第一节第一节 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程第二节第二节 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程第三节第三节 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程第四节第四节 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式第五节第五节 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移第四章 平面问题的极坐标解答第六节第六节 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力第八节第八节 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中第九节第九节 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力第十节第十节 半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力例题例题习题的提示与答案习题的提示与答案教学参考资料教学参考资料第七节第七节 压力隧洞压力隧洞第四章 平面问题的极坐标解答第四章 平面问题的极坐标解答区别:直角坐标中, x和y坐标线都是直线,有 固定的方向, x和y的量纲均为L。 极坐标中, 坐标线（ =常数）和 坐标线（ =常数）在不同点有不同的方向;相同:两者都是正交坐标系。 直角坐标直角坐标( (x, ,y) )与极坐标与极坐标 比较：比较：第四章 平面问题的极坐标解答 坐标线为直线, 坐标线为圆弧曲线; 的量纲为L, 的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的区别。对于圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。应用第四章 平面问题的极坐标解答441 1 极坐标中的平衡极坐标中的平衡 微分方程微分方程在A内任一点（，）取出一个微分体，考虑其平衡条件。微分体由夹角为的两径向线和距离为的两环向线围成。第四章 平面问题的极坐标解答第四章 平面问题的极坐标解答注意：两面不平行，夹角为；两面面积不等，分别为，。从原点出发为正，从x轴向y 轴方向转向为正。第四章 平面问题的极坐标解答微分体上的作用力有微分体上的作用力有：体力 ， 以坐标正向为正。应力面，面分别表示应力及其增量。应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负。作用力第四章 平面问题的极坐标解答应用假定:（1）连续性，（2）小变形。平衡条件平衡条件平衡条件考虑通过微分体形心C的向，列出三个平衡条件:第四章 平面问题的极坐标解答其中可取通过形心C的 向合力为0，第四章 平面问题的极坐标解答上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得式(a)中第一、二、四项与直角坐标的方向相似; 而第四章 平面问题的极坐标解答是由于 面面积大于 面面积而引起的，是由于 面上的 在C点的 向有 投影。第四章 平面问题的极坐标解答略去三阶微量，保留到二阶微量，得通过形心C的 向合力为0，第四章 平面问题的极坐标解答式(b)中第一、二、四项与直角坐标的方程相似，而是由于面的面积大于面引起的，是由于面上的切应力在C点的向有投影。第四章 平面问题的极坐标解答 通过形心C的力矩为0，当 考虑到二阶微量时，得第四章 平面问题的极坐标解答思考题1、试说明在导出上述平衡微分方程中，同样 应用了连续性和小变形的基本假定，因而 适用的条件也是这两个。 2、试对微分体上的不同点列出平衡条件，或 者考虑每一面上的应力为非均匀分布时列 出平衡条件，证明式（41）在二阶微量 的精度内总是相同的。 第四章 平面问题的极坐标解答几何方程几何方程表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式 。442 2极坐标中的几何方极坐标中的几何方 程及物理方程程及物理方程过任一点作两个沿正标向的微分线段,第四章 平面问题的极坐标解答 1. 1.只有径向位移只有径向位移 ，求形变。，求形变。P,A,B 变形后为 ，各点的位移如图。几何方程第四章 平面问题的极坐标解答PA线应变在小变形假定下，几何方程第四章 平面问题的极坐标解答此项表示，由于径向位移 所引起的环向线段的伸长应变。切应变为几何方程第四章 平面问题的极坐标解答2.只有环向位移 ,求形变P,A,B 变形后为，各点的位移如图(b)。几何方程第四章 平面问题的极坐标解答几何方程第四章 平面问题的极坐标解答切应变此项表示：环向位移引起的环向线段的转角（极坐标中才有）。几何方程第四章 平面问题的极坐标解答 3.