第二十四讲 视图与投影1.1.了解：三视图、平行投影、中心投影的概念；了解：三视图、平行投影、中心投影的概念；2.2.理解：画三视图的要求，平行投影和中心投影形成影子的规理解：画三视图的要求，平行投影和中心投影形成影子的规律和特点；律和特点；3.3.会：画简单图形及组合图形的三视图，用平行投影和中心投会：画简单图形及组合图形的三视图，用平行投影和中心投影进行有关的作图和计算；影进行有关的作图和计算；4.4.能：运用视图与投影的知识认识、观察、欣赏生活中的图形能：运用视图与投影的知识认识、观察、欣赏生活中的图形. .一、三视图一、三视图1.1.从正面看到的图形称为从正面看到的图形称为_，从左侧面看到的图形称为，从左侧面看到的图形称为_，从上面看到的图形称为，从上面看到的图形称为_._.主视图主视图左视图左视图俯视图俯视图2.2.常见几何体的三视图常见几何体的三视图几何体几何体主视图主视图左视图左视图俯视图俯视图几何体几何体主视图主视图左视图左视图俯视图俯视图【即时应用【即时应用】1.1.如图是某个基本几何体的三视图，这个几何体是如图是某个基本几何体的三视图，这个几何体是_._.圆柱圆柱2.2.写出两种本身的三视图相同的几何体：写出两种本身的三视图相同的几何体：_._.3.3.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是_._.正方体、球体正方体、球体圆锥圆锥4.4.长方体的主视图与左视图如图所示长方体的主视图与左视图如图所示( (单位：单位：cm)cm)，则其俯视图，则其俯视图的面积是的面积是 _ cm_ cm2 2. .12125.5.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为3 cm3 cm，以直线，以直线ABAB为轴，将正方形为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的主视图的面积是旋转一周，所得几何体的主视图的面积是_._.18 cm18 cm2 2二、投影二、投影1.1.平行投影：平行投影：_所形成的投影称为平行投影所形成的投影称为平行投影. .2.2.中心投影：从中心投影：从_发出的光线所形成的投影称为中心投影发出的光线所形成的投影称为中心投影. .3.3.视点、视线与盲区视点、视线与盲区人的人的_的位置称为视点的位置称为视点, ,由视点发出的线称为视线由视点发出的线称为视线,_,_的地方称为盲区的地方称为盲区. .平行光线平行光线一点一点眼睛眼睛看不到看不到【即时应用【即时应用】1.1.太阳光线形成的是太阳光线形成的是_投影投影( (填填“平行平行”或或“中心中心”). ). 2.2.晚上，在路灯下走过，越靠近路灯，人的影子将晚上，在路灯下走过，越靠近路灯，人的影子将 _(_(填填“变短变短”或或“变长变长”或或“不变不变”).).3.3.如果如果1 1米长的竹竿在太阳光下的影长为米长的竹竿在太阳光下的影长为1.21.2米，同一时刻，某米，同一时刻，某建筑物的影长为建筑物的影长为3636米，则其高度为米，则其高度为 _ _ 米米. .平行平行变短变短3030【核心点拨【核心点拨】1.1.分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线平行，则是平行投影；若两直线相交，则是中心投影，其交线平行，则是平行投影；若两直线相交，则是中心投影，其交点就是点光源的位置点就是点光源的位置. .2.2.我们把灯光看成是从一个点发出的光线，其照射物体形成的我们把灯光看成是从一个点发出的光线，其照射物体形成的投影与原物体是相似的投影与原物体是相似的, ,即中心投影是位似变换即中心投影是位似变换. . 三视图三视图中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛三视图的位置规定：三视图的位置规定： 特特别别提提醒醒画三视图时，看得见部分的轮廓线画成实线，被遮画三视图时，看得见部分的轮廓线画成实线，被遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线挡而看不见部分的轮廓线画成虚线. .【例【例1 1】(2012(2012万宁中考万宁中考) )下图是一个由相同小正方体搭成的几下图是一个由相同小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是个数，则这个几何体的主视图是( )( )【思路点拨【思路点拨】【自主解答【自主解答】选选A.A.由俯视图可知，该几何体由三列小正方体搭由俯视图可知，该几何体由三列小正方体搭成，由于主视图看见的是最高的位置，所以最左边高度应该是成，由于主视图看见的是最高的位置，所以最左边高度应该是3 3个，中间的高度应该是个，中间的高度应该是2 2个，最右边的高度应该是个，最右边的高度应该是1 1个个. .【对点训练【对点训练】1.(20111.