s6概论论的基础知识概论论的基础知识6 6s6目录目录第二部分第二部分随机变量及其分布随机变量及其分布第一部分第一部分概率基础知识概率基础知识s6概率基础知识概率基础知识事件事件（一）随机现象（一）随机现象1 1、定义：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。、定义：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。 随机现象的特点：随机现象的特点： 随机现象的结果至少有两个；随机现象的结果至少有两个； 至于哪一个出现，事先人们并不知道。至于哪一个出现，事先人们并不知道。2 2、样本点（抽样单元）：随机现象中的每一个可能结果，称为一个样本点，又称为抽、样本点（抽样单元）：随机现象中的每一个可能结果，称为一个样本点，又称为抽样单元。样单元。3 3、样本空间：随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为、样本空间：随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为（读（读Omega ）。）。认识一个随机现象首要就是能罗列出它的认识一个随机现象首要就是能罗列出它的一切可能发生一切可能发生的基本结果。的基本结果。s6概率基础知识概率基础知识事件事件 例例 一天内进某超市的顾客数一天内进某超市的顾客数: =0,1,2,: =0,1,2, 一顾客在超市购买的商品数一顾客在超市购买的商品数: =0,1,2,: =0,1,2, 一顾客在超市排队等候付款的时间一顾客在超市排队等候付款的时间: =t:t 0: =t:t 0一颗麦穗上长着的麦粒个数一颗麦穗上长着的麦粒个数: =0,1,2,: =0,1,2, 新产品在未来市场的占有率新产品在未来市场的占有率: =0,1: =0,1一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间: =t:t 0: =t:t 0加工机构轴的直径尺寸加工机构轴的直径尺寸: = : = 一罐午餐肉的重量：一罐午餐肉的重量： = G= Gg g s6概率基础知识概率基础知识事件事件（二）随机事件（二）随机事件定义：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用定义：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用 大写字母大写字母A A、B B、C C 等表示。等表示。1 1、随机事件的特征、随机事件的特征任一事件任一事件A A是相应样本空间是相应样本空间中的一个子集；中的一个子集；当当A A中某一样本点发生中某一样本点发生, ,那么事件那么事件A A就发生；就发生；事件事件A A的表示可用集合，也可用语言，但所用的语言应是明确无误的；的表示可用集合，也可用语言，但所用的语言应是明确无误的；任一样本空间都有一个最大子集，这个最大子集就是任一样本空间都有一个最大子集，这个最大子集就是，它对应的事件就是必然事件，它对应的事件就是必然事件，仍用仍用表示；表示；任一样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能任一样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为事件，记为（读作（读作fai）。）。s6概率基础知识概率基础知识事件事件2 2、随机事件之间的关系、随机事件之间的关系包含：包含：【在一个随机现象中有两个事件在一个随机现象中有两个事件A A和和B B，若事件，若事件A A中的任一个样本点必在中的任一个样本点必在B B中，则中，则称称A A被包含在被包含在B B中，或者中，或者B B包含包含A A，记为，记为A B,A B,或者或者B AB A 互不相容：互不相容： 【若事件若事件A A与与B B没有相同样本点，则称事件没有相同样本点，则称事件A A与与B B互不相容。互不相容。】（互斥）（互斥） 两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容。两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容。 