当 和 同时存在时，几何方程为几何方程第四章 平面问题的极坐标解答 极坐标中的物理方程极坐标中的物理方程 直角坐标中的物理方程是代数方程，且 x 与y 为正交，故物理方程形式相似。物理方程 极坐标中的物理方程也是代数方程,且与 为正交，第四章 平面问题的极坐标解答平面应力问题的物理方程：物理方程对于平面应变问题，只须作如下同样变换，第四章 平面问题的极坐标解答边界条件应用极坐标时，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：边界条件故边界条件形式简单。第四章 平面问题的极坐标解答思考题1、试考虑在导出几何方程时，考虑到哪一 阶微量，略去了哪些更高阶的微量？2、试比较极坐标中和直角坐标中的基本方 程和边界条件，有哪些相似之处和不同 之处，为什么会有这些差别？第四章 平面问题的极坐标解答以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于：443 3 极坐标中的应力函极坐标中的应力函 数与相容方程数与相容方程物理量的转换;从直角坐标系中的方程导出极坐标系中的方程。第四章 平面问题的极坐标解答函数的变换：将式或代入，坐标变量的变换：反之坐标变换第四章 平面问题的极坐标解答或矢量的变换：位移坐标变换第四章 平面问题的极坐标解答导数的变换：将对的导数，变换为对的导数。可看成是而又是的函数，即是通过中间变量，为的复合函数。有:坐标变换第四章 平面问题的极坐标解答而代入，即得一阶导数的变换公式,一阶导数，。第四章 平面问题的极坐标解答注意：系数中也包含和，展开即得：二阶导数的变换公式，可以从式(e)导出。例如二阶导数第四章 平面问题的极坐标解答拉普拉斯算子的变换：由式（f）得二阶导数第四章 平面问题的极坐标解答表示表示 ，可考虑几种导出方法： (1)从平衡微分方程直接导出（类似于(2)直角坐标系中方法）。相容方程应力公式第四章 平面问题的极坐标解答(2) 应用特殊关系式，即当x轴移动到与 轴重合时，有:代入式( f )，得出如书中公式。(3)应用应力变换公式（下节），应力公式第四章 平面问题的极坐标解答(4)应用应力变换公式（下节），而代入式( f )，得出的公式。比较两式的的系数，便得出的公式。应力公式第四章 平面问题的极坐标解答 4. 4.极坐标系中按应力函数极坐标系中按应力函数 求解，应满求解，应满 足足：(1) A内相容方程(2)上的应力边界条件（设全部为应力边界条件）。(3) 多连体中的位移单值条件。 按 求解第四章 平面问题的极坐标解答 应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。因此，应力分量的坐标变换关系，应按以下方式得出。444 4 应力分量的坐标应力分量的坐标 变换式变换式1.已知 ，求 。 取出一个包含x面y(含 )和第四章 平面问题的极坐标解答面（含）的三角形微分体，厚度为1，如下图A，考虑其平衡条件。第四章 平面问题的极坐标解答得同理，由得第四章 平面问题的极坐标解答 类似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条件，得第四章 平面问题的极坐标解答应用相似的方法，可得到2.已知 ，求第四章 平面问题的极坐标解答1、试导出法线与 轴夹角为 的面上的 应力分量表达式。 2、试导出式(4-8)。思考题第四章 平面问题的极坐标解答应力数值轴对称仅为的函数，应力方向轴对称 轴对称轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面。 轴对称应力问题：轴对称应力问题：445 5 轴对称应力和轴对称应力和 相应的位移相应的位移轴对称应力问题第四章 平面问题的极坐标解答其中 相应的应力函数 ， 应力公式为：（1）相容方程，第四章 平面问题的极坐标解答相容方程成为常微分方程，积分四次得 的通解，的通解第四章 平面问题的极坐标解答(2)应力通解：将式(c)代入式(a)，第四章 平面问题的极坐标解答将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，(3)应变通解：将应力(d)代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变也为轴对称。(4)求对应的位移：第四章 平面问题的极坐标解答分开变量，两边均应等于同一常量F,将代入第三式，第四章 平面问题的极坐标解答即得两个常微分方程，第四章 平面问题的极坐标解答其中代入 ，得轴对称应力对应的位移通解，I，K为x、y向的刚体平移，H 为绕o点的刚体转动角度。位移通解第四章 平面问题的极坐标解答 说明说明（2）在轴对称应力条件下，形变也是轴对称 的,但位移不是轴对称的。（3）实现轴对称应力的条件是，物体形状、体力和面力应为轴对称。（1）在轴对称应力条件下，式 (c),(d),(e) 为应力函数、应力和位移的通解，适用 于任何轴对称应力问题。说明说明第四章 平面问题的极坐标解答(4)轴对称应力及对应的位移的通解(d)、(e)已满足相容方程，它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值条件，并由此求出其系数A、B及C。