第六章 测量误差基本知识 杨 正 丽四川大学水利水电学院本章内容n6.1 概述n6.2 测量误差的分类及处理原则n6.3 偶然误差的统计特性n6.4 衡量观测值精度的指标n6.5 误差传播定律n6.6 同精度观测直接平差n6.7 加权平均值及其精度评定n6.8 最小二乘法原理及其应用ABD往往D返返D往往 D往往A AB BC CA+B+C180第六章 测量误差基本知识6.1 概述概述不等精度观测:观测条件不同的各次观测，其结果具有不同精度。 等精度观测:观测条件相同的各次观测，其结果具有相同精度。6.1.1 观测与观测值定义观测与观测值定义 6.1.2 6.1.2 观测与观测值的分类观测与观测值的分类 通过一定的仪器工具和方法对某量进行量测，称为观测，所获得的数据称为观测值。n 等精度观测与不等精度观测等精度观测与不等精度观测n 直接观测和间接观测直接观测和间接观测n 独立观测和非独立观测独立观测和非独立观测1.观测误差的定义 指被观测值(或其函数)与未知量的真实值(或函数的理论值)间的差值。 观测误差=观测值-真值 一般用符号表示。即：= L观 L理 =L-X 6.1.3 观测误差及其产生的原因观测误差及其产生的原因真值：代表观测值真值：代表观测值L L 真正大小的数值，用真正大小的数值，用 X X 表示。表示。真误差真误差: : 观测值观测值 L L 与真值与真值 X X 之间的差值，用之间的差值，用表示。表示。 = L = L X X 测量工作的目标并不是简单地使测量误差越小越好，而是要在一定的观测条件下，设法将误差限制在与测量目的相适应的范围内。 通过分析测量误差，求得未知量的最合理、最可靠地结果，并对观测成果的质量进行评定。6.1.4 研究测量误差的指导原则研究测量误差的指导原则2. 观测误差产生的原因观测误差产生的原因 人观测者）人观测者） 仪器仪器 外界环境外界环境D观观测测条条件件读数误差读数误差刻划不均匀误差刻划不均匀误差大气折光误差大气折光误差6.2 测量误差的分类及处理原则测量误差的分类及处理原则1、系统误差、系统误差2、偶然误差、偶然误差3、粗差、粗差 N No o系统误差：在相同观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如系统误差：在相同观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同或者具有一定的规律性。果出现的误差在符号和数值上都相同或者具有一定的规律性。30.04S = 0.04 NS = 0.04 NS S N N= L+0.04 N= L+0.04 N 系统误差具有积累性系统误差具有积累性,可以利用其规律性对观测值进行改可以利用其规律性对观测值进行改正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱.偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，在表面上看没有任如果误差出现的符号和数值大小都不相同，在表面上看没有任何规律性；但就大量的误差而言，具有一定的统计规律。何规律性；但就大量的误差而言，具有一定的统计规律。D9.59.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1 1 2 3 4 5 6 7 N No o 偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论处理，可以求得参数的最可靠值处理，可以求得参数的最可靠值. N No o粗差：由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差。粗差：由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差。A AB BC C 在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或重测。将其剔除或重测。v误差处理原则误差处理原则v测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值中的粗测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值中的粗差，利用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可以忽略差，利用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可以忽略不计，使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计方法求不计，使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计方法求得观测值的最可靠值。