3.1 平面立体投影平面立体投影3.2 曲面立体投影曲面立体投影3.4 两基本曲面立体相交两基本曲面立体相交第第3章章 基本立体的投影基本立体的投影内容提要内容提要：本章主要介绍投影法，点、线、面及其相对位置的投影规律。应重点掌握基本立体的三视图画法以及截交线、相贯线的画法。3.3 平面与立体相交平面与立体相交练习题练习题3.1 平面立体的投影平面立体的投影 立体的形状是各种各样的，但任何复杂立体都可以分析成是由一些基本的几何体组成，如棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、球等，称为基本立体。 基本立体根据其表面的几何性质可分为平面立体、曲面立体两类。平面立体是由平面围成的实体，其表面都是平面，如棱柱、棱锥等。3.1.1 正棱柱正棱柱 一个投影为多边形，另外两个投影轮廓线为矩形。 前后棱面为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚成一直线。 棱柱的其它四个侧棱面都为铅垂面，水平投影积聚成直线，正面投影反映类似形。 棱线AB 积聚成直线，其水平投影积聚为一点a（b），正面投影和侧面投影均反映实长，即ab=ab=AB 。 AC 为水平线，水平投影反映实长，ac=AC ，正面投影ac、侧面投影ac 均小于实长。投影图的作法。先画正六棱柱的水平投影正六边形。根据投影规律作出其它两面投影。最后，画中心线和对称轴线。在平面立体表面上取点，其原理和方法与第二章介绍的在平面上取点相同。例3-1：如图所示，已知六棱柱表面上点M 的正面投影和N 点的水平投影，求其另两个投影并判别可见性。 棱锥的表面有底面和棱面，各棱线汇交于一点（锥顶），各棱面都是三角形。 3.1.2 棱锥棱锥 画棱锥的投影时一般也是先画底面和顶点的投影。然后再画出各棱线的投影，并判断可见性。 例3-2：如图中，已知三棱锥表面上两点M 和N 的正面投影，求其水平投影和侧面投影。 常见的平面立体的三视图：3.2 曲面立体的投影曲面立体的投影 机器零件中常见的曲面立体是回转体，如圆柱、圆锥、球、圆环等。回转体的曲面是母线（直线或曲线）绕一轴线作回转运动而形成的。曲面上任一位置的母线称为素线，母线上每一点运动轨迹都是圆，称为纬圆，纬圆平面垂直于回转轴线。常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。 1.圆柱的形成及三视图 圆柱面可看作是一母线绕和它平行的轴线旋转而形成，圆柱的素线是与轴线相平行的直线。 3.2.1 圆柱体圆柱体 圆柱体上下底面为水平面，故水平投影为圆，而其正、侧面投影为直线。可见：圆柱的正、侧面投影为大小相同的矩形，水平投影为圆。 圆柱面的转向线是圆柱面可见与不可见的分界线。在正面投影中AA1和BB1为圆柱面前后两部分的分界线。 在侧面投影中CC1和DD1为圆柱体左右两部分可见与不可见的分界线。 画图时，应先画中心线和轴线。再画投影是圆的视图。最后画其余两个视图。 2.在圆柱表面取点可以利用其投影的积聚性来作图。例3-3：如图所示，已知圆柱面上两点M 、N 的正面投影m和n，求水平投影和侧面投影。 1.圆锥的形成及三视图 圆锥体表面有圆锥面和底面，圆锥面可看作是一条直母线绕着和它相交的轴线旋转而形成的，所以圆锥的素线是通过锥顶的直线。3.2.2 圆锥圆锥 轴线铅垂圆锥的水平投影面是圆，该圆既是圆锥面的投影，又是底面圆的实形投影；正面投影和侧面投影是相同的等腰三角形，三角形的底边是底圆的积聚投影，两腰分别是圆锥面对V、W 面转向轮廓线。圆锥面的转向轮廓线是圆锥面可见和不可见的分界线，在正面投影中sa、sb为圆锥面前后两部分的分界线。 侧面投影中sc、sd 为圆锥体左右两部分的分界线，左半个圆锥面可见，右半个圆锥面不可见。 画图时，应先画中心线和轴线。再画投影为圆的视图，最后画锥顶和轮廓线的投影。 2. 求圆锥表面上的点可以用素线法和纬圆法。例3-4：如图所示，已知点M 的正面投影m和点N 的水平投影n ，求两点的另两投影。 1.圆球的形成及三视图 球由球面围成的实体。球面可以看作是一圆绕通过圆心的轴线（直径）旋转而成。3.2.3 圆球圆球 圆球的特点是，球的三面投影均为圆，并且直径均与球直径相等。 正面投影的圆是球的前后两部分的分界线，它的水平投影和侧面投影都与中心线重合。 侧面投影的圆是球的左右两部分的分界线，它的水平投影和正面投影都与中心线重合。 画图时，应先画中心线。再画三个圆的轮廓线并加深。 2.球面上的点 在圆球表面求点可以用纬圆法。球面的纬圆可以是平行于V 面、H 面或W 面的圆。例3-5：如图所示，已知圆面上点M 的正面投影m，求其他两投影。1.圆环的形成及三视图 圆环的表面是圆环面。圆环面可以看作是一圆母线，绕在同一平面的圆外一轴线旋转而形成的。3.2.4 圆环圆环* 作圆环的三视图时，一般先画三个投影的中心线。然后确定圆环轴到母线圆中心的距离。 正面投影两水平轮廓线是环面最上、最下素线纬圆的投影。 正面投影两水平轮廓线是环面最上、最下素线纬圆的投影。两个圆是环面最前、最后素线圆的投影。