说明说明(5)轴对称应力及位移的通解(d)、(e)，可以用于求解应力或位移边界条件下的任何轴对称问题。(6)对于平面应变问题，只须将换为第四章 平面问题的极坐标解答思考题为什么在轴对称应力下，得出的位移是非轴对称的？如何从数学推导和物理概念上解释这种现象？第四章 平面问题的极坐标解答 圆环(平面应力问题)和圆筒(平面应变问题)受内外均布压力，属于轴对称应力问题，可以引用轴对称应力问题的通解。446 6 圆环或圆筒受圆环或圆筒受 均布压力均布压力问题第四章 平面问题的极坐标解答问题第四章 平面问题的极坐标解答边界条件是边界条件第四章 平面问题的极坐标解答 考察多连体中的位移单值条件。 圆环或圆筒，是有两个连续边界的多连体。而在位移解答中，式(b)中的条件是自然满足的，而其余两个条件还不足以完全确定应力解答(a)。单值条件第四章 平面问题的极坐标解答是一个多值函数：对于 和 是同一点，但式(c)却得出两个位移值。由于同一点的位移只能为单值， B =0。单值条件第四章 平面问题的极坐标解答由B=0和边界条件(b)，便可得出拉梅解答，单值条件第四章 平面问题的极坐标解答解答 (d) 的应用：（1）只有内压力（2）只有内压力且，成为具有圆孔的无限大薄板（弹性体）。（3）只有外压力单值条件第四章 平面问题的极坐标解答 单值条件的说明：单值条件的说明：（1）多连体中的位移单值条件，实质上就是物体的连续性条件（即位移连续性 条件）。（2）在连续体中，应力、形变和位移都应为单值。按位移求解时：取位移为单值，求形变（几何方程）也为单值，求应力（物理方程）也为单值。单值条件第四章 平面问题的极坐标解答按应力求解时：取应力为单值，求形变（物理方程）也为单值，求位移（由几何方程积分），常常会出现多值项。对于单连体，通过校核边界条件等，位移单值条件往往已自然满足；对于多连体，应校核位移单值条件，并使之满足。按应力求解时，对于多连体须要校核位移的单值条件。单值条件第四章 平面问题的极坐标解答思考题轴对称应力条件下的通解，可以应用于各种应力和位移边界条件的情形。试考虑下列圆环或圆弧的问题应如何求解：(1) 内边界受均匀压力 ，而外边界为固定边； (2) 外边界受均匀压力 ，而内边界为固定边； (3) 外边界受到强迫均匀位移 ，而内边界为 自由(如车辆的轮箍作用)； (4) 内边界受到强迫均匀位移 ，而外边界为 自由。第四章 平面问题的极坐标解答447 7 压力隧洞压力隧洞本题是两个圆筒的接触问题，两个均为轴对称问题（平面应变问题）。圆筒埋在无限大弹性体中，受有均布内压力。圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为压力隧洞第四章 平面问题的极坐标解答不符合均匀性假定，必须分别采用两个轴对称解答：圆筒无限大弹性体压力隧洞第四章 平面问题的极坐标解答应考虑的条件：（1）位移单值条件：（2）圆筒内边界条件：（3）无限远处条件，由圣维南原理压力隧洞第四章 平面问题的极坐标解答由（1）（4）条件，解出解答（书中式（4-16）。（4）的接触条件，当变形后两弹性体保持连续时，有压力隧洞第四章 平面问题的极坐标解答2.一般的接触问题。(1)完全接触：变形后两弹性体在s上仍然保持连续。这时的接触条件为：在s上 当两个弹性体，变形前在s上互相接触，变形后的接触条件可分为几种情况：接触问题第四章 平面问题的极坐标解答(2)有摩阻力的滑动接触：变形后在s上法向保持连续，而切向产生有摩阻力的相对滑移，则在s上的接触条件为 其中C为凝聚力。接触问题第四章 平面问题的极坐标解答(4)局部脱离：变形后某一部分边界上两弹性体脱开，则原接触面成了自由面。在此部分脱开的边界上，有 (3)光滑接触：变形后法向保持连续，但切向产生无摩阻力的光滑移动，则在s上的接触条件为 接触问题第四章 平面问题的极坐标解答在工程上，有许多接触问题的实际例子。如机械中轴与轴承的接触，基础结构与地基的接触，坝体分缝处的接触等等。一般在接触边界的各部分，常常有不同的接触条件，难以用理论解表示。我们可以应用有限单元法进行仔细和深入的分析。接触问题第四章 平面问题的极坐标解答3.有限值条件图（a） 设图（a）中半径为r的圆盘受法向均布压力q作用，试求其解答。有限值条件第四章 平面问题的极坐标解答 引 用 轴 对 称 问 题 的 解 答 ， 并 考 虑 边 界 上的条件，上述问题还是难以得出解答。这时，我们可以考虑所谓有限值条件，即除了应力集中点外，弹性体上的应力应为有限值。而书中式(4-11)的应力表达式中，当 时， 和 中的第一、二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件， 当 时，必须有A=B=0。有限值条件第四章 平面问题的极坐标解答在弹性力学问题中，我们是在区域内和边界上分别考虑静力条件、几何条件和物理条件后，建立基本方程及其边界条件来进行求解的。一般地说，单值条件和有限值条件也是应该满足的，但是这些条件常常是自然满足的。而在下列的情形下须要进行校核： (1)按按应应力力求求解解时时，多多连连体体中中的的位位移移单单值条件值条件。