得观测值的最可靠值。L1L2L3n三角形内角和真误差三角形内角和真误差:【例】在相同的观测条件下，观测了【例】在相同的观测条件下，观测了217217个三角形的全部内角。个三角形的全部内角。6.3 偶然误差的统计特性偶然误差的统计特性 误差分布表误差分布表0+3+6+9+15+12+21+18+24+27-27-21-15-9-3-24-18-12-6 频率直方图频率直方图有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限值；过一定的限值；抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值 趋近于零。即趋近于零。即 集中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的集中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的 概率大；概率大； 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；其中其中3.3.偶然误差的四个特性偶然误差的四个特性 误差分布曲线：误差分布曲线：0概率密度函数：概率密度函数：标准差：标准差：正态分布正态分布方差：方差：精度：一组观测值误差分布的密集或离散程度。精度：一组观测值误差分布的密集或离散程度。观测条件观测条件误差分布误差分布观测值精度观测值精度6.4 衡量观测值精度的指标一、中误差一、中误差标准差标准差中误差中误差是反映一组误差离散程度的指标。是反映一组误差离散程度的指标。 观测精度观测精度高、低）高、低）曲线形态峻曲线形态峻峭、平缓）峭、平缓）具体的数值具体的数值小、大）小、大） 小，精度高 大，精度低观测条件观测条件误差分布误差分布观测值精度观测值精度举举 例例【例】同精度下对某一三角形进行了【例】同精度下对某一三角形进行了1010次观测，求得每次观测所得次观测，求得每次观测所得的三角形闭合差分别为单位：的三角形闭合差分别为单位：）：）：+3+3，-2-2，-4-4，+2+2，0 0，-4-4，+3+3，+2+2，-3-3，-1-1。 另一台仪器的结果单位：另一台仪器的结果单位：）：）：0 0，-1-1，-7-7，+2+2，+1+1， +1 +1， -8 -8， 0 0， +3 +3，-1-1。 精度精度(precise) 和和 准确度准确度(accuracy)系统误差系统误差Inaccurate and precise偶然误差偶然误差Accurate and impreciseAccurate and preciseInaccurate and imprecise二、相对误差二、相对误差【例】分别丈量了【例】分别丈量了 S1=200m S1=200m 及及 S2=40m S2=40m 的两段距离，观的两段距离，观测值的中误差均为测值的中误差均为2cm2cm，试比较两者的观测成果质量。，试比较两者的观测成果质量。相对误差相对误差K : K : 中误差的绝对值与观测值之比，用分子为中误差的绝对值与观测值之比，用分子为1 1表示表示S1S1的丈量精度高于的丈量精度高于S2S2的丈量精度的丈量精度三、极限误差三、极限误差允许误差：允许误差：6.5 误差传播定律问题的提出：问题的提出： 在上节介绍了对于某一个量直接进行多在上节介绍了对于某一个量直接进行多次观测，计算观测值的中误差。许多未知量次观测，计算观测值的中误差。许多未知量是不能直接观测得到的。这些未知量是观测是不能直接观测得到的。这些未知量是观测值的函数，那么如何根据观测值的中误差而值的函数，那么如何根据观测值的中误差而去求观测值函数的中误差呢？去求观测值函数的中误差呢？一、一般函数的中误差一、一般函数的中误差例：测得某块地的长a=10m，宽b5m，a、b独立，且ma 2cm，ma 1cm，求该块地的面积及中误差。例：设有函数 z=Ssin解：例：设有函数：Z=X+Y ， Y=3X解：注：由于X和Y不是独立观测值总 结 应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，可归纳以下几步：可归纳以下几步：1、列出函数式2、对函数式全微分，得出函数的真误差和观测值真 误差的关系式4、写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式3、独立性的判断注意单位的统一注意单位的统一 误差传播定的几个主要公式：函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数一般函数6.6 同精度观测直接平差一、一、 算术平均值算术平均值 在相同的观测条件下，对某个未知量观测了n 次，观测值为L1，L2，Ln，求该未知量的最或然值。