(2011金华中考金华中考) )如图是六个棱长为如图是六个棱长为1 1的立方的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是块组成的一个几何体，其俯视图的面积是( )( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3(A)6 (B)5 (C)4 (D)3【解析【解析】选选B.B.俯视图是俯视图是5 5个正方形组成，每个正方形边长为个正方形组成，每个正方形边长为1 1，所以面积为所以面积为5.5.2.(20122.(2012温州中考温州中考) )我国古代数学家利用我国古代数学家利用“牟合方盖牟合方盖”( (如图甲如图甲) )找到了球体体积的计算方法找到了球体体积的计算方法. .“牟合方盖牟合方盖”是由两个圆柱分别是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体体. .图乙所示的几何体是可以形成图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖牟合方盖”的一种模型，它的一种模型，它的主视图是的主视图是( )( )【解析【解析】选选B.B.由实物图知，它由三部分组成，左下方为圆柱，由实物图知，它由三部分组成，左下方为圆柱，右上方为圆柱，右下方为正方体，这三部分的主视图均为矩形右上方为圆柱，右下方为正方体，这三部分的主视图均为矩形. .故选故选B.B.3.(20123.(2012聊城中考聊城中考) )用两块完全相同的长方体搭成如图所示的用两块完全相同的长方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的主视图是几何体，这个几何体的主视图是( )( )【解析【解析】选选C.C.这个组合体的主视图可以根据提供的正面位置得这个组合体的主视图可以根据提供的正面位置得到到. .从正面看得到的平面图形就是主视图从正面看得到的平面图形就是主视图. .4.(20114.(2011毕节中考毕节中考) )将如图所示的将如图所示的RtABCRtABC绕直角边绕直角边ABAB旋转一周，旋转一周，所得几何体的主视图为所得几何体的主视图为( )( )【解析【解析】选选C.RtABCC.RtABC绕直角边绕直角边ABAB旋转一周后得到的是圆锥，圆旋转一周后得到的是圆锥，圆锥的主视图是等腰三角形锥的主视图是等腰三角形. .5.(20125.(2012济宁中考济宁中考) )如图，是由若干个完全相同的小正方体组如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是方体的个数是( )( )(A)3(A)3个或个或4 4个个 (B)4(B)4个或个或5 5个个(C)5(C)5个或个或6 6个个 (D)6(D)6个或个或7 7个个【解析【解析】选选B.B.本题考查根据几何体三视图还原实物的能力，比本题考查根据几何体三视图还原实物的能力，比较简单较简单. .此题可动手操作，可形象思维此题可动手操作，可形象思维. .小正方体最少为小正方体最少为4 4个，最个，最多为多为5 5个个. .【归纳整合【归纳整合】根据三视图确定小立方体的数目时，通常在俯视根据三视图确定小立方体的数目时，通常在俯视图上放置小立方体，使所放置的小立方体的数目满足主视图和图上放置小立方体，使所放置的小立方体的数目满足主视图和左视图所体现的小立方体的个数，此类题目，有时答案是不确左视图所体现的小立方体的个数，此类题目，有时答案是不确定的定的. . 平行投影和中心投影平行投影和中心投影中考指数：中考指数： 知知识识点点睛睛考查平行投影和中心投影时大多以丰富的实际问题为背考查平行投影和中心投影时大多以丰富的实际问题为背景，解决此类问题的关键是首先把实际问题转化为几何景，解决此类问题的关键是首先把实际问题转化为几何图形，然后再利用投影的特点和性质构造相似三角形或图形，然后再利用投影的特点和性质构造相似三角形或直角三角形进行计算直角三角形进行计算. . 特特别别提提醒醒中心投影问题的实质是位似变换，可利用位似图形中心投影问题的实质是位似变换，可利用位似图形的性质解决与之相关的问题的性质解决与之相关的问题. .【例【例2 2】(2011(2011丹东中考丹东中考) )某一时刻，身高某一时刻，身高1.6 m1.6 m的小明在阳的小明在阳光下的影长是光下的影长是0.4 m.0.4 m.同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是是5 m5 m，则该旗杆的高度是，则该旗杆的高度是( )( )(A)1.25 m (B)10 m (C)20 m (D)8 m(A)1.25 m (B)10 m (C)20 m (D)8 m【思路点拨【思路点拨】【自主解答】【自主解答】选选C.C.如图，如图，DFDF为小明的身高，为小明的身高，EFEF为小明的影长，为小明的影长，ACAC为旗杆的高度，为旗杆的高度，BCBC为旗杆的影长为旗杆的影长. .根据题意可知，根据题意可知，DFAC, DFAC, DEABDEAB，因此可得，因此可得DFE=ACB,DEF=ABC,DFE=ACB,DEF=ABC,因此因此ABCABCDEFDEF， 所以所以 ，即，即 ，AC=20 m.AC=20 m.