3.1.1方程的根与函数的零点第三章3.1函数与方程学习目标1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学思考知识点一函数的零点概念函数的“零点”是一个点吗？答案答答案案不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)0的实数x.实际上是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标.对于函数yf(x)，我们把使 的实数x叫做函数yf(x)的 .方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)0 函数yf(x)的图象 函数yf(x) .梳理梳理f(x)0零点有实数根与x轴有交点有零点思考知识点二零点存在性定理答案一般地，有函数零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内 ，即存在c(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)0的根.梳理梳理连续不断f(a)f(b)0f(c)0有零点题型探究题型探究例例1函数f(x)(lg x)2lg x的零点为_.类型一求函数的零点答案解析解析解析由(lg x)2lg x0，得lg x(lg x1)0，lg x0或lg x1，x1或x10.x1或x10函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1函数f(x)(x21)(x2)2(x22x3)的零点个数是_.答案解析解析解析f(x)(x1)(x1)(x2)2(x3)(x1)(x1)2(x1)(x2)2(x3).可知零点为1，2,3，共4个.4解解析析令f(x)ex(x2)，则f(1)0.3710，f(0)120，f(1)2.7230.由于f(1)f(2)0，方程ex(x2)0的一个根在(1,2)内.例例2根据表格中的数据，可以断定方程ex(x2)0(e2.72)的一个根所在的区间是A.(1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 类型二判断函数的零点所在的区间x10123ex0.3712.727.4020.12x212345答案解析在函数图象连续的前提下，f(a)f(b)0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)f(b)0，却不能判断在区间(a，b)内无零点.反思与感悟跟跟踪踪训训练练2若函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_.答案解析解析解析函数f(x)3x7ln x在定义域上是增函数，函数f(x)3x7ln x在区间(n，n1)上只有一个零点.f(1)37ln 140，f(2)67ln 20，函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(2,3)内，n2.2命题角度命题角度1判断函数零点个数判断函数零点个数例例3求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数.类型三函数零点个数问题解答判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数.(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数.反思与感悟解解方法一由于f(2)0，即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点.又因为函数f(x)在定义域(0，)内是增函数，所以它仅有一个零点.方法二通过作出函数yln x，y2x6的图象，观察两图象的交点个数得出结论.也就是将函数f(x)ln x2x6的零点个数转化为函数yln x与y2x6的图象交点的个数.由图象可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点. 跟踪训练跟踪训练3求函数f(x)ln x2x6零点的个数.解答命题角度命题角度2根据零点情况求参数范围根据零点情况求参数范围例例4f(x)2x(xa)1在(0，)内有零点，则a的取值范围是A.(，) B.(2，)C.(0，) D.(1，)故a1时，f(x)在(0，)内有零点.答案解析为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单.反思与感悟跟跟踪踪训训练练4若函数f(x)x22mx2m1在区间(1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是答案解析当堂训练当堂训练1.函数yx的零点是A.(0,0) B.x0 C.x1 D.不存在答案22334455112.函数f(x)x22x的零点个数是A.0 B.1 C.2 D.3答案22334455113.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)0，f(2)0，则下列说法正确的是A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点答案22334455114.下列各图象表示的函数中没有零点的是2233445511答案5.函数f(x)x3( )x的零点有A.0个 B.1个C.2个 D.无数个2233445511答案规律与方法1.方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标.2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.本课结束