A BBAA与B互斥ABs6概率基础知识概率基础知识事件事件相等：相等：【若事件若事件A A与与B B有相同的样本点，则称事件有相同的样本点，则称事件A A与与B B相等，记着相等，记着A=BA=B】 例例 掷骰子：掷骰子：=1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，设事件，设事件A =A =“等于小于等于小于4 4的数的数”=1=1，2 2，3 3，44，事，事件件B =B =“偶数偶数”=2=2，4 4，66，显然，显然A A与与B B有相同的样本点有相同的样本点22，44，但事件，但事件A A与与B B 并不相等。并不相等。可定义为可定义为“若事件若事件A A与与B B有完全相同的样本点，则称事件有完全相同的样本点，则称事件A A与与B B 相等相等”若两个事件相当，他们必定互相包含，即若两个事件相当，他们必定互相包含，即A=BA=B，则有，则有A B A B ，A BA B；反之，若两个事；反之，若两个事件互相包含，则它们相等。件互相包含，则它们相等。s6概率基础知识概率基础知识事件事件（三）事件的运算（三）事件的运算对对立立事事件件（又又称称为为互互逆逆事事件件或或逆逆事事件件）【在在一一个个随随机机想想象象中中，是是样样品品空空间间，A A为为事事件件，由由在在中中而而不不在在A A中中的的样样本本点点组组成成的的事事件件称称为为A A的的（互互逆逆事事件件）。记记为为 （读读非非A A）。】互逆事件A事事件件A A与与B B的的并并（又又称称为为和和事事件件）【由由事事件件A A与与事事件件B B中中所所有有样样本本点点组组成成的的新新事事件件称称为为A A与与B B的的并并，记记为为ABAB或或A+BA+B。并事件意味着事件。并事件意味着事件A A与事件与事件B B至少有一个发生。至少有一个发生。】ABABs6概率基础知识概率基础知识事件事件（三）事件的运算（三）事件的运算事件事件A A与与B B的交（又称为积事件）的交（又称为积事件）【由事件由事件A A与事件与事件B B中公中公共的样本点组成的新事件称为事件共的样本点组成的新事件称为事件A A与与B B的交，记为的交，记为ABAB，简记为简记为ABAB。交事件意味着事件。交事件意味着事件A A与事件与事件B B同时发生。同时发生。】事件事件A A对对B B的差的差【由在事件由在事件A A中而不在事件中而不在事件B B中的样本点中的样本点组成的新事件称为组成的新事件称为A A对对B B的差，记为的差，记为A AB B。】ABABA-BBAs6概率基础知识概率基础知识事件事件事件运算具有如下性质：事件运算具有如下性质：1 1、交换律：、交换律：A A B BB B A A，ABABBABA2 2、结合律：、结合律：(A(A B)B) C CA A (B(B C)C)，(AB)C(AB)CA(BC)A(BC)3 3、分配律：、分配律：(A(A B)CB)C(AC)(AC) (BC)(BC)，(AB)(AB) C C(A(A C)C)(B(B C)C)4 4、对偶律：、对偶律： 以上性质都可推广到多个事件运算中去。以上性质都可推广到多个事件运算中去。s6概率基础知识概率基础知识概率概率（四）概率（四）概率 事件发生可能性大小的度量事件发生可能性大小的度量 一个随机事件一个随机事件A A发生可能性的大小用这个事件的概率发生可能性的大小用这个事件的概率P P（A A）来表示。概率是一个介于）来表示。概率是一个介于0 0到到1 1之间的数。概率越大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就之间的数。概率越大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就愈小。愈小。 特别地，不可能事件的概率为特别地，不可能事件的概率为0 0，必然事件的概率为，必然事件的概率为1 1。即：。即： P() = 0 P() = 1 P() = 0 P() = 1 s6概率基础知识概率基础知识概率概率二、二、概概率的古典定率的古典定义古典古典定义定义用概率的古典定义确定概率方法的要点如下：用概率的古典定义确定概率方法的要点如下：（1 1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有 n n 个样本点；个样本点；（2 2）每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）；）每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）；（3 3）若被考察的事件）若被考察的事件A A含有含有 k k个样本点，则事件个样本点，则事件A A的概率定义为：的概率定义为：s6概率基础知识概率基础知识概率概率乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1n1种方法种方法, ,第二步有第二步有n2n2种方法，则完成这件事种方法，则完成这件事共有共有n1*n2n1*n2种方法。