有限值条件第四章 平面问题的极坐标解答 在弹性力学的复变函数解法中，首先排除不符合单值条件和有限值条件的复变函数，从而缩小求解函数的范围，然后再根据其他条件进行求解。 (2)无应力集中现象时无应力集中现象时， 和 ，或 处处的应力的有限值条件应力的有限值条件(因为正、负幂函数在这些点会成为无限大)。有限值条件第四章 平面问题的极坐标解答思考题试考虑有两套筒或三套筒互相接触时，如何求解？第四章 平面问题的极坐标解答工程结构中常开设孔口，最简单的为圆孔。本节研究小孔口问题小孔口问题，应符合（1）孔口尺寸弹性体尺寸， 故孔口引起的应力扰动局限于小范围内。448 8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中小孔口问题第四章 平面问题的极坐标解答（2）孔边距边界较远（1.5倍孔口尺寸）孔口与边界不相互干扰。当弹性体开孔时，在小孔口附近，将发生应力集中现象应力集中现象。小孔口问题第四章 平面问题的极坐标解答1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q，图(a)。双向受拉第四章 平面问题的极坐标解答内边界条件为，将外边界改造成为圆边界，作则有因此，可以引用圆环的轴对称解答，取且Rr，得应力解答双向受拉第四章 平面问题的极坐标解答2.带小圆孔的矩形板，x,y向分别受拉压力，图(b)。应力集中系数为2。内边界条件为最大应力发生在孔边，作圆，求出外边界条件为双向受拉压第四章 平面问题的极坐标解答应用半逆解法求解（非轴对称问题）:由边界条件，假设代入相容方程，由关系，假设，设双向受拉压第四章 平面问题的极坐标解答除去，为欧拉方程，得解由式(d)，(e)得，并求出应力。双向受拉压第四章 平面问题的极坐标解答校核边界条件(b),(c)，求出A,B,C,D，得应力解答：在孔边，最大、最小应力为，应力集中系数为。双向受拉压第四章 平面问题的极坐标解答3.带小圆孔的矩形板，只受x向均布拉力q。单向受拉第四章 平面问题的极坐标解答应用图示叠加原理，得应力解答:单向受拉第四章 平面问题的极坐标解答 讨论：讨论：（1）孔边应力，最大应力3q，最小应力-q。单向受拉第四章 平面问题的极坐标解答（2) y轴 上应力，D处 ，由于孔口引起的应力扰动5%。单向受拉第四章 平面问题的极坐标解答（3）x 轴上应力，D处 ，由于孔口引起的应力扰动远处的应力，孔口附近应力无孔时的应力。（2）局部性应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径（D）范围内。此区域外的应力扰动，一般。第四章 平面问题的极坐标解答思考题1、试考虑书中的应力解答(4-22)具有下列特点：在图示直径为OA=D的圆上，如图， 都等于yxoFDAB第四章 平面问题的极坐标解答3、试考虑在下图中，当 的边界上有均布压力q作用时，如何用量纲分析方法假设应力的函数形式？2、试考虑在下图中，o点有外力偶M作用时，如何用量纲分析方法假设应力的函数形式？（答案：）（答案：）第四章 平面问题的极坐标解答4、试导出图4-9中，F为水平力( )时的应力解答。M第四章 平面问题的极坐标解答4410 10 半平面体在边界半平面体在边界 上受分布力上受分布力当半平面体表面有分布荷载作用时，其应力和位移解答可从集中力的解答得出。第四章 平面问题的极坐标解答F（原集中力）代之为微分集中力x（原表示F作用点到M的铅直距离）仍为x;y（原表示F作用点到M的水平距离）应代之为应力（式（4-24）的推广：然后对积分，从。第四章 平面问题的极坐标解答（原M点到F作用点的水平距离）代之为s（原B点到F作用点的水平距离）代之为然后对积分，从 相对沉陷解答 的推广：F （原集中力）代之为第四章 平面问题的极坐标解答半平面体在边界上受有均布单位力作用均布单位力作用第四章 平面问题的极坐标解答书中用上述方法，导出了基础梁计算中的公式。如点K在均布力之外，则沉陷为若基点B取得很远，有其中：第四章 平面问题的极坐标解答1例题2例题3例题4例题5例题6例题7例题9例题10 例题8例题第四章 平面问题的极坐标解答例题1（习题4-8）试考察应力函数能解决图中所示弹性体的何种受力问题？yxaa0第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答解：本题应按逆解法求解。首先校核相容方程，是满足的。然后，代入应力公式（4-5），求出应力分量：第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答再求出边界上的面力：读者可由此画出边界上的面力分布。第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数求解应力分量。例题2（习题4-9）第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答解：首先检验，已满足。由求应力，代入应力公式得第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答再考察边界条件。