计数原理的分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区区别：分类加法计数原理针对的是别：分类加法计数原理针对的是“分类分类”问题，其中各种问题，其中各种方方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步步乘法计数原理针对的是乘法计数原理针对的是“分步分步”问题，各个步骤中的方法问题，各个步骤中的方法互互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事变变式式1某某次次活活动动中中，有有30个个人人排排成成6行行5列列，现现要要从从中中选选出出3人人进进行行礼礼仪仪表表演演，要要求求这这3人人任任意意2人人不不同同行行也也不不同同列列，则则不不同同的选法种数为的选法种数为_(用数字作答用数字作答)解解析析：其其中中最最先先选选出出的的一一个个有有30种种方方法法，此此时时这这个个人人所所在在的的行行和和列列不不能能再再选选人人，还还剩剩一一个个5行行4列列的的队队形形，选选第第二二个个人人有有20种种方方法法，此此时时该该人人所所在在的的行行和和列列不不能能再再选选人人，还还剩剩一一个个4行行3列列的的队队形形，此此时时第第三三个个人人的的选选法法有有12种种，根根据据分分步步乘乘法法计计数数原理，总的选法种数是原理，总的选法种数是3020127200.答案：答案：7200热点二热点二排列、组合排列、组合(1)区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关若交换某两个元素的位置对结果产生影与顺序是否有关若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果都响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果都没有影响，则是组合问题也就是说排列问题与选取元素没有影响，则是组合问题也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关(2)排列与组合综合应用问题的常见解法：排列与组合综合应用问题的常见解法：特殊元素特殊元素(特殊特殊位置位置)优先安排法；优先安排法；合理分类与准确分步法；合理分类与准确分步法；排列与组排列与组合混合问题先选后排法；合混合问题先选后排法；相邻问题捆绑法；相邻问题捆绑法；不相邻问不相邻问题题插空法；插空法；定序问题缩倍法；定序问题缩倍法；多排问题一排法；多排问题一排法；“小集小集团团”问题先整体后局部法；问题先整体后局部法；构造模型法；构造模型法；正难则反，正难则反，等等价转化法价转化法例例2 (1)(2012高考山东卷高考山东卷)现有现有16张不同的卡片，其中张不同的卡片，其中红红色、黄色、蓝色、绿色卡片各色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取张，从中任取3张，要求这张，要求这3张张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张不同取法的张不同取法的种种数为数为()A232B252C472 D484(2)(2012河河南南省省郑郑州州调调研研)某某单单位位安安排排7位位员员工工在在2012年年1月月22日日至至1月月28日日(即即今今年年除除夕夕到到正正月月初初六六)值值班班，每每天天安安排排1人人，每每人人值值班班1天天，若若7位位员员工工中中的的甲甲、乙乙排排在在相相邻邻两两天天，丙丙不不排在除夕，丁不排在初一，则不同的安排方案共有排在除夕，丁不排在初一，则不同的安排方案共有()A504种种 B960种种C1008种种 D1056种种思路点拨思路点拨( (1) )分含有红色卡片和不含有红色卡片两种情况；分含有红色卡片和不含有红色卡片两种情况；( (2) )利用间接法求解利用间接法求解.【答案答案】(1)C(2)D【规律方法规律方法】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合问题的角度：解答排列组合应用题要从解答排列组合应用题要从“分析分析”、“分辨分辨”、“分分类类”、“分步分步”的角度入手的角度入手(1)“分析分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素元素”，哪些是，哪些是“位置位置”；(2)“分辨分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；有、无限制等；(3)“分类分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决注意：注意：(1)分类应在同一标准下进行，确保分类应在同一标准下进行，确保“不漏不漏”、“不不重重”，分步要做到，分步要做到“步骤连续步骤连续”和和“步骤独立步骤独立”(2)解决问题的基本原则是先排特殊元素解决问题的基本原则是先排特殊元素(位置位置)再排一般元素再排一般元素(位置位置)变式变式2(1)将将1,2,3，9这这9个数字填在如图所示的个数字填在如图所示的9个空格个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大,当当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法种数为固定在图中的位置时，填写空格的方法种数为()A6 B12C18 D24(2)(2012潍坊模拟潍坊模拟)某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两两名员工必须分到同一个车间名员工必须分到同一个车间,则不同的分法为则不同的分法为_种种34答案：答案：(1)A(2)36思路点拨思路点拨由已知先求由已知先求n的值，再利用通项公式求解的值，再利用通项公式求解.例例3【答案答案】(1)56(2)540【规律方法规律方法】(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：在应用通项公式时，要注意以下几点：它它表表示示二二项项展展开开式式的的任任意意项项,只只要要n与与r确确定定,该该项项就就随随之之确确定定;Tr1是展开式中的第是展开式中的第r1项，而不是第项，而不是第r项；项；公式中，公式中，a，b的指数和为的指数和为n且且a，b不能随便颠倒位置；不能随便颠倒位置；要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；对二项式对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题展开式的通项公式要特别注意符号问题(2)在二项式定理的应用中，在二项式定理的应用中，“赋值思想赋值思想”是一种重要方法，是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法是处理组合数问题、系数问题的经典方法1.如图，用四种不同颜色给图中的如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A288种种 B264种种C240种种 D168种种解析：选解析：选B.法一：先涂点法一：先涂点E，有，有4种涂法种涂法,再涂点再涂点B，有两种，有两种可可能：能：(1)B与与E相同时，依次涂点相同时，依次涂点F，C，D，A，涂法分别有，涂法分别有3,2,2,2种；种；(2)B与与E不相同时有不相同时有3种涂法种涂法,再依次涂再依次涂F、C、D、A点，涂点，涂F有有2种涂法，涂种涂法，涂C点时又有两种可能：点时又有两种可能：备选例题备选例题C与与E相相同同，有有1种种涂涂法法，再再涂涂点点D，有有两两种种可可能能:一一是是D与与B相同，有相同，有1种涂法，最后涂种涂法，最后涂A有有2种涂法；二是种涂法；二是D与与B不相同不相同,有有2种种涂涂法法，最最后后涂涂A有有1种种涂涂法法C与与E不不相相同同，有有1种种涂涂法法,再再涂涂点点D，有有两两种种可可能能：一一是是D与与B相相同同，有有1种种涂涂法法，最最后后涂涂A有有2种涂法；二是种涂法；二是D与与B不相同，有不相同，有1种涂法，最后涂种涂法，最后涂A有有1种涂法种涂法所以不同的涂色方法有所以不同的涂色方法有43222321(1212)1(1211)4(2442)264(种种)名师讲坛精彩呈现名师讲坛精彩呈现例例 (2012高考浙江卷高考浙江卷)若将函数若将函数f(x)x5表示为表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中，其中a0，a1，a2，a5为实数，则为实数，则a3_.【答案答案】10【得分技巧得分技巧】解答本题的关键是把解答本题的关键是把x看作看作(1x)1的形的形式，要求式，要求a3的值，只需利用通项公式求解即可的值，只需利用通项公式求解即可