第第 二二 章章 曲面论曲面论 9/14/20243 曲面的第二基本形式主要内容1.1.曲面的第二基本形式；曲面的第二基本形式；2.2.曲面上曲线的曲率；曲面上曲线的曲率；3.3.Dupin指标线；指标线；4.4.曲面的渐近方向和共轭方向；曲面的渐近方向和共轭方向；5.5.曲面的主方向和曲率线；曲面的主方向和曲率线；6.6.曲面的主曲率、曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率；曲率和平均曲率；7.7.曲面在一点邻近的结构；曲面在一点邻近的结构；8.8.Gauss曲率的几何意义曲率的几何意义.3.1 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式1.1.切平面到曲面上点的无穷小有向距离切平面到曲面上点的无穷小有向距离2.2.曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式定义定义注注计算公式：计算公式：例例1 1解：解：例例2 2解：解：3.2 曲面上曲线的曲率曲面上曲线的曲率1.1.曲面上曲线的曲率曲面上曲线的曲率2.2.法截线、法曲率法截线、法曲率定义定义定理定理例例3 3解：解：例例4 4证：证：3.3 杜邦杜邦(Dupin)指标线指标线定义定义方程方程注注形状形状曲面上点的分类曲面上点的分类3.4 曲面的渐近方向和共轭方向曲面的渐近方向和共轭方向复习复习二次曲线二次曲线1. 渐近方向渐近方向定义：定义：曲线的分类：曲线的分类：叫做二次曲线的渐近方向叫做二次曲线的渐近方向.2. 中心中心定义：定义： 如果点如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点是二次曲线的通过它的所有弦的中点那么点那么点C叫做二次曲线的叫做二次曲线的中心中心. .求法：求法：曲线的分类：曲线的分类：3. 直径直径定义：定义： 也叫做共轭于平行弦方向的直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.二次曲线的平行弦中点轨迹叫做二次曲线的二次曲线的平行弦中点轨迹叫做二次曲线的直径直径，4. 共轭方向共轭方向定义：定义：求法：求法：5. 主直径与主方向主直径与主方向定义：定义： 主直径的方向与垂直于主直径的方向主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的都叫做二次曲线的主方向主方向二次曲线的垂直于其共轭弦的直径二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的叫做二次曲线的主直径主直径，1.1.曲面的渐近方向曲面的渐近方向定义定义注注定义定义命题命题1 1证证: :注注命题命题2 2证证: :定理定理注注定义定义注注命题命题3 3证证: :2.2.共轭方向共轭方向定义定义定理定理定义定义命题命题证：证：命题命题4 43.5 曲面的主方向和曲率线曲面的主方向和曲率线1.1.主方向主方向定义定义问题：问题：定义定义注注例例5 5证：证：例例6 6证：证：主方向的判别定理主方向的判别定理证：证：注注2.2.曲率线与曲率线网曲率线与曲率线网定义定义方程方程命题命题证：证：注注命题命题5 5例例7 7解：解：3.6 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率1.1.主曲率主曲率定义定义注注命题命题6 6证：证：主曲率的计算公式主曲率的计算公式2.2.高斯曲率和平均曲率高斯曲率和平均曲率定义定义例例8 8解：解：xyzoxyzo例例9 9注：注：解：解：3.7 曲面在一点邻近的结构曲面在一点邻近的结构曲面上点的分类曲面上点的分类P P3.8 高斯曲率的几何意义高斯曲率的几何意义1.1.曲面的球面表示、曲面的第三基本形式曲面的球面表示、曲面的第三基本形式定义定义注注定义定义命题命题证：证：命题命题7 7证：证：注注作业作业P113：