注意本题有两个面,即，分别为面。在面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有代入公式，得应力解答，第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求应力分量。第四章例题例题3（习题4-18）第四章 平面问题的极坐标解答（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形式组合。解：应用半逆解法求解。第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答（2）应比应力的长度量纲高二次幂，可假设。删去因子，得一个关于的常微分方程。令其解为，代入上式，可得到一个关于的特征方程，第四章例题（3）将代入相容方程，得第四章 平面问题的极坐标解答其解为于是得的四个解；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得本题中结构对称于的轴，而是反对称荷载，因此，应力应反对称于轴，为的奇函数，从而得第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答（5）考察边界条件。由于原点o有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件。在的边界上，有第四章例题（4）由求得应力分量，第四章 平面问题的极坐标解答为了考虑原点o附近有集中力偶的作用，取出以o为中心，为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件，前一式自然满足，而第二式成为第四章例题(a)第四章 平面问题的极坐标解答上式中前两式自然满足，而第三式成为再由式（a）得出代入应力公式，得最后的应力解答，第四章例题(b)第四章 平面问题的极坐标解答设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下的应力函数求解，第四章例题例题4（习题4-19）xy0F第四章 平面问题的极坐标解答（1）经校核，上述满足相容方程。解：（2）代入应力公式，得第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答（3）考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在内的、半径为的脱离体，列出其三个平衡条件：第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出第四章例题(a)第四章 平面问题的极坐标解答 （4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答由物理方程求出应变分量，第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答代入几何方程，得由前两式积分，得第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答将代入第三式，并分开变量，得第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答为了使上式在区域内任意的都成立，两边都必须等于同一常数G。这样，得到两个常微分方程，由式（b）解出第四章例题(b)第四章 平面问题的极坐标解答将式（c）对求导一次，再求出再将上式的代入，得显然，式（d）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须第四章例题(d)(e)第四章 平面问题的极坐标解答将式（a）代入上式，得将式（a）、（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答：第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答试由书中式（4-21）的解答，导出半平面体（平面应力问题）在边界上受一水平集中力F作用下的应力和位移的解答。第四章例题例题5第四章 平面问题的极坐标解答解：由书中式（4-21），当时，用直角坐标系的应力分量表示，第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答以下来求位移解答。将应力代入物理方程得应变分量，再代入几何方程，分别积分求出位移分量：第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答两边对积分，得得由几何方程第一式，由几何方程第二式，第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答再将式（a）和（b）代入几何方程的第三式，分开变量后，两边分别为的函数，各应等于同一常数G，即两边对积分，得第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答于是得两个常微分方程。