设未知量的真值为设未知量的真值为X X，则观测值的真误差为：，则观测值的真误差为：算术平均值：算术平均值：当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋近该量的真值当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋近该量的真值二、观测值的改正值二、观测值的改正值三、按观测值的改正值计算中误差三、按观测值的改正值计算中误差 在相同的观测条件下对某一量进行多次观测，则观在相同的观测条件下对某一量进行多次观测，则观测值为同精度观测值，其中误差为：测值为同精度观测值，其中误差为：（白塞尔公式）（白塞尔公式） 四、最或是值的中误差四、最或是值的中误差算术平均值的中误差为观测值的中误差的算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍倍= = n L1 xn L2 n Ln 误差传播定律 两式分别相减得： 上式各取其总和，并顾及v=0,得 取其平方和，顾及v=0得 例：对某段距离同精度测量了例：对某段距离同精度测量了4 4次：次：试求该段距离的算术平均值值及观测值中误差。试求该段距离的算术平均值值及观测值中误差。解：对某个未知量对某个未知量X, X, 不等精度观测：不等精度观测：1 1、如何求、如何求X X的最或是值的最或是值x x？2 2、如何求观测值、如何求观测值LiLi的中误差？的中误差？3 3、如何求最或是值、如何求最或是值x x的中误差？的中误差？6.7 加权平均值及其精度评定一、不等精度观测及观测值的权一、不等精度观测及观测值的权 对某个未知量进行了对某个未知量进行了n n 次不等精度观测：次不等精度观测：L1L1，L2L2，LnLn，其中误差为，其中误差为m1m1，m2 m2 mn mn，求该未知量的最或是值。，求该未知量的最或是值。式中：式中：C为任意正数为任意正数 当观测值当观测值Li的中误差为的中误差为m0时，相应时，相应Pi1，称为单位权观测值，称为单位权观测值， m0为单位权中误差，为单位权中误差， Pi为单位权为单位权n权的特性权的特性n权是衡量观测值之间相对精度的指标权是衡量观测值之间相对精度的指标n一组观测值只能取同一个一组观测值只能取同一个C或者或者 m0例例 对某角作三组同精度观测：对某角作三组同精度观测：第一组测第一组测2次，算术平均值为次，算术平均值为L1 第二组测第二组测4次，算术平均值为次，算术平均值为L2 第三组测第三组测6次，算术平均值为次，算术平均值为L3 设每次观测值的中误差为设每次观测值的中误差为m0二、加权平均值二、加权平均值三、加权平均值的中误差三、加权平均值的中误差四、单位权中误差的计算四、单位权中误差的计算定权P求加权平均值X改正数V单位权中误差m0评定加权平均值的精度mx任何一种测量,其观测结果都会存在误差(主要考虑偶然误差)的影响,由于这种误差的影响,使得对同一量进行多次观测所得的结果都不会相同,也不等于理论数值。 测量数据处理的任务： “消除矛盾”，求出观测量的最或然值平差值） 评定精度6.8 最小二乘法原理及其应用1、最小二乘原理存在矛盾如何消除，采用什么样的原则消除才是合理的，这就是数据处理的原则，即最小二乘原理。所谓最小二乘原理，就是在使各个改正数的平方和为最小值的原则下即VV=或PVV最小），来求取观测值的做或是值，并进行精度评定。 VV=V12+ V22 + V32 + + Vn2 =min PVV=P1V12+ P2V22 +P3 V32 + +Pn Vn2 =min二、最小二乘原理的应用二、最小二乘原理的应用 根据对同一个量的多次观测结果，确定最或然值并评定精度的过程，称为直接平差。 1.算术平均值直接平差 设 L1, L2, Ln 为一组独立观测值，根据最小二乘准则，其最或然值 x 必须满足： vv=(x - L1 )2+ (x - L2 )2+(x - Ln)2=min 求vv 对 x 的一阶和二阶导数： 二阶导数大于零，说明函数是凸函数，有最小值 这说明，在等精度观测条件下，未知量的最或然值就是算术平均值。或者说，算术平均值是满足最小二乘准则条件下，等精度观测值的最或然值。2.加权平均值直接平差 一列观测值L1，L2，Ln,，其精度值分别为m1,m2,mn，选定一个精度值m,并同时选定一组正数p1,p2,pn，使得下列诸式同时成立： 根据最小二乘准则，应使pvv=min，即： pvv=p1(x-L1)2+ p2(x-L2)2 +pn(x-Ln)2=min二、最小二乘原理的应用二、最小二乘原理的应用 这就是不等精度观测时未知量的最或然值，也就是说，不等精度观测值的最或然值是加权平均值。