机机 械械 制制 图图1第三章第三章 基本体的三视图及基本体的三视图及其截交线、相贯线的画法其截交线、相贯线的画法2 常见的基本几何体常见的基本几何体平面基本体平面基本体曲面基本体曲面基本体第一节 基本体的三视图3第一节 基本体的三视图一、平面基本体的三视图 a a a (b ) b b 棱柱是由若干个侧棱面和两个平行、全等的多边形顶面、底面所围成的平面基本体。棱柱三视图的画法及棱柱表面取点点的可见性规定：点的可见性规定： 若若点点所所在在的的平平面面的的投投影影可可见见，点点的的投投影影也也可可见见；若若平平面面的的投投影影积聚成直线，点的投影也可见。积聚成直线，点的投影也可见。4第一节 基本体的三视图一、平面基本体的三视图 【例31】根据已知条件，补画第三视图，并求作形体表面A、B、C三点的三面投影。 5第一节 基本体的三视图一、平面基本体的三视图 棱锥就是由一个底面和若干个侧棱面包围而成的平面基本体。侧棱面之间及侧棱面与底面之间的交线统称为棱线。这几个侧棱面之间有一个公共点，称为棱锥的顶点。 棱锥三视图的画法及棱柱表面取点棱棱锥锥处处于于图图示示位位置置时时，其其底底面面ABCABC是是水水平平面面，在在俯俯视视图图上上反反映映实实形形。侧侧棱棱面面SACSAC为为侧侧垂垂面面，另另两两个个侧侧棱棱面面为为一一般般位位置平面。置平面。()s s k k k b abca (c )s n n nA AB BC CS Sa c 6第一节 基本体的三视图一、平面基本体的三视图 【例32】已知三棱锥的三视图，K、M、N是三棱锥表面上的点，给定其单面投影，求作三点的三面投影。 7第一节 基本体的三视图二、回转体的三视图 回转体的形成回转体是由回转面与平面所围成的立体。回转面是由母线（直线或曲线）绕某一轴线旋转而成的,当母线为平行于回转轴线OO1的直线段时，形成圆柱面；当母线为与轴线相交的直线段时，形成圆锥面；当母线为一个圆（或半圆）时，形成圆球面。 母线落在回转面上的任意一个位置称为素线。投影时的最左、最右、最前、最后的素线，是决定某一投影方向上观察回转面时可见与不可见部分的分界线，把这些素线统称为转向轮廓线 8第一节 基本体的三视图二、回转体的三视图 a a a A A1A AO OO O1利用投影利用投影的积聚性的积聚性1(21(2)1 12 21 12 23 34 43 34 43(4)3(4)圆圆柱柱由由圆圆柱柱面面和和两两个个底底面面组组成成。圆圆柱柱面面是是由由直直线线AAAA1 1绕绕与与它它平平行的轴线行的轴线OOOO1 1旋转而成。旋转而成。圆圆柱柱面面的的俯俯视视图图积积聚聚成成一一个个圆圆，在在另另两两个个视视图图上上分分别别以以两两个个方方向的轮廓素线的投影表示。向的轮廓素线的投影表示。圆柱的三视图的画法及其表面取点9第一节 基本体的三视图二、回转体的三视图【例33】已知圆柱的三视图，K、M、N是圆柱表面上的点，给定其单面投影，求作三点的三面投影。 10第一节 基本体的三视图二、回转体的三视图 圆圆锥锥体体是是由由一一个个底底面面与与一一个个圆圆锥锥面面包包围围而而成成的的。圆圆锥锥面面是是由由直直线线SASA绕绕与与它它相相交交的的轴轴线线OO1OO1旋旋转转而而成成。SS称称为为锥锥顶顶，直直线线SASA称称为为母母线线。圆圆锥锥面面上上过过锥锥顶的任一直线称为圆锥面的顶的任一直线称为圆锥面的素线素线。辅助素线法辅助素线法圆锥的三视图的画法及其表面取点s O O1O Os k (nn )sn k k NS SA A如何在圆锥面上作直线？如何在圆锥面上作直线？过锥顶作一条素线。过锥顶作一条素线。(n )bbbdd辅助圆法辅助圆法圆锥表面取点有两种方法：圆锥表面取点有两种方法：11第一节 基本体的三视图二、回转体的三视图【例34】已知圆锥的三视图， M、N是圆锥表面上的点，给定其单面投影，求作两点的三面投影。 12第一节 基本体的三视图二、回转体的三视图 圆球任何方向的投影都是等径的圆圆球任何方向的投影都是等径的圆 圆球三视图的画法及其表面取点在在圆圆球球面面上上以以任任何何位位置置位位置置平平面面截截切切都都会会得得到到一一个个圆圆。因因此此，圆圆球球表表面面取取点点，可可用用过过已已知知点点在在球球面面上上作作平平行行投投影面的影面的辅助圆辅助圆方法求得方法求得 k k k k k k 圆的半径？圆的半径？13第一节 基本体的三视图二、回转体的三视图【例35】已知圆球的三视图， M是圆球表面上的点，给定其单面投影，求作M点的三面投影。 14第二节 截交线的画法一、截交线概述 用平面与立体相交，截去体的一部分用平面与立体相交，截去体的一部分 截截切切 截平面与立体表面的交线截平面与立体表面的交线截交线截交线。 用以截切立体的平面用以截切立体的平面截平面截平面。15第二节 截交线的画法一、截交线概述 压块的截切过程16第二节 截交线的画法一、截交线概述 通过以上两例中对截交线的分析，可以总结截交线的性质如下：公有性。截交线属于截平面与立体表面的共有线，截交线上每一点均为截平面与立体表面的共有点。封闭性。