式（c）中的前一式为对式（c）的后一式再求一次导数，得第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答将和代入的表达式；并由式（c）得第四章例题得解为第四章 平面问题的极坐标解答代入后，得出位移的解答如下，第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答由反对称条件，当时，而另两个刚体位移分量H和K，因未有约束条件不能求出。代入，得最后的位移解，第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答水平位移是在半平面体的左半表面，铅直沉陷是取B点为参考点，则M点的相对水平位移是第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答圆盘的直径为d，在一直径AB的两端点受到一对大小相同，方向相反的集中力F的作用，试求其应力。第四章例题例题6第四章 平面问题的极坐标解答解：本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得出。（a）假设GH以下为半平面体，在A点的F作用下，引用书中式（4-22）之解，第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答（b）假设IJ以上为半平面体，在B点的F作用下，类似地得出（c）对于圆周上的点M，分别作用且，并有显然，在圆周上有第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答因此，圆盘在对径受压时，其应力解是(a),(b),(c)三部分解答之和。两者合成为圆周上的法向分布压力为了消除圆周上的分布压力，应在圆周上施加分布拉力其对应的应力分量为第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答由于最大压应力发生在圆盘的中心，得到CD线上的应力分量第四章例题现在来计算水平直径CD线上的值。对于N点，设则有第四章 平面问题的极坐标解答读者试求出CD线和AB线上的水平正应力值，并证明在中心线AB上，为常量的拉应力。AB线上的常量拉应力，便是劈裂试验的参考解答。第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答 图示的曲杆，其截面为狭矩形，内外半径分别为r和R，在两端受有力矩M的作用，试求其应力。第四章例题例题7第四章 平面问题的极坐标解答解：本题中每一个截面上，内力都是M，因而也属于轴对称问题，可以引用轴对称应力解：第四章 平面问题的极坐标解答在主要边界上，边界条件是由于，后两式自然满足，而其余两式为在两端部，或者任一截面上，有边界条件第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答上式中第一式自然满足。对于后两式，注意有积分式得到第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答注意式(c)实际上是式(a)和(b)的组合。由式(a)、(b)、(d)解出第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答其中曲杆中的应力分量为第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答例题8图示的三角形悬臂梁，在上边界受到均布压力q的作用，试用下列应力的函数求出其应力分量。第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答解：应力函数应满足相容方程和边界条件，从中可解出常数第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答得出的应力解答是第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答在截面 mn 上，正应力和切应力为第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答例题9图中所示的半平面体，在的边界上受到均布压力q的作用，也可以应用下列用极坐标表示的应力函数进行求解，试求其应力分量。第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答解：将上述的应力函数代入相容方程，并校核边界条件，若两者均满足，就可以求出应力分量。第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答本题的应力分量用极坐标表示的解答为第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答图中所示的半平面体，在的边界上受到均布切力q的作用，也可以应用下列用极坐标表示的应力函数进行求解，试求其应力分量。