【对点训练【对点训练】6.(20116.(2011荆州中考荆州中考) )如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为的中心投影组成，相似比为2525，且三角尺的一边长为，且三角尺的一边长为8 cm8 cm，则投影三角尺的对应边长为则投影三角尺的对应边长为( )( )(A)8 cm (B)20 cm (C)3.2 cm (D)10 cm(A)8 cm (B)20 cm (C)3.2 cm (D)10 cm【解析解析】选选B.B.设投影三角尺的对应边长为设投影三角尺的对应边长为x cmx cm，则，则 解得解得x=20.x=20.7.(20127.(2012梅州中考梅州中考) )春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影可能是光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影可能是_(_(写出符合题意的两个图形即可写出符合题意的两个图形即可).).【解析【解析】此题为开放型试题，正方形木板放置方式不同可得到此题为开放型试题，正方形木板放置方式不同可得到不同的图形，如正方形、菱形、线段不同的图形，如正方形、菱形、线段( (答案可以不统一答案可以不统一) .) .答案：答案：正方形、线段正方形、线段( (答案不惟一答案不惟一) .) .8.(20128.(2012绵阳中考绵阳中考) )把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是前方射到后方时，它的正投影是( )( )【解析【解析】选选B.B.由正投影的概念可知，由正投影的概念可知，B B正确正确. .【创新命题【创新命题】根据三视图求面积或体积根据三视图求面积或体积【例】【例】(2011(2011凉山州中考凉山州中考) )一个长方体的三视图如图所示，若一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为( )( )(A)66 (B)48 (A)66 (B)48 (C)48 +36 (D)57(C)48 +36 (D)57【解题导引【解题导引】【规范解答【规范解答】选选A.A.如图所示，如图所示，AB=AB=AC=BC=3AC=BC=3，正方形正方形ACBDACBD面积为：面积为：3 33=93=9，侧面积为：侧面积为：4AC4ACCE=4CE=43 34=484=48，这个长方体的表面积为：这个长方体的表面积为：48+9+9=66. 48+9+9=66. 【名师点评【名师点评】通过对根据三视图求面积或体积试题的分析和总通过对根据三视图求面积或体积试题的分析和总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：创创新新点点拨拨 1.1.此类试题通常是给出物体的三视图的同时，给出了相关此类试题通常是给出物体的三视图的同时，给出了相关的部分数据，所给数据是进一步计算的依据的部分数据，所给数据是进一步计算的依据. .2.2.此类试题主要考查学生的空间想象能力此类试题主要考查学生的空间想象能力. . 解解题题启启示示 1.1.解答此类试题时，首先应通过观察三视图确定实物图的解答此类试题时，首先应通过观察三视图确定实物图的形状，然后根据所给数据找出实物图的长、宽、半径等相形状，然后根据所给数据找出实物图的长、宽、半径等相关数据关数据. .2.2.根据所得出的数据，再结合面积或体积公式求得实物图根据所得出的数据，再结合面积或体积公式求得实物图的面积或体积的面积或体积. . 1.(20121.(2012荆门中考荆门中考) )如图是一个上下底密封的纸盒的三视图，如图是一个上下底密封的纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为_cm_cm2 2. . ( (结果可保留根号结果可保留根号) )【解析【解析】根据三视图，得纸盒为六棱柱，底面为根据三视图，得纸盒为六棱柱，底面为正六边形，如图正六边形，如图. .由图中数据得由图中数据得OA=OB=AB=5 cm.OA=OB=AB=5 cm.所以密封纸盒的表面积为所以密封纸盒的表面积为答案：答案：2.(20112.(2011河南中考河南中考) )如图是一个几何体如图是一个几何体的三视图，根据图示的数据可计算出该的三视图，根据图示的数据可计算出该几何体的表面积为几何体的表面积为_._.【解析【解析】由三视图可知，这个物体是一由三视图可知，这个物体是一个圆锥，圆锥的底面直径为个圆锥，圆锥的底面直径为1010，高为，高为1212，根据勾股定理求得圆，根据勾股定理求得圆锥母线长锥母线长1313，所以圆锥的侧面积为，所以圆锥的侧面积为5 513136565，底面积为，底面积为rr2 22525，因此该几何体的表面积为，因此该几何体的表面积为90.90.答案：答案：9090