第二章第二章 线性系统的数学线性系统的数学模型模型控制系统的数学模型控制系统的数学模型传递函数传递函数结构图结构图信号流图信号流图习题精解及习题精解及MATLABMATLAB工具和案例分析工具和案例分析1本章教学目标与要求o正确理解数学模型的特点；理解掌握建立系统动态微分方程的一般方法。o牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节的传递函数。o掌握系统结构图的建立方法，熟练掌握系统结构图的等效变换方法及利用等效变换求取系统闭环传递函数的方法。熟练掌握重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传递函数。2本章教学目标与要求（续）o熟练掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法。o掌握信号流图的定义和组成方法。掌握其等效变换法则，简化图形结构，掌握从信号流图求取系统传递函数的方法。 3引言o自动控制理论研究的两个主要问题是：控制系统的分析和设计。这两个问题都离不开对系统运动的研究。 o图2.1所示的RLC电路是最基本的无源网络之一，可以把它看作自动控制系统的一个的应用实例，如何建立它的模型呢？这就是本章要研究的问题。 图2.1 无源 电路 4引言（续）o本章主要讲述自动控制系统的微分方程、传递函数、结构图和信号流图几种数学模型。 51、控制系统的数学模型2.1 控制系统的数学模型系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式建立数学模型的方法分为解析法和实验法6u解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。u实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。控制系统的数学模型的建立方法7解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。总结：82.1.1 线性系统微分方程的建立方法q分析系统和各元件的工作原理，找出各物理量之间的关系，确定系统和各元件的输入量和输出量。q从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律列出微分方程。q对已建立的原始方程进行数学处理，忽略次要因素，简化原始方程。消去中间变量，得到输出量与输入量关系的微分方程。 q标准化微分方程，惯例把与输入量有关各项写在方程右边,把输出量有关各项写在方程左边,方程两边各导数项均按降幂排列。1、用解析法建立系统微分方程的一般步骤：92.1.2 线性系统微分方程的建立实例例1. 列写如图所示RLC网络的微分方程。10 A 确定输入输出量: ur(t) -输入量, uc(t) -输出量 B 分析电路解:11C 消去中间变量i(t),使方程只体现输入与输出之间的关系，可得电路微分方程式 最后可将系数转化成物理上有意义的参数代替，令：T1=L/R, T2=RC(电容充电时间常数)12弹簧质量 阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为m。例2.弹簧质量 阻尼动力系统13确定输入输出量: F(t)-输入量, y(t)-输出量 解: 根据牛顿运动定律，列写微分方程：14 消去中间变量,可得标准微分方程式15电枢控制的他激直流电动机，建立输入电压Ua(t) (V)和输出转角 之间的动态关系式例3.电枢控制的他激直流电动机16 输入量电压Ua(t) (V) 输出量转角 （1）确定输入输出变量：解:（2）根据电动机的工作原理，列写微分方程： A 电枢回路电压平衡方程： (2-1) 其中Ra()、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感 17Eb=Kb Kb反电势系数( ) B 电磁转矩方程： Mm(t)=Cmia(t) (2-3) Cm电动机转矩系数(力矩系数)(NM)/A）； Mm(t)是由电枢电流产生的电磁转矩（NM）。 (2-2)18C 电动机轴上的转矩平衡方程： (2-4) 折合到电动机轴上的的负载力矩电枢转动惯量(电动机和负载折合到电动机轴上的)Nms2电动机轴上的粘性摩擦系数（Nm/rad/s-1） 19由(2-3)、(2-4)求出ia(t)，代入(2-1)；同时将(2-2)亦代入(2-1)；在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，并设负载转矩0，因而得(2-5)为 (2-5) 其中： 电动机传递系数(rad/s.V) 电动机时间常数(s) (3)消去中间变量,可得标准微分方程式 20如果以电动机的转速为输出，可得一个一阶线性常微分方程对同一个系统而言，从不同角度出发研究问题，得到的数学模型是不一样的。21列写微分方程要注意： 确切反映系统的动态性能，忽略次要因素，简化分析计算。 在一般情况下，描述线性定常系统的微分方程为 C(t)为输出量，r(t)为输入量。