由于立体表面是封闭的，而截交线又为平面截切所得，因此截交线都是封闭的平面图形。截交线的形状。截交线的形状取决于立体的几何形状及截平面与立体的相对位置，通常为平面多边形、平面曲线或平面折线与曲线组成。 17第二节 截交线的画法二、平面截切平面基本体 18 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法： 求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱线法棱线法。 求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线棱面法棱面法。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交线，分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。并连接成多边形。 截交线的每条边是截交线的每条边是截平面与棱面的交线截平面与棱面的交线。 截交线是一个由直线组成的截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形封闭的平面多边形。第二节 截交线的画法二、平面截切平面基本体 19交线的形状？交线的形状？截平面与体的截平面与体的几个棱面相交几个棱面相交？ 投影分析投影分析例 ：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 空间分析空间分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 43 3截交线在俯、左视图上截交线在俯、左视图上的形状？的形状？20例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。我们采用的是我们采用的是哪种解题方法哪种解题方法？棱线法！棱线法！21 注意：注意： 要逐个截平面分析和要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交为整体被截切，求出截交线后再取局部。线后再取局部。例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。1 12 21 1 (2(2 ) )2 2 1 1 三面共点：三面共点： 、两点分两点分别同时位于三个面别同时位于三个面上。上。22例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。231 1 8 8 8 8例例: :求八棱柱被平面求八棱柱被平面P P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P P 截交线的形状？截交线的形状？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影截交线的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 4 4 5 5 求截交线求截交线1 15 54 47 76 63 32 2分析棱线的分析棱线的投影投影检查截交检查截交线的投影线的投影24例例: :求八棱柱被平面求八棱柱被平面P P截切后的俯视图。截切后的俯视图。25222 211例例: :求作俯视图。求作俯视图。1 12 2侧垂面侧垂面正垂面正垂面1 126222 2111 1例例: :求作俯视图。求作俯视图。1 12 227第二节 截交线的画法二、平面截切平面体 例：单个平面截切六棱柱28第二节 截交线的画法例：两个平面截切正四棱锥二、平面截切平面体 29 截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体截平面与回转体轴线的相对位置轴线的相对位置。 求截交线的方法：求截交线的方法：求截平面与回转体表面的共有点求截平面与回转体表面的共有点。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的 相对位置，以相对位置，以确定截交线的形状确定截交线的形状。 分析截平面及回转体与投影面的相对位置，分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明确明确截交截交线的投影特性线的投影特性，如积聚性、类似性等。，如积聚性、类似性等。 找出找出截交线的截交线的已知已知投影，投影，预见未知预见未知投影。投影。三、平面截切回转体 第二节 截交线的画法30第二节 截交线的画法三、平面截切回转体 画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。见性。 先找特殊点，再补充中间点先找特殊点，再补充中间点。31第二节 截交线的画法三、平面截切回转体 圆柱的截交线垂直垂直圆圆椭圆椭圆平行平行两平行直线两平行直线倾斜倾斜截平面与圆柱面交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。