第四章例题例题10第四章 平面问题的极坐标解答解：校核相容方程和边界条件，若上述应力函数均能满足，就可以求出应力分量。第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答本题的应力解答是第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答4-1 参见4-1，4-2。4-2 参见图4-3。4-3 采用按位移求解的方法，可设 代入几何方程得形变分量，然后再代入物理方程得出用位移表示的应力分量。将此应力公式代入平衡微分方程，其中第二式自然满足，而由第一式得出求 的基本方程。 习题的提示和答案第四章习题的提示和答案第四章 平面问题的极坐标解答4-4按应力求解的方法，是取应力为基本未知函数。在轴对称情况下， ，只有 为基本未知函数，且它们仅为 的函数。求解应力的基本方程是：(1)平衡微分方程(其中第二式自然满足)，(2)相容方程。习题的提示和答案第四章 平面问题的极坐标解答相容方程可以这样导出：从几何方程中消去位移，得再将形变通过物理方程用应力表示，得到用应力表示的相容方程。习题的提示和答案第四章 平面问题的极坐标解答4-5参见4-3。4-6参见4-3。4-7参见4-7。4-8见例题1。4-9见例题2。4-10见答案。4-11由应力求出位移，再考虑边界上的约束条件。习题的提示和答案第四章 平面问题的极坐标解答4-12见提示。4-13内外半径的改变分别为 两者之差为圆筒厚度的改变。4-14为位移边界条件。4-15求出两个主应力后，再应用单向应力场下圆孔的解答。4-16求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。第四章习题的提示和答案第四章 平面问题的极坐标解答4-17求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。4-18见例题3。4-19见例题4。习题的提示和答案第四章 平面问题的极坐标解答（一）本章的学习重点及要求1、本章建立了在极坐标系中，平面问题的基本方程和按应力求解的方法，并介绍了一批有实用价值的解答。教学参考资料第四章 平面问题的极坐标解答2、对于圆型、环型或由经向线和环向线围成的物体，宜用极坐标求解。因为用极坐标表示这些物体的边界非常简单，从而使边界条件简化，求解方便。教学参考资料第四章 平面问题的极坐标解答教学参考资料3、极坐标是一种最简单的曲线坐标。在 极坐标中，平面内的任一点用经向坐 标和环向坐标 表示。极坐标 和直角坐标(x,y)相比，除了都是正交 坐标系外，两者有下列区别：在直角 坐标系中，x和y的坐标线都是直线， 有固定的方向，x和y的量纲都是长度L。第四章 平面问题的极坐标解答在极坐标中， 坐标线（ =常数）和 坐标线（=常数）在不同的点有不同的方向； 坐标线是直线，而坐标线为圆孤曲线； 的量纲为L，而的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的差异。教学参考资料第四章 平面问题的极坐标解答4、读者应理解和掌握在极坐标系中基本方程的建立和按应力求解的方法，并与直角坐标系中的基本方程进行对比，了解两者的相似之处和不同之处。5、有关常微分方程的一些解答见附录。教学参考资料第四章 平面问题的极坐标解答 （二）本章内容提要（1）平衡微分方程教学参考资料第四章 平面问题的极坐标解答（2）几何方程教学参考资料第四章 平面问题的极坐标解答（3）物理方程（平面应力问题）教学参考资料当物体的边界面为面或面时，位移或应力边界条件都非常简单。第四章 平面问题的极坐标解答2.从直角坐标系到极坐标系的物理量的变换 式变量转换：函数转换：矢量转换：导数转换：一阶导数（二阶和高阶导数可以类推）：教学参考资料第四章 平面问题的极坐标解答拉普拉斯算子教学参考资料第四章 平面问题的极坐标解答应力转换：3.极坐标中按应力函数 求解， 应满足：（1）区域内的相容方程（2）边界上的应力边界条件（假设全部为应力边界条件）。教学参考资料第四章 平面问题的极坐标解答（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。当不记体力时，应力分量的表达式为教学参考资料第四章 平面问题的极坐标解答应力函数：应力：教学参考资料第四章 平面问题的极坐标解答位移（平面应力问题）：教学参考资料第四章 平面问题的极坐标解答 极坐标中满足相容方程 的应力函数 的通解，可以表达如下：教学参考资料 （三）相容方程的通解第四章 平面问题的极坐标解答上式中第一行的前三项代表轴对称的应力分布，第四项代表半平面体受均布法向和切向荷载的应力解答，第五项给出纯剪的解答。第二行中的第一项代表在面上荷载沿为线性分布的解答，其余各项代表一般圆环被径项力弯曲时的解答，综合第二行所有各项，可得无限大板上作用一集中力之解。第四章 平面问题的极坐标解答第三行也可得到相似于第二行的解答，只是力的方向改变了 最后两行代表与 和 成比例的法向力和剪力作用于圆环的内外边界上的解答。 对于整圆环，还须考虑位移的单值条件。