第四十五第四十五讲 主主讲：杨荣荣副教授副教授吉林大学吉林大学远程教育程教育整理课件 2.5 求定积分的换元积分法和分部积分法 在例21中，用换元积分法求原函数时，要将新变量还原为原来的积分变量，才能求出定积分之值，这样做比较麻烦，现介绍省略还原为原积分变量的步骤计算定积分的方法。 1. 定积分的换元积分法 例例15 求 解解 令 x = t2( t0) ,即 ，当x = 0时 t = 0 ，当 x = 4时 t = 2 ，于是 整理课件严格说来，关于定积分的换元积分法有下面的定理。 定理7 设 则 该公式称为定积分的换元元积分公式分公式（证明从略）。 这样做省略了将新变量 t 还原为原积分变量 x 的麻烦，但需注意两点：第一，引入的新函数 一般是单调的，为的是使 t 在区间,内变化时，x在区间a , b内变化，且 ， ；第二，改变积分变量时必须改变积分上下限，简称为换元必元必换限限。 （1）设 f (x)在a,b上的连续； （2）函数 在,上单调，且有连续导数； （3） x ,时， x a,b， , 1. 用 把原积分变量 x 换成新积分变量 t 时，积分限也要换成新积分变量的积分限。整理课件 定理7的公式也可以倒过来使用，写成 2.求出 的一个原函数后，不必像计算不定积分那样再换回积分变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上下限代入原函数中然后相减就行了。这里 例例16 求 解解 令 ，则 ，当 x = 0时 t = 0 ；当 x = 1时 t = ，于是整理课件 例例18 求 例例17 求 解解 令 x = asect ，则 dx = asect tant dt .当 x = a时， t = 0 ；当 x = 2a时 t = ，于是 计算上式最后一个积分可不引入新的变量，则定积分上、下限也不改变。现在用这种方法计算如下： 解解 由于 ，在 上， 在 上， 于是整理课件 证 由于 例例19 设函数 f (x) 在对称区间-a, a上连续，试证： (1) 若 f (x) 为偶函数，则 (2) 若 f (x) 为奇函数，则 对上式右端第一个积分作变换，令 x = - t，得整理课件 (1) 若 f (x) 为偶函数， f (x) = f (x)，则(2)式成为把上式代入(1)式，得 (2) 若 f (x) 为奇函数， f (x) = f (x)，则(2)式成为把上式代入(1)式，得 本例题给出奇函数和偶函数在对称区间上积分的性质，用这个性质计算对称区间上定积分时，注意到被积函数的奇偶性，可以简化计算。例如计算 ，由于被积函数为奇函数，积分区间为对称区间，立即知该积分为零。整理课件 例例20 设 f (x) 是以T 为周期的连续函数，试证对任何常数 a，有 证 因为对任何常数 a ，都有对上式右端第三个积分作变换，令 x = tT，并利用 f (x)的周期性，得把上式代入(3)式，得整理课件 解解 设 x1= t ，则 dx = dt .当 x = 0时， t =1 ；当 x = 2时 t = 1.于是 例例22 求 例例21 设 求整理课件 解 令 ，则dx=acostdt。当x = 0时 t = 0;则x = a时 ， 于是 整理课件整理课件