种方法。例如：从例如：从A A城去城去B B城有城有3 3条旅游路线，从条旅游路线，从B B城去城去C C城有城有2 2条旅游路线，那么，从条旅游路线，那么，从A A城经城经B B城到城到C C城有城有3 X 2 = 6 3 X 2 = 6 条旅游路线。条旅游路线。加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1n1种方法，第二种途径有种方法，第二种途径有n2n2种方法，种方法，则完成这件事共有则完成这件事共有n1+n2n1+n2种方法。种方法。例如：从例如：从A A城到城到B B城有三类交通工具，汽车，火车和飞机。汽车有城有三类交通工具，汽车，火车和飞机。汽车有5 5个班次，火车有个班次，火车有3 3个班次，个班次，飞机有飞机有2 2个班次，那么从个班次，那么从A A城到城到B B城共有城共有5+3+2=105+3+2=10个班次供旅游选择。个班次供旅游选择。可以推广到多个步骤和途径事件。可以推广到多个步骤和途径事件。s6概率基础知识概率基础知识概率概率s6概率基础知识概率基础知识概率概率s6概率基础知识概率基础知识概率概率（二）条件概率、概率的乘法法则及事件的独立性（二）条件概率、概率的乘法法则及事件的独立性（1 1）条件概率与概率的乘法法则）条件概率与概率的乘法法则条条件件概概率率要要涉涉及及两两个个事事件件A A与与B B，在在事事件件B B已已发发生生的的条条件件下下，事事件件A A再再发发生生的的概概率率称称为为条条件件概概率，记为率，记为P(A|B)P(A|B)。条件概率的计算公式为：。条件概率的计算公式为：性质性质6 6：（乘法法则）对任意两个随机事件：（乘法法则）对任意两个随机事件A A与与B B，有，有 P P（ABAB）=P(B)P=P(B)P（A|BA|B） P(B) 0P(B) 0 =P(A)P =P(A)P（B|AB|A） P(A) 0P(A) 0 s6概率基础知识概率基础知识概率概率 例例 一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示 从这从这200200个配件中任取一个进行检查，求个配件中任取一个进行检查，求 (1) (1) 取出的一个为正品的概率取出的一个为正品的概率 (2) (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) (4) 如果取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率如果取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率s6概率基础知识概率基础知识概率概率解：设解：设 A A = = 取出的一个为正品取出的一个为正品 B B = = 取出的一个为供应商甲供应的配件取出的一个为供应商甲供应的配件 （1 1） （2 2） （3 3） （4 4）s6概率基础知识概率基础知识概率概率（2 2）独立性与独立事件的概率）独立性与独立事件的概率 设设有有两两个个事事件件A A与与B B，假假如如其其中中一一个个事事件件的的发发生生不不依依赖赖另另一一个个事事件件发发生生与与否否，则则称事件称事件A A与与B B相互独立。相互独立。 性质性质7 7：假如两个事件：假如两个事件A A与与B B相互独立，则相互独立，则A A与与B B同时发生的概率为同时发生的概率为 性性质质8 8：假假如如两两个个事事件件A A与与B B相相互互独独立立，则则在在事事件件B B发发生生的的条条件件下下，事事件件A A发发生生的的条条件件概概率率P(A|B)P(A|B)等于事件等于事件A A的的( (无条件无条件) )概率概率P(A)P(A)。s6随机变量及其分布随机变量随机变量1 1、定定义：用用来来表表示示随随机机现象象结果果的的变量量称称为随随机机变量量。常常用用大大写写字字母母X X、Y Y、Z Z等等表表示示随随机机变量量，而而随随机机变量的量的值用小用小写写字母字母 x x、y y、z z表示表示 。例例如如，在在灯灯泡泡寿寿命命试验中中，令令X X为“灯灯泡泡寿寿命命”( (小小时) )，则X X为一一随随机机变量量。 X500X500，X1000X1000，800X1200800X1200等表示了不同的等表示了不同的随随机事件。机事件。2 2、分、分类：假如一个随机变量仅取数轴上有限假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，则称此随机变量个点或可列个点，则称此随机变量为离散随机变量。