所有系数为实常数。对实际系统有nm。222.1.3 线性系统的基本特性1、叠加性：两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和；叠加原理=叠加性+均匀性（或叫齐次性）。2、均匀性：若外作用的数值增大若干倍，其输出亦相应增大同样的倍数。23例：设线性微分方程式为若 时，方程有解 ，而 时，方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则显然有当 时，必存在解为 ，即为可叠加性。若 时， 为实数，则方程解为 ，这就是齐次性。24 实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的。目前，线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。因此，在工程允许范围内，尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析不失为一种有效的方法。 2.1.4 非线性系统微分方程的线性化25 小偏差非线性函数的线性化，是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线性函数。 当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接将系统当作线性系统处理。如果系统的变量只发生微小的偏移，则可通过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。 26假如元件的输出与输入之间关系x2=f(x1)的曲线如图，元件的工作点为(x10，x20)。将非线性函数x2=f(x1)在工作点(x10，x20)附近展开成泰勒级数 27当(x1x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成 其中 为工作点(x10，x20)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。 28(1)(1)小偏差法只适用于不太严重的非线性系统。小偏差法只适用于不太严重的非线性系统。(2)(2)实际运行情况是在某个平衡点附近，变量只能实际运行情况是在某个平衡点附近，变量只能在小范围内变化。在小范围内变化。(3)(3)线性化方程中的系数线性化方程中的系数k k与工作点有关。与工作点有关。 (4)(4)严重的非线性不能用小偏差法，用第严重的非线性不能用小偏差法，用第7 7章章的方法的方法。 注意:29u一指输入作用是t0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t= 时的值为零。2.2 传递函数 u线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。1、传递函数的定义u二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t= 时，系统的输出量及各阶导数为零。零初始条件302、传递函数的描述方法线性定常控制系统微分方程的一般表达式 :零初始条件：输入r(t)和输出c(t)及其各阶系数在t=0时的值均为零，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代数方程为 31传递函数的描述方法式中式中 传递函数分子多项式传递函数分子多项式 传递函数分母多项式传递函数分母多项式 32传递函数的描述方法G(s)Ur(s)Uc(s)s(U)s(U)s(Grc= =33o传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子，分母的阶次是：3、传递函数的说明o传递函数仅适用于线性定常系统，描述它们的输入输出关系，是线性定常系统的一种动态数学模型。o传递函数完全取决于系统内部的结构、参数而 与输入、输出无关；o传递函数可以描述成如下形式 。34G(s)= 其中：K是常数；zj(j=1,2,m)为分子多项式方程的m个根，叫做传递函数的零点；pi(i=1,2,n)为分母多项式方程的n个根，叫做传递函数的极点。极点和零点可以是实数也可以是复数，若是复数，必定是共轭的，成对出现。传递函数的说明(续)35n传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为当 ， ，所以， n 传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。传递函数的说明(续)362.2.3 典型环节的传递函数o一个控制系统，不论结构如何复杂，一般都是由一些基本环节构成的，如果知道了各基本环节的传递函数，在符合信号流通的约束关系下，将各基本环节的传递函数按照相应的关系组合，再消去中间变量，就可以得到控制系统的传递函数。这些基本环节又叫典型环节。37 环节输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环节。