截平面与圆柱面交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。32截交线的已知投影？截交线的已知投影？例：求左视图例：求左视图找特殊点找特殊点补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析转向轮廓线的投影分析转向轮廓线的投影截交线的侧面投截交线的侧面投影是什么形状？影是什么形状？截交线的截交线的空间形状空间形状？ 33例：求左视图例：求左视图找特殊点找特殊点找中间点找中间点光滑连接各点光滑连接各点分析转向轮廓线的投影分析转向轮廓线的投影34 椭圆的长、椭圆的长、短轴随截平面与短轴随截平面与圆柱轴线夹角的圆柱轴线夹角的变化而改变。变化而改变。什么情况下什么情况下投影为圆呢投影为圆呢？截平面与圆柱轴截平面与圆柱轴线成线成4545时。时。454535例：求左视图例：求左视图例：求左视图例：求左视图36第二节 截交线的画法三、平面截切回转体 例：圆柱被一个截平面斜切，已知其两个视图，求作第三视图。 37第二节 截交线的画法三、平面截切回转体 例：圆柱体被三个截平面同时截切进行开槽，已知其主视图及俯视图的一部分，补全三视图 。38第二节 截交线的画法三、平面截切回转体 圆锥的截交线 =90=90 909000 过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线圆圆椭圆椭圆抛物线抛物线双曲线双曲线39dcecadb例例: :圆锥被正平面截切，补全主视图。圆锥被正平面截切，补全主视图。EDCABba截交线的截交线的空间形状空间形状？截交线的截交线的投影特性投影特性？e40例例: :圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线，并完成三视图。截交线的空截交线的空间形状？间形状？截交线的投截交线的投影特性？影特性？找特殊点找特殊点如何找椭圆另如何找椭圆另一根轴的端点一根轴的端点？补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影41例例: :圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线，并完成三视图。找特殊点找特殊点补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影42第二节 截交线的画法三、平面截切回转体 圆柱的截交线平平面面与与圆圆球球相相交交，截截交交线线的的形形状状都都是是圆圆，但但根根据据截截平平面面与与投投影影面面的的相相对对位位置置，其其截截交交线线的的投投影影可可能能为为圆圆、椭椭圆圆或或积积聚成一条直线聚成一条直线。43第二节 截交线的画法三、平面截切回转体 例：圆球开槽，已知其主视图，求俯视图与左视图。44第二节 截交线的画法三、平面截切回转体 复合回转体的截交线复合回转体截交线的求法复合回转体截交线的求法 首首先先分分析析复复合合回回转转体体由由哪哪些些基基本本回回转转体体组组成成的以及它们的连接关系；的以及它们的连接关系； 然然后后分分别别求求出出这这些些基基本本回回转转体体的的截截交交线线，并并依次将其连接依次将其连接。45第二节 截交线的画法三、平面截切回转体 复合回转体的截交线例：求作顶尖的俯视图例：求作顶尖的俯视图 46第二节 截交线的画法三、平面截切回转体 复合回转体的截交线例：圆柱与圆锥同轴叠加并被两个截平面截切，已知其主视图及左视图的一部分，补全三视图 。47第三节 相贯线的画法一、相贯线概述 两立体相交两立体相交相贯相贯。 两立体相交表面产生的交线两立体相交表面产生的交线相贯线相贯线。48第三节 相贯线的画法一、相贯线概述 相贯线产生示例49第三节 相贯线的画法相贯线的主要性质：相贯线的主要性质：求相贯线的作图实质是找出相贯的两立体表面的求相贯线的作图实质是找出相贯的两立体表面的若干若干共有点共有点的投影。的投影。 共有性共有性 表面性表面性相贯线位于两立体的表面上。相贯线位于两立体的表面上。相贯线是相贯线是两立体表面的共有线两立体表面的共有线。 封闭性封闭性 相贯线一般是相贯线一般是封闭的空间折封闭的空间折线线（通常由直线和曲线组成）（通常由直线和曲线组成）或或空间曲线空间曲线。50第三节 相贯线的画法一、相贯线概述 直径变化对正交两圆柱相贯线的影响 51第三节 相贯线的画法一、相贯线概述 圆柱与圆锥正交，圆柱直径改变时对相贯线的影响 52第三节 相贯线的画法一、相贯线概述 轴线相对位置变化对两圆柱相贯线的影响 53第三节 相贯线的画法一、相贯线概述 相贯线一般为光滑封闭的相贯线一般为光滑封闭的空空 间曲线间曲线，它是两回转体表面它是两回转体表面 的共有线的共有线。 作图方法作图方法 表面取点法表面取点法 辅助平面法辅助平面法 先找特殊点先找特殊点 作图过程作图过程 补充中间点补充中间点确定交线的确定交线的弯曲趋势弯曲趋势确定交线确定交线的范围的范围54例例 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。