2.圆环表面取点 在圆环面上取点要利用纬圆法。如图所示，已知环面上一点K 的水平投影k，求点K 的正面投影k和侧面投影k。常见的曲面立体的三视图：3.3 平面与立体相交平面与立体相交* 实际的机器零件往往不是完整的基本立体，而是经过截切后的基本形体，如图中的触头和阀芯。平面与立体表面的交线称为截交线。截交线均具有下列性质：(1)封闭性 截交线一般是由直线或曲线或直线和曲线围成的封闭的平面图形。(2)共有性 截交线是截平面和立体表面的共有线，是截平面和立体表面共有点的集合。一、平面与平面立体相交一、平面与平面立体相交平面与平面立体相交，其截交线是一个封闭的平面多边形，多边形的每一条边是截平面与平面立体一个表面的交线，多边形的顶点是截平面与平面立体的棱线的交点。因此，求平面立体的截交线，可归结为求截平面与立体各表面的交线，或截平面与立体上棱线的交点，并判别各投影的可见性，然后再依次连线，即可得截交线的投影。 多边形的每一条边是截平面与平面立体一个表面的交线，多边形的顶点是截平面与平面立体的棱线的交点。 如图所示，已知正六棱柱被正垂面截切后的两视图，求其左视图。 如图所示，试求正四棱锥被两平面截切后的三视图。 二、平面和回转体表面体相交二、平面和回转体表面体相交平面与曲面立体相交，截交线是一条封闭的平面曲线，或由平面曲线和直线或完全由直线所组成的平面图形。 常见的截交线有平面与圆柱、圆锥、圆球等回转体表面相交而形成的截交线 。 （一）平面与圆柱相交由于截平面对圆柱轴线的相对位置不同，圆柱的截交线有三种形状。 如图所示，已知圆柱体被两平面截切后的正面和侧面投影，求圆柱截交线的水平投影。 如图所示，已知圆柱上通槽的正面投影，求其水平投影和侧面投影。 试分析图所示一圆管开通槽的三视图的绘制过程。 （二）平面与圆锥相交由于截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种不同的形状。 如图所示，已知主视图，补画俯视图并画出左视图。 （三）平面与圆球相交平面与圆球相交的截交线只有一种形状-圆。但当圆平面平行与某一投影面时，在该投影面的投影为圆，当圆平面与投影面倾斜，在该投影面的投影为椭圆。 如图所示，已知半球上通槽的正面投影，求其他两投影。 （四）常见不完整回转体3.4 两基本曲面立体相交两基本曲面立体相交* 两立体相交在两立体表面所产生的交线称为相贯线。因为基本立体有平面立体和曲面立体，所以两立体相交有三种情况：两平面立体相交；平面立体与曲面立体相交；两曲面立体相交。 两曲面立体的相贯线有下列基本特性：（1）相贯线一般是闭合的空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线或不闭合。（2）相贯线是相交两立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。一、求相贯线的方法及步骤一、求相贯线的方法及步骤求相贯线常用的方法有表面取点法和辅助平面法。（一）表面取点法【例】 如图所示，求相贯的正面投影。两正交圆柱相贯线的三种形式。 两圆柱正交的相贯线在机器零件中最常见，可以采用简化画法。如图3-24a所示，如果两轴线平行V 面的正交圆柱直径不相等且相差不大时，相贯线的正面投影可用大圆柱的半径画圆弧来代替。图3-24b所示，当小圆柱的直径与大圆柱相差很大时，相贯线的正面投影可用直线来代替。 (二)辅助平面法辅助平面法就是假想用一个平面截切相交两立体，所得截交线的交点，就是相贯线上的点。在相交部分作出若干个辅助平面，求出相贯线上一系列点的投影，依次光滑连接，即得相贯线的投影。 为便于作图，应选择截两立体截交线的投影都是简单易画的直线或圆为辅助平面，一般选择特殊位置平面作为辅助平面。 【例3-6】 求作下图所示的圆柱与圆锥的相贯线。 二、相贯线的变化二、相贯线的变化（1）尺寸变化时，相贯线的变化(2)轴线的相对位置变化时，相贯线的变化。三、相贯线的特殊情况三、相贯线的特殊情况两曲面立体的相贯线一般是空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线。(1)两回转体具有公共轴线时，相贯线为垂直于轴线的圆。 (2)两圆柱轴线平行、两圆锥共锥顶时，相贯线为直线。(3)两回转体公切于一个球时，相贯线是平面曲线椭圆。 练习练习1 1 求立体切割后的投影431265114565234（6）（2）（3）练习练习2 2 求立体截割后的投影71188711121056943961（3）2（4）105 1（2）83（4）10 （5）9 11（6）（7）练习练习3求立体切割后的投影235411166543264（5）2 （3）练习练习4求立体切割后的投影1（2）3412642156346（5）3（4）人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自有黄金屋。书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进鼓舞我们前进。