输入量与输出量之间的运算关系为uc(t)=Kur(t) 比例环节的传递函数为 式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。 比例环节38比例环节图2.6 电位器图2.7 比例运算放大器39 输出量正比于输入量的积分的环节称为积分环节，其运算关系 其传递函数 式中T为积分时间常数。 积分环节40右图为运算放大器构成的积分环节，输入ui(t)，输出u0(t)，其传递函数为 式中Ti = RC 41 理想的微分环节其输出信号与输入信号对时间的导数成正比。运算关系 其传递函数 式中T称微分时间常数 微分环节42图2.9 测速发电机及微分运算放大器 43 输出信号和输入信号之间的关系可以用以下的一阶微分方程描述 其传递函数为 式中 T 惯性环节的时间常数 K 惯性环节的比例系数，通常设置为1 惯性环节44当输入为单位阶跃函数时图2.10 惯性环节单位阶跃曲线45式中： 为时间常数一阶微分环节传递函数:又称比例微分环节，由一个比例环节和一个理想微分环节构成，运算关系 46输出信号和输入信号之间的关系可以用以下二阶微分方程描述的环节 其传递函数 式中 为无阻尼自然振荡角频率，为阻尼比二阶振荡环节T为时间常数 47o本章2.1节中的无源网络、弹簧阻尼机械系统均为振荡环节。振荡环节在单位阶跃输入作用下的输出响应为衰减的阻尼振荡过程，如图2.11所示。 48具有纯时间延迟传递关系的环节。又叫延迟环节。运算关系 其传递函数是一个超越函数 式中称延迟时间 时滞环节49特别提示 典型环节和组成系统的元部件的概念不同，一个系统由若干元部件组成，每个元部件的传递函数可以是一个典型环节，也可以包含多个典型环节。相反，一个典型环节也可以由多个元部件或者一个系统的传递函数形成。 502.2.4 传递函数与电气网络的运算阻抗o直接利用电气网络内的电阻、电容、电感等线性元件的复数阻抗，分别为R、1/CS、LS。复数阻抗和电流、电压的拉式变换之间的关系类似电阻，串并联关系也类似电阻的串并联。遵照电路的基本定律，直接列写电路输入量和输出量之间的关系，利用代数运算即可求出电气网络的传递函数。例如RC电路 512.3 结构图 o控制系统的结构图是描述组成控制系统的各个元件之间信号传递动态关系的图形。它表示了系统中各变量之间的运算关系，是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法。它不仅表明了系统的组成和信号的传递方向，而且清楚地表示出系统信号传递过程中的数学关系，所以结构图也是一种数学模型，是一种将控制系统图形化了的数学模型，在控制理论中应用广泛。 522.3.1 2.3.1 结构图的组成结构图的组成(1)(1)信号线信号线 带箭头的直线，箭头表示信号的传递方向。信号线上带箭头的直线，箭头表示信号的传递方向。信号线上标明信号的原函数或象函数标明信号的原函数或象函数 (2)(2)传递方框传递方框G(s)G(s)方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数该输入、输出之间的传递函数G(sG(s) )。起到对信号进行。起到对信号进行运算、转换的作用运算、转换的作用。53结构图的组成结构图的组成( (续续) )又叫测量点或分支点。表示信号引出或测量的位又叫测量点或分支点。表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全一样置。同一位置引出的信号数值和性质完全一样 （3 3）引出点）引出点54结构图的组成结构图的组成( (续续) )又叫比较点或相加点。对两个以上的信号进行又叫比较点或相加点。对两个以上的信号进行加减运算。加减运算。+ +号可以省略不写。叉圈符号的输号可以省略不写。叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和。如图出量即为诸信号的代数和。如图(d)(d)所示。所示。 （4 4）综合点）综合点(d)552.3.2 系统结构图的建立系统结构图的建立建立控制系统结构图的一般步骤如下：建立控制系统结构图的一般步骤如下：o建立控制系统各元件的微分方程，列写微分方建立控制系统各元件的微分方程，列写微分方程时，要注意相邻元件间的负载效应影响。程时，要注意相邻元件间的负载效应影响。o对元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元对元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的结构图。件的结构图。o按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元件按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来，通常将系统的输入量放在的结构图连接起来，通常将系统的输入量放在左端，输出量放在右端，便得到系统的结构图。左端，输出量放在右端，便得到系统的结构图。 