空间及投影分析：空间及投影分析： 小圆柱轴线垂直于小圆柱轴线垂直于H面，水平面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影积聚在该圆性，相贯线的水平投影积聚在该圆上。大圆柱轴线垂直于上。大圆柱轴线垂直于W面，侧面面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影投影积聚为圆，相贯线的侧面投影应积聚在该圆上，为两圆柱面共有应积聚在该圆上，为两圆柱面共有的一段圆弧。的一段圆弧。求相贯线的投影：求相贯线的投影： 利用积聚性，采用利用积聚性，采用表面取点法。表面取点法。 找特殊点找特殊点 补充中间点补充中间点 光滑连接光滑连接二、两圆柱正交的相贯线 55例：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。例：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。56第三节 相贯线的画法二、两圆柱体正交相贯 近似法求作相贯线 57第三节 相贯线的画法二、两圆柱体正交相贯 例：大圆柱被小圆柱正交挖切，试求其相贯线的投影。58第三节 相贯线的画法例：补全主视图。例：补全主视图。外形交线外形交线两外表面相贯两外表面相贯一内表面和一外表面相贯一内表面和一外表面相贯内形交线内形交线两内表面相贯两内表面相贯59第三节 相贯线的画法无无论论是是两两外外表表面面相相贯贯，还还是是一一内内表表面面和和一一外外表表面面相相贯贯，或或者者两两内内表表面面相相贯贯，求求相相贯贯线线的的方方法法和和思思路是相同的。路是相同的。小小 结：结：60第三节 相贯线的画法三、圆柱体与圆锥体正交相贯 空间及投影分析：空间及投影分析：相贯线为一相贯线为一光滑的封闭的空间曲线光滑的封闭的空间曲线。它的侧面投影有积。它的侧面投影有积聚性，正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出。聚性，正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出。 解题方法：解题方法：辅助平面法辅助平面法61辅助平面法：辅助平面法： 根据根据三面共点三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。作图步骤：作图步骤：辅助平面的选择原则：辅助平面的选择原则： 使辅助平面与两回转体表面的交线的投影简单使辅助平面与两回转体表面的交线的投影简单易画，例如直线或圆，一般选择投影面平行面。易画，例如直线或圆，一般选择投影面平行面。 作辅助平面与相贯的两立体相交作辅助平面与相贯的两立体相交 分别求出辅助平面与相贯的两立体表面的交线分别求出辅助平面与相贯的两立体表面的交线 求出交线的交点（即相贯线上的点）求出交线的交点（即相贯线上的点）三、圆柱体与圆锥体正交相贯 62例：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。例：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。 假假想想用用水水平平面面P P截截切切立立体体,P,P面面与与圆圆柱柱面面的的交交线线为为两两条条直直线线，与与圆圆锥锥面面的的交交线线为为圆圆，圆圆与与两两直直线线的的交交点点即为相贯线上的点。即为相贯线上的点。P63例：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。例：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。 解题步骤：解题步骤： 求特殊点求特殊点 用辅助平面法求用辅助平面法求 中间点中间点 光滑连接各点光滑连接各点64例：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。例：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。 解题步骤：解题步骤： 求特殊点求特殊点 用辅助平面法求用辅助平面法求 中间点中间点 光滑连接各点光滑连接各点65第三节 相贯线的画法四、组合相贯 123例：补全主视图。例：补全主视图。 这是一个多体相这是一个多体相贯的例子，首先分析贯的例子，首先分析它是由哪些基本体组它是由哪些基本体组成的，这些基本体是成的，这些基本体是如何相贯的，如何相贯的，然后然后分分别进行相贯线的分析别进行相贯线的分析与作图。与作图。66例：补全主视图。例：补全主视图。 作图时要抓住作图时要抓住一个关键点，相贯一个关键点，相贯线汇交于这一点。线汇交于这一点。三面共点三面共点67例：求俯视图。例：求俯视图。68第三节 相贯线的画法四、组合相贯 例：圆柱与圆锥正交，求作其相贯线的投影。 6970