第四讲大洋环流方式设计初步张学洪 (zxhlasg.iap.ac) 引言: 方式设计过程 根本近似, 方程组和边境条件 海表高度预告方程, 外表重力波 C-F-L条件，计算稳定性 “刚盖近似, B-C-S方式 自在面方式, 模态分解算法 耗散和频散，典型差分方案 主 要 内 容海表高度预告方程和外表重力波年平均海表高度 (LICOM1.0, cm)延续性方程垂直边境条件的提法求解垂直速度要求自在外表.z0(x,y,t)z=0z=-H海表高度 z0 的预告方程正压流的辐合辐散决议海表的升降正压流方程的推导u-动量方程右端项的分析SSH, T, u, averaged over 120-150W (LICOM)压力梯度的两个分量压力的 external / internal 分量z=0z=z0(x,y,t)典型重力波过程海表起伏对正压流的奉献外表重力波正压速度和海表压力的相互调整z0外表波 (External gravity waves) 缓慢变化的海表高度 快速传播的外表波？ 外表波的计算问题？问 题对正压模态方程组的分析纯粹的正压模态斜压对正压模态的奉献垂直积分流 U 满足的方程已略：程度平流和粘性，底摩擦. 在Boussinesq近似下, 海表高度的变化由体积守恒决议. 海表高度的大尺度分布取决于风应力和斜压压力梯度. 外表重力波和地转调整.小 结练习题. 证明恒等式 ：(F = u, v, T, . . .)并推导正压流方程 (4.25)-(4.28).垂直积分流严厉满足的方程其中X,Y只依赖于平流和程度湍流粘性.Courant-Friedrichs-Lewy 条件差分格式的计算稳定性模型问题: 一维行波方程普通的动摇方程西传的重力波非频散Rossby波基流输运过程一维动摇方程解的dAlembert 公式xt0A x+ct=constBxjtn不收敛的格式 (downstream)jj-1j+1n+1nxjtn不收敛的迎风 (upstream)格式jj-1j+1n+1nxitn收敛的迎风格式 和 CFL 条件jj-1j+1n+1n差分方程解的依赖区域Courant-Friedrichs-Lewy条件保证了迎风格式解的依赖区间包含微分方程解的依赖区间, 这是近似解收敛的必要条件.迎风格式的稳定性分析101f对迎风格式而言, CFL条件也是计算稳定性条件, 它阐明:时间步长要遭到波速和空间网格距的限制.Rigid-lid 近似Bryan-Cox-Semtner 方式TypeAtmos.OceanGravity waves External First internal mode3001002003Currents Jets Interior150-1.50.2Velocities of physical phenomena which may limit the time step of a numerical integration in an atmospheric or ocean model in units of ms-1.From Bryan (1984)计算稳定性条件C=200m/s (表面波) t 4 minC=3m/s (内波) t 4.6 hrs x = 50 kmBryan, K., 1969: A numerical method for the study of the circulation of the World Ocean. J. Comp. Phys., 4, 347-376. (rigid-lid方式)Crowley, W.P., 1968: A Global numerical ocean model: Part I, J. Comp. Phys., 3, 111-147. (free-surface方式)两篇海洋方式设计的论文海表高度 z0 的预告方程刚盖近似正压流无辐散. = 0U, V : 垂直积分流速(正压流)Vertical displacements of the ocean surface are not allowed. This constraint is called the rigid-lid approximation. (Bryan,1969)垂直积分流速U满足的方程其中X只依赖于平流和程度湍流粘性.正压无辐散流可以用流函数表示正压流函数的预告方程椭圆型算子风应力强迫下的正压涡度方程假定:1. H=const 是无运动深度;2. 平流项和程度湍流项可略Sverdrup balance为什么rigid-lid方式较早获得胜利？ 滤去了外表波，方式只包含慢过程，可用大时间步长积分，计算量较小 ; 虽然要求解关于正压流函数倾向的椭圆型方程，但早在1960年代椭圆型方程的迭代解法曾经比较成熟. L4, 4X5 (1989)L20, 4X5(1994)L30,T63(2019)LICOM(2019)LASG Semtner (2019)POPMOM“刚盖近似方式的局限性 不能直接预告海表高度, 因此不适用于海表高度资料的同化; 滤去了外表重力波，不适用于潮汐研讨. 有必要开展自在面方式.自在面方式和模态分解算法 将外表波模态(external mode)从方式中分别出来, 用小步长积分; 对描写垂直构造的模态(internal mode)用大步长积分; 正确描写两种模态的相互作用.如何减少自在面方式计算量？流速的斜压和正压分量U , V external mode 的速度场.垂直积分流 U 满足的方程缓变强迫项对正压模态方程组的分析它们的奉献可以在一定时段内坚持不变！刚盖近似模式自由面模式 去掉了表面波 分解算法+滤波海表高度不是预报量, 不便同化可以直接同化海表高度资料两种处置外表波方法的比较Blumburg, A.F., and G.L. Mellor, 1987: A description of a three-dimensional coastal ocean circulation model (POM).刘海龙等：LICOM1.0用户手册模态分解算法的参考资料差分格式的耗散和频散(dissipation / dispersion)典型差分方案简介迎风格式的单调性和强耗散性unun+1xij-2j-1j+1j+2j单调：极值点个数不增. 单调性的充要条件单调(无频散)是保形的一个方面高精度格式的频散效应Lax-Wendroff 格式(二阶精度, 低耗散 )Lax-Wendroff 格式不是单调格式 满足Courant条件的迎风格式是稳定和正定的,但耗散太强； Lax-Wendroff 格式具有二阶精度，耗散很小,但频散太强； 推测:上述两种格式的适当组合可以构成高精度的保形格式.小 结 先用Lax-Wendroff 格式积分一步得到 试探解, 用于检测出单调性有能够被破坏的格点； 正式积分时, 在那些被检测出来的格点上改用迎风格式. 两种格式混合运用, 扬长避短.两步保形方案的要点：宇如聪, 1994: A Two-Step Shape-Preserving Advection SchemeAdv. Atmos. Sci., 11, 479-490.对两步保形平流格式的检验Yu, R.-C., 1994初值“迎风差分Lax-WendroffTSPASafter 10 cycles抑制高精度格式频散效应的其他方法举例: Leap-frog格式+时间滤波第四讲的回想 大洋环流方式是建立在什么根底之上的？ 动摇过程, 特别是和海表高度变化有关的外表重力波. 迎风格式和动摇过程差分格式的根本问题. 我们了解了那些方式原理？ 刚盖近似方式和自在面方式大洋环流方式的历史. 差分格式设计追求的主要目的之一低耗散、弱频散. 对常用的海洋方式 (如MOM) 的原理有所了解. Equations of the model* Arrangement of variables General method of finite differencing Bryan (1969) 的设计要点*其中包括rigid-lid近似.差分方法:用有限的格点系统逼近延续系统0180360赤道南极北极B-GridKirk BryanGFDL 方式的主要研讨者 K. Bryan M. Cox A. Semtner R. Pacanowski S. GriffiesBryan-Cox-Semtner modelMOM2019年12月26日印度洋海啸en.wikipedia.org/wiki/Tsunami