56o以以RCRC电路为例，如下图所示电路为例，如下图所示举例说明举例说明57解：利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得解：利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得 零零初初始始条条件件下下，对对等等式式两两边边取取拉拉氏氏变变换，得换，得 58各环节方框图各环节方框图 RCRC无源网络结构图无源网络结构图 59q结构图的等效变换相当于在结构图上进行数学结构图的等效变换相当于在结构图上进行数学方程的代数运算方程的代数运算.q常用的变换方法有：环节的合并、信号引出点常用的变换方法有：环节的合并、信号引出点或综合点的移动。或综合点的移动。q结构图等效变换遵循的原则是：变换前后数学结构图等效变换遵循的原则是：变换前后数学关系保持不变。也就是变换前后有关部分的输关系保持不变。也就是变换前后有关部分的输入量、输出量之间的关系保持不变。入量、输出量之间的关系保持不变。2.3.3 结构图的等效变换结构图的等效变换601 1、环节的合并、环节的合并G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。为串联连接。(1)(1)环节串联的合并环节串联的合并 61G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)串联结构的等效变换串联结构的等效变换62G G1 1(s)(s)G G2 2(s)(s)R(sR(s) )C(sC(s) )U(sU(s) )串联结构的串联结构的等效变换等效变换G G1 1(s) (s) G G2 2(s)(s)R(sR(s) )C(sC(s) )两个串联的方框可以合并两个串联的方框可以合并为一个方框，合并后方框为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框的传递函数等于两个方框传递函数的乘积。传递函数的乘积。63（2 2）环节并联的合并）环节并联的合并G1(s)G2(s)X(s)Y(s)两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为并联连接。种形式的连接称为并联连接。64并联并联结构的等效变换结构的等效变换G1(s)G2(s)R(s) C(s)C1(s)C2(s)65并联结构的并联结构的等效变换等效变换C C1 1(s)(s)G G1 1(s)(s)G G2 2(s)(s)R(sR(s) ) C(sC(s) )C C2 2(s)(s)G G1 1(s) (s) G G2 2(s)(s)R(sR(s) )C(sC(s) )两个并联的方框可以合并两个并联的方框可以合并为一个方框，合并后方框为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框的传递函数等于两个方框传递函数的代数和。传递函数的代数和。66（C C）反馈连接的合并）反馈连接的合并一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。G(s)R(s)C(s)H(s)67反馈反馈结构的等效变换结构的等效变换G(s)R(s) C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s)682 2、综合点的移动、综合点的移动 (1)(1)综合综合点后移点后移G(s) R(s)C(s)Q(s)Q(s)？ G(s)R(s)C(s)69G(s) R(s)C(s)Q(s)综合点后移（综合点后移（移动前移动前）70G(s) R(s)C(s)Q(s)？综合点后移（综合点后移（移动后移动后）G(s)71G(s)R(s)C(s) Q(s)Q(s)？G(s) R(s)C(s)(2)(2)综合点前移综合点前移72G(s) R(s)C(s)Q(s)综合点前移（综合点前移（移动前移动前）73综合点前移（综合点前移（移动后移动后）G(s) R(s)C(s)Q(s)？1/G(s)74（3 3）相邻的综合点的移动）相邻的综合点的移动多个相邻的综合点可以随意交换位置或合并。R(s)C(s) Y(s)X(s) R(s)C(s) Y(s)X(s) R(s)C(s) Y(s)X(s) 753 3 引出引出点的移动点的移动(1)(1)引出引出点后移点后移G(s)R(s)C(s)R(s)？G(s)R(s)C(s)R(s)1/G(s)76(2)(2)引出引出点前移点前移G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)？C(s)G(s)77（3 3）相邻引出点的移动）相邻引出点的移动 相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。ABR(s)BAR(s)784 4、相邻引出点和综合点的移动、相邻引出点和综合点的移动 两个相邻综合点和引出点没有简单的互换法则，不能轻易交换相互位置，如须换位时，应按图2.24所示的规则实行。