2024/9/141基础知识基础知识一、集合的基本概念1集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性2集合的表示法：列举法、描述法、图示法二、元素与集合、集合与集合之间的关系1元素与集合的关系包括属于和不属于，分别用符号和表示2集合与集合之间的关系有：包含、不包含关系，分别用符号和表示2024/9/142 3若A含有n个元素，则A的子集有2n 个，A的非空子集有2n1个，A的非空真子集有2n2个三、集合的运算2024/9/143交集ABx|xA且xB并集ABx|xA或xB补集UAx|xA且xU四、集合中的常用运算性质1AB,BA,则AB；AB，BC，则AC ；2A且A，则A ；3AAA，A；4AAA，ABBA，AA ；5AAU，AAU；6AB A AB.7U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)；8若AB，则ABA ，ABB .2024/9/144易错知识易错知识一、忽视集合中元素的互异性失误1(2009衡水中学第一次教学质检)若集合A1,2，x,4，Bx2,1，AB1,4，则满足条件的实数x的值为()A4 B2或2C2D2答案：C2若31，a，a2求实数a的范围你会吗？答案：a0，1,3，.2024/9/145二、混淆数集与点集易出错3已知My|yx1，N(x，y)|x2y21，则集合MN中元素的个数是()A0B1C2D多个答案：A4下列集合中恰有2个元素的集合是()Ax2x0 By|y2y0Cx|yx2xDy|yx2x答案：B2024/9/146三、元素表达方式不同，误认为元素不同答案：MN6已知A0,1，Bx|xA则集合A与B的关系为()AABBABCABDAB答案：A2024/9/147四、解集合之间的关系题时，不要忘了空集7如Ax|x28x150，Bx|ax10，若BA，求实数a的值某同学只求出了a，还有一个值他没有求出来，你知道是几吗？_.答案：a02024/9/148回归教材回归教材1给出以下四个命题：(x，y)|x1或y21,2y|yx2x|yx2(x，y)|yx2由英文单词“apple”中的所有字母组成的集合有15个真子集若集合A与B的并集为全集，则A，B中至少有一个是全集其中正确的命题是_答案：2024/9/1492已知集合U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5,7，B3,4,5，则(UA)(UB)等于()A1,2,3B4,5C2,3,4,5,7D1,2,3,6,7解析：UA1,3,6，UB1,2,6,7(UA)(UB)1,3,61,2,6,71,2,3,6,7，故选D.答案：D2024/9/14103(2009四川)设集合Sx|x|5，Tx|(x7)(x3)0，则ST()Ax|7x5Bx|3x5Cx|5x3Dx|7x5解析：本题考查解绝对值不等式、解二次不等式以及交集的意义由|x|5得5x5；由(x7)(x3)0得7x3.因此STx|5x3，选C.答案：C2024/9/14114(2009广东，文1)已知全集UR，则正确表示集合M1,0,1和Nx|x2x0关系的韦恩(Venn)图是()解析：N0，1，M1,0,1，NMU.答案：B2024/9/14125设Un|n是小于9的正整数，AnU|n是奇数，BnU|n是3的倍数，则U(AB)_.解析：本题主要考查考生对集合的表示方法与意义的理解、交集、并集及补集的含义依题意得U1,2,3,4,5,6,7,8，A1,3,5,7，B3,6，AB1,3,5,6,7，U(AB)2,4,8答案：2,4,82024/9/1413【例1】(2006江苏高考，7)若A、B、C为三个集合，ABBC，则一定有()AACBCACACDA命题意图考查集合的基本概念及运算解析方法一：利用文氏图故选A.2024/9/1414方法二：特值淘汰法令A1,2，B1,2,3，C1,2,3,4，满足ABBC，否定B，D，当ABC1,2时，否定C，故选A.方法三：A(AB)，(BC)C又ABBC，AC，故选A.答案A2024/9/1415集合Ax|x2n1，nZ，Bx|x4k1，kZ，则A和B的关系为()AABBABCABD以上结论都不对答案：C解析：法一法一：2n1(xZ)表示奇数，对n分类讨论当n2k(kZ)时，2n14k1；当n2k1(kZ)时，2n14k1.则AB.选C.2024/9/1416法二：法二：取x0A，则x02n1(nZ)当n2m(mZ)时，x04m1B；当n2m1(mZ)时，x04m1B.AB.取x1B，则x14k1.令n2k，则4k12n1A；令n2k1，则4k12n1A.x1A.BA.综上，有AB，选C.法三：法三：在数轴上，分别标出2n1和4k1所表示的点，可以看出它们都对应数轴上的奇数，故AB，选C.