课题：用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解江苏省海安县实验中学 高一数学备课组中学电视台中学电视台“幸运幸运52”录制现场录制现场有奖竞猜有奖竞猜问题情境：问题情境：请同学们猜一猜某物品的价格请同学们猜一猜某物品的价格用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解教学目标教学目标：（1）知识目标：掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借）知识目标：掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借 助计算机或计算器求方程的近似解；理解二分法求方程助计算机或计算器求方程的近似解；理解二分法求方程 近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系；近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系；（2）能力目标：培养学生利用现代信息技术和计算工具的能）能力目标：培养学生利用现代信息技术和计算工具的能 力；培养学生探究问题的能力与合作交流的精神，以及力；培养学生探究问题的能力与合作交流的精神，以及 辩证思维的能力；辩证思维的能力；（3）情感目标：鼓励学生大胆探索，激发学生学习数学的兴）情感目标：鼓励学生大胆探索，激发学生学习数学的兴 趣，培养学生探寻和欣赏数学美，形成正确的数学观。趣，培养学生探寻和欣赏数学美，形成正确的数学观。 教学重点教学重点：用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解教学教学难点难点：二分法求方程近似解的算法二分法求方程近似解的算法四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论 问题问题1.能否求解以下几个方程能否求解以下几个方程 (1) 2x=4-x (2) x2-2x-1=0 (3) x3+3x-1=0问题问题2. 不解方程不解方程,能否求出方程（能否求出方程（2）的近似解？）的近似解？ 指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运用于解另外两个方程。学生活动与讨论学生活动与讨论四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论学生活动：学生活动：可得：方程x2-2x-1=0 一个根x1在区间(2,3)内，另一个根x2在区间(-1,0)内问问题题3不不解解方方程程，如如何何求求方方程程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到的一个正的近似解（精确到0.1）? xy1 203y=x2-2x-1-1 由此可知：借助函数f(x)= x2-2x-1的图象， 我们发现f(2)=-10，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.画出y=x2-2x-1的图象，如图四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论思考：如何进一步思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？有效缩小根所在的区间？学生活动学生活动讨论讨论由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。数离形时少直观，形离数时难入微！数离形时少直观，形离数时难入微！ 四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论2-3+xy1 203y=x2-2x-1-12-3+2.5+2.25-2.375-2-3+2.25-2.5+2.375-2.4375+2-2.5+3+232.52-3+2.5+2.25-22.52.25由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。1简述上述求方程近似解的过程构建数学：x1(2,3) f(2)0x1(2,2.5)f(2)0x1(2.25,2.5) f(2.25)0x1(2.375,2.5) f(2.375)0x1(2.375,2.4375) f(2.375)0f(2.5)=0.250 f(2.25)= -0.43750 f(2.375)= -0.23510通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解! 2.375与2.4375的近似值都是2.4, x12.4四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论解：设f (x)=x2-2x-1，设x1为其正的零点问题问题4能否描述二分法？能否描述二分法？ 对于在区间对于在区间a,b上连续不断，且上连续不断，且f (a)f (b)0的函数的函数y=f (x)，通过不断地把函数通过不断地把函数f(x)的的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点步逼近零点，进而得到零点( (或对应方程的根或对应方程的根) )近似解的方法叫做二分法。近似解的方法叫做二分法。四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论数学建构问题问题5：二分法实质是什么？：二分法实质是什么？ 用二分法求方程的近似解，实质上就是通用二分法求方程的近似解，实质上就是通过过“取中点取中点”的方法，运用的方法，运用“逼近思想逐步缩逼近思想逐步缩小零点所在的区间。小零点所在的区间。 例题：利用计算器，求方程例题：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解的近似解 （精确到（精确到0.1）12xy404y=2xy=4-x1怎样找到它的解所在的区间呢？在同一坐标系内画函数在同一坐标系内画函数y=2x 与与y=4-x的图象，如图：的图象，如图：提问：能否不画图确定根所在的区间？提问：能否不画图确定根所在的区间？得得:方程有一个解方程有一个解x0 (0,4)四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论如果画得很准确，可得如果画得很准确，可得x0 (1,2)数学运用解：设函数f (x)=2x+x-4则f (x)在R上是增函数f (0)= -30 f (x)在(0,2)内有惟一零点， 方程2x+x-4 =0在(0,2)内有惟一解x0。由f (1)= -10得：x0(1,2)由f (1.5)= 0.330, f (1)=-10得：x0(1,1.5)由f (1.25)= -0.370得：x0(1.25,1.5)由f (1.375)= -0.0310得：x0(1.375,1.5)由f (1.4375)= 0.1460, f (1.375)0得：x0(1.375,1.4375) 1.375与1.4375的近似值都是1.4, x01.4四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论归纳总结总结问题问题6：能否给出二分法求解方程：能否给出二分法求解方程f(x)=0(或或 g(x)=h(x)近似解的基本步骤？近似解的基本步骤？ 四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论 1利用（利用（1）图象法；（象法；（2）函数状）函数状态法，法，寻找确找确 定近似解所在的区定近似解所在的区间 ；，验证； 2不断二分解所在的区不断二分解所在的区间，即取区，即取区间的中点的中点3计算计算 ： 若若 若若 若若； 4、判断是否达到、判断是否达到给定的精确度，若达到，定的精确度，若达到，则得出近得出近 似解；若未达到，似解；若未达到，则重复步重复步骤24。 练习练习1： 求方程求方程x3+3x-1=0的一个近似解的一个近似解(精确到精确到 0.01)画y=x3+3x-1的图象比较困难，变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论知识拓展知识拓展 介绍如何利用介绍如何利用excel来来帮助研究方程的近似解？帮助研究方程的近似解？xy10y=1-3xy=x31有惟一解有惟一解x0(0,1)excel四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论练习练习2: 下列函数的图象与下列函数的图象与x轴均有交点轴均有交点,其中不能其中不能用二分法求其零点的是用二分法求其零点的是 （ ）Cxy0xy0xy0xy0问题问题7:根据练习根据练习2，请思考利用二分法求函数，请思考利用二分法求函数 零点的条件是什么？零点的条件是什么？ 1 1、函数函数y=f (x)在在a,b上上连续不断。连续不断。2、 y=f (x)满足满足 f (a)f (b)0，则在则在(a,b)内必有零内必有零点点思考题思考题 从从上上海海到到美美国国旧旧金金山山的的海海底底电电缆缆有有15个个接接点点，现现在在某某接接点点发发生生故故障障，需需及及时时修修理理，为为了了尽尽快快断断定定故故障障发发生生点点，一一般般至至少少需需要要检查几个接点？检查几个接点？四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论123456789 10111213 14 15课堂小结课堂小结1.明明确确二二分分法法是是一一种种求求一一元元方方程程近近似似解解的的常常用用方法。方法。2.二分法求方程的近似解的步骤，以及计算机二分法求方程的近似解的步骤，以及计算机（器）的使用，让我们感受到程序化的方法（器）的使用，让我们感受到程序化的方法即算法的价值。即算法的价值。3.尝试对二分法进行编程，通过计算机来求方尝试对二分法进行编程，通过计算机来求方程的近似解。程的近似解。4.数学来源于生活，又应用于生活。数学来源于生活，又应用于生活。5.本节课充分体现了数学中的四大数学思想，本节课充分体现了数学中的四大数学思想，即：即：以及无限逼近的思想以及无限逼近的思想四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论