不建议在进行结构图等效变换时采用。 图2.24 相邻引出点和综合点的移动 79举例说明举例说明例例2.6 2.6 试求图所示多回路系统的闭环传递函数。试求图所示多回路系统的闭环传递函数。 80例题例题2.62.6化简步骤化简步骤根据环节串联、并联和反馈连接的规则简化。可以求得系统的闭环传递根据环节串联、并联和反馈连接的规则简化。可以求得系统的闭环传递函数为函数为 81例例2.7 2.7 设多环系统的结构图如图所示，试对其进设多环系统的结构图如图所示，试对其进行简化，并求闭环传递函数。行简化，并求闭环传递函数。举例说明（续）举例说明（续）82例题例题2.72.7求解求解解：此系统中有两个相互交错的局部反馈，因此在化简是解：此系统中有两个相互交错的局部反馈，因此在化简是首先应考虑将信号引出点或信号比较点移到适当的位置，首先应考虑将信号引出点或信号比较点移到适当的位置，将系统结构图变换为无交错反馈的图形，例如可将将系统结构图变换为无交错反馈的图形，例如可将2 2输入输入端的信号引出点移至点。移动时一定要遵守等效变换的原端的信号引出点移至点。移动时一定要遵守等效变换的原则。然后利用环节串联和反馈连接的规则进行化简，其步则。然后利用环节串联和反馈连接的规则进行化简，其步骤及闭环传递函数如图骤及闭环传递函数如图2.282.28所示。所示。83例题例题2.7-12.7-184例题例题2.7-22.7-285例题例题2.7-3,42.7-3,4862.3.4 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 图2.29 典型结构的控制系统 871、前向通道传递函数o系统的输入信号到输出信号传输方向一致的通路称为前向通道，或叫顺溃通道。 882、反馈回路传递函数、反馈回路传递函数o与前向通道方向相反的通路即称为反馈回路。 893、开环传递函数、开环传递函数o在反馈控制系统中，前向通道的传递函数与反馈回路的传递函数的乘积为闭环系统的开环传递函数，记做 G0(S)。904 4、输入信号、输入信号r(tr(t) )作用下的系统闭环传递函数作用下的系统闭环传递函数o令N(S)=0，则系统结构图可等效为图2.30。输出信号对给定输入信号之间的传递函数即定义为输入信号作用下的系统闭环传递函数 图2.30 r(t)作用下的系统结构图 91该系统为负反馈系统，系统传函中分母为1+开环传递函数，反之，若主反馈为正反馈时，则系统传函为1开环传函注意：注意：925 5、干扰信号、干扰信号n(tn(t) )作用下的系统闭环传递函数作用下的系统闭环传递函数o令R(S)=0，则系统结构图可等效为图2.31，系统的输出信号的拉氏变换与干扰信号的拉氏变换之比，称为干扰信号作用下的系统闭环传递函数。 图2.31 n(t)作用下的系统结构图 93o控制信号和干扰信号同时作用于系统时，由线性系统的叠加原理可得控制信号和干扰信号同时作用下的系统的总输出 946、闭环系统的误差传递函数o误差大小直接反映了系统的控制精度。在此定义误差为给定信号与反馈信号之差，即 95（1 1）r(tr(t) )作用下闭环系统的给定误差传递函数作用下闭环系统的给定误差传递函数 96(2)n(t)(2)n(t)作用下闭环系统的扰动误差传递函数作用下闭环系统的扰动误差传递函数 97（3 3）系统的总误差）系统的总误差o控制信号和干扰信号同时作用于系统时，由线性系统的叠加原理可得系统的总误差为 98闭环系统的特征方程式闭环系统的特征方程式q无论是系统传递函数还是误差传递函数，它们都有一个共同的特点，拥有相同的分母，这就是闭环系统的本质特征，我们将闭环传递函数的分母多项式称为闭环系统的特征方程式。q它与输入无关，仅与系统本身的结构和参数有关。992.4 信号流图信号流图o 信号流图起源于梅森利用图示法描述一个或一组线性代数方程，它是由节点和支路组成的一种信号传递网络。o信号流图也是控制系统的一种图解模型。 1002.4.1 信号流图中的术语信号流图中的术语图2.32 信号流图101信号流图中的术语信号流图中的术语( (续续) )o在信号流图中，节点表示方程式中的变量，用小圆圈表示，如图2.32中的节点1表示变量x1。支路是连接两个节点之间的定向线段，用箭头表示信号的传输方向。支路上标明两个变量之间的传输关系，叫做支路增益，如图2.32中的a12表示变量x2和变量x1之间的传输关系。 102信号流图中的信号流图中的术语术语( (续续) )o输入支路：指向节点的支路。如图2.32中1指向2的支路。o输出支路：离开节点的支路。如图2.32中，一条支路，对不同的节点而言，可能是输出支路也可能是输入支路。如图2.32中节点2指向节点3的支路，对节点2而言是输出支路，对节点3而言是输入支路。o输入节点：只具有输出支路的节点。又叫源节点。如图2.32中的x1。o输出节点：只具有输入支路的节点。又叫汇节点。如图2.32中的x5。 103信号流图中的信号流图中的术语术语( (续续) )o混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如图2.32中的x2x3x4。