法四：按余数分类，被2除余1的整数是奇数2n1(nZ)，被4除余1或3(即1)的整数也是全体奇数，选C.2024/9/1417(2009广东，理1)已知全集UR，集合Mx|2x12和Nx|x2k1，k1,2，的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A3个B2个C1个D无穷多个答案：B解析：由题意可知，Mx|1x3，N1,3,5，于是，MNx|1x31,3,5，1,3，它含有2个元素.2024/9/1418【例2】已知Ax|x29，B，Cx|x2|4(1)求AB及AC；(2)若UR，求AU(BC)命题意图本题考查对交、补、并集的理解以及运算解析由x29，得x3或x3，Ax|x3或x3又由不等式0，得1x7，Bx|1x7又由|x2|4，得2x6，Cx|2x2，如图2所示(2)UR，BCx|1x6，U(BC)x|x1或x6，AU(BC)x|x6或x3总结评述先将集合化为最简形式，然后充分利用交集、补集、并集的概念，结合数轴求解2024/9/1420(2009全国)已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，M1,3,5,7，N5,6,7，则U(MN)()A5,7B2,4C2,4,8D1,3,5,6,7答案：C解析：MN1,3,5,6,7，U(MN)2,4,8，选C.2024/9/1421(2009陕西)若不等式x2x0的解集为M，函数f(x)ln(1|x|)的定义域为N，则MN为()A0,1)B(0,1)C0,1D(1,0答案：A解析：Mx|x2x0x|0x1，Nx|1|x|0x|1x1，则MNx|0x1，选A.2024/9/1422【例3】设集合A(x，y)|y|x2|，B(x，y)|y|x|b，AB.(1)b的取值范围是_；(2)若(x，y)AB，且x2y的最大值为9，则b的值是_解析(1)如下图所示，AB为图中阴影部分，若AB，则b1；2024/9/1423(2)若(x，y)AB，且x2y的最大值为9，x2y在(0，b)处取得最大值，2b9，b答案(1)b1(2)2024/9/1424(2007江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A(x，y)|xy1，且x0，y0，则平面区域B(xy，xy)|(x，y)A的面积为()A2B1C.D.解析：设mxy，nxy，点(m，n)表示的区域B，如右上图所示，其面积为1.答案：B2024/9/1425【例4】(2007湖南)设集合M1,2,3,4,5,6，S1、S2、Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Siai，bi，Sjaj，bj(ij，i、j1,2,3，k)都有minmin(minx，y表示两个数x、y中的较小者)则k的最大值是()A10B11C12D13命题思路本题考查排列、组合部分基础知识2024/9/14262024/9/1427答案B(2009北京，5分)设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A，且k1A，那么称k是A的一个“孤立元”给定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_个答案：6解析：若1A，1不是孤立元，2A，设另一个元素为k，假设k3，此时A1,2，k，k1A，k1A，不合题意，故k3.据此分析满足条件的集合为1,2,3，2,3,4，3,4,5，4,5,6，5,6,7，6,7,82024/9/14281解答集合问题注意“四看”一看代表元素：代表元素反映了集合中元素的特征，解题时分清是点集、数集还是其他的集合二看元素组成：集合是由元素组成的，从研究集合的元素入手是解集合题的常用方法三看能否化简：有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系，可使问题变得简单明了、易于解决四看能否数形结合：常运用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图2024/9/14292正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的数学问题，在解题时要调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，能起到化难为易，化隐为显的作用，从而解决问题比如下面这个问题你能解决吗？2024/9/1430已知Ax|x2xa0，Bx|x2x2a10，Cx|ax4a9，且A、B、C中至少有一个不是空集，求a的取值范围2024/9/1431