有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的。我们只要定义信号流图中任一变量为输出变量，然后从该混合节点变量引出一条增益为1的支路，即可形成一输出节点，如图中的x5。o通路：又叫通道或路径。沿着支路箭头方向通过各个相连支路的路径，每个节点仅经过一次。一个信号流图可以有很多通路。如图2.32中的x2到x3到x4为一条通路；由x2直接x4到为另一条通路。 104信号流图中的信号流图中的术语术语( (续续) )o前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。如图2.32中的x1到x2到x3到x4到x5到x6为一条前向通路；x1到x2到x4到x5到x6为另一条前向通路。o回路：又叫回环或闭合通道。回路的起点就是回路的终点，并且回路中的每个节点只通过一次。如图2.32中的x2到x3又反馈回到x2。o自回路：从一个节点出发，只经过一个支路又回到该节点的回路。如图2.32中的x4到经a44又回到x4的回路。105信号流图中的信号流图中的术语术语( (续续) )o不接触回路：回路之间没有任何公共节点时，这种回路叫做不接触回路。o通道增益：通路中各支路增益的乘积。o前向通路增益：前向通路上各支路增益的乘积，用pk表示。o回路增益：回路中所有支路的增益乘积，用La表示。106信号流图的基本性质 o信号流图适用于线性系统。o支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。o在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路。o具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。o对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。1072.4.2 控制系统信号流图的绘制控制系统信号流图的绘制o由系统微分方程绘制其信号流图 控制系统的微分方程首先要通过拉式变换，将微分方程变成复变量的代数方程，再按照系统中变量的运算关系绘制信号流图。绘制信号流图时，首先为每个变量指定一个节点，根据系统中变量的运算关系，从左到右排列；然后根据数学方程用支路连接各节点，并标明支路增益，就得到控制系统的信号流图。 108由控制系统结构图绘制其信号流图 o由控制系统结构图绘制其信号流图时，只要将结构图信号线上的变量用信号流图中的节点代替，用信号流图中标有传递函数（作为支路增益）的支路代替结构图中的函数方框，就可以得到系统的信号流图。 109例题o试将图所示系统的结构图转化为信号流图。 110解题步骤解：1、用小圆圈表示各变量对应的节点，标注在系统结构图的信号线上。在综合点之后的引出点A1A2，只需在综合点后设置一个节点便可。也即可以与它前面的综合点共用一个节点。在综合点之前的引出点B，需设置两个节点，分别表示引出点B和其后的综合点。 2、将各节点按原来的顺序自左向右排列，连接各节点的支路与结构图中的传函方框对应，用带增益的支路取代传函方框，连接各节点，即得到系统的信号流图。如图2.34所示。1112.4.3信号流图的简化原则 1122.4.4 2.4.4 梅森公式梅森公式（1 1）梅森）梅森公式的一般形式公式的一般形式113梅森公式参数说明梅森公式参数说明从输入端到输出端第K条前向通道的传递函数：待求的总传递函数n：前向通道数114梅森公式参数说明梅森公式参数说明回路传递函数之和两两互不接触回路，其“回路传递函数”乘积之和所有三个互不接触回路，其“回路传递函数”乘积之和将与第k条前向通道相接触的回路所在项除去后余下的部分，称余子式115注意事项：注意事项：o“回路传递函数”是指反馈回路的前向通路和反馈回路的传递函数的乘积，并且包含代表反馈极性的正、负号。1162 2、举例说明举例说明例2.102.10：系统的方框图如图所示，试画出信号流图，并用梅森公式求系统的传递函数 C(s)/R(s)117解题步骤解：由结构图可得系统的信号流图为118解题步骤由上图所示，前向通路只有一个独立回路有三个119解题步骤没有两个及两个以上的互相独立回路，由梅森公式可得系统的传递函数为 120学习指导及本章小结o数学模型 描述系统运动规律的数学表达式。 o控制系统的动态微分方程式的列写 （1）根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量； （2）分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程； （3）消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，即数学模型。121学习指导及本章小结（续）o传递函数 定义、典型环节o系统结构图及结构图的等效变换和简化 结构图简化的一般方法是移动引出点或比较点，将串联、并联和反馈连接的方框合并。在简化过程中应遵循变换前后变量关系保持不变的原则。 o系统传递函数o信号流图与梅逊公式 122