为离散随机变量。假如一个随机变量的所有可能取值假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个区间（充满数轴上一个区间（a a，b b），则），则称此随机变量为连续随机变量。称此随机变量为连续随机变量。产品质量特性是表征产品性能的指标，产品性能一般具有随机性，所有质量特性就系一个随机变量s6随机变量及其分布随机变量分布随机变量分布XPs6随机变量及其分布随机变量分布随机变量分布1234561/61/61/61/61/61/6s6随机变量及其分布随机变量分布随机变量分布s6随机变量及其分布随机变量均值和方差的运算性质随机变量均值和方差的运算性质s6随机变量及其分布常用离散分布常用离散分布二项分布二项分布1 1）重）重复复进行行 n n 次次试验；2 2） n n 次次试验间相互相互独独立；立；3 3）每次）每次试验仅有有两个两个可能可能结果；果；4 4）成功的）成功的概概率率为p p，失，失败的的概概率率为1-p1-p； 在上述四在上述四个条个条件下，件下，设x x表示表示n n次次独独立重立重复复试验中成功出中成功出现的次的次数数，则有有概概率密度函率密度函数数为： 这个个分布分布称称为二二项分布，分布，记为b b（n n，p p）。）。 均均值：E(x)=npE(x)=np 方差：方差： Var(x)= np (1-p) Var(x)= np (1-p) s6随机变量及其分布常用离散分布常用离散分布二项分布二项分布s6随机变量及其分布常用离散分布常用离散分布泊松分布泊松分布s6随机变量及其分布常用离散分布常用离散分布超几何分布超几何分布s6随机变量及其分布常用连续分布常用连续分布正态分布正态分布1 1、正、正态分布的分布的概概率密度函率密度函数数它它的的图形是形是对称称的的钟形曲形曲线，常，常称称为正正态曲曲线。正正态分布有分布有两个参数两个参数和和，常，常记为N N（ ，2 2）。）。其中其中为分布的均分布的均值 （ 读作作miumiu） 为分布分布的的标准差准差 s6随机变量及其分布常用连续分布常用连续分布正态分布正态分布0.9357s6随机变量及其分布常用连续分布常用连续分布正态分布正态分布2 2、标准正准正态分布的一些分布的一些运运算公式算公式 P( Ua ) = P(U a ) = (a)P( Ua ) = P(U aP( U a ) = ) = 1-(1-(a a) ) ( - ( - a) a) = = 1-(a)1-(a) P(a U b) = (b) -(a)P(a U b) = (b) -(a) P( |U|a ) = P( -a U a) = (a) -(-a)P( |U|a ) = P( -a U a) = (a) -(-a) = = 2 (a) -12 (a) -1 s6随机变量及其分布常用连续分布常用连续分布正态分布正态分布s6随机变量及其分布常用连续分布常用连续分布正态分布正态分布2 2、标准正准正态分布的分位分布的分位数数一般一般说来来，对任意介于任意介于0 0与与1 1之之间的的实数数，标准正准正态分布分布N N（0 0，1 1）的）的分位分位数数是是这样一一个数个数，它它的左的左侧面面积恰好恰好为，它它的右的右侧面面积恰好恰好为1-1-，用，用概概率的率的语言言来来说， U U的的分位分位数数u u 是是满足下列等式的足下列等式的实数数 P P( ( U U u u ) = ) = s6随机变量及其分布常用连续分布常用连续分布正态分布正态分布s6随机变量及其分布常用连续分布常用连续分布正态分布正态分布2 2、正态分布的标准转化、正态分布的标准转化 某产品的质量特性某产品的质量特性 X N(16, X N(16, 2 2 ) ,) ,若要求若要求P(12 X 20)0.8P(12 X 20)0.8，则，则 最大值应为（最大值应为（ ） A A、u u 0.9 0.9 / 4 B/ 4 B、4 / u 4 / u 0.9 0.9 C C、 u u 0.9 0.9 / 2 D/ 2 D、2 / u 2 / u 0.9 0.9 解：解：s6随机变量及其分布常用连续分布常用连续分布正态分布正态分布2 2、正态分布的标准转化、正态分布的标准转化产品质量特性的不合格品率的计算产品质量特性的不合格品率的计算1 1、质量特性、质量特性 X X 的分布，在受控的情况下，常为正态分布；的分布，在受控的情况下，常为正态分布；2 2、产品的规范限，常包括上规范限、产品的规范限，常包括上规范限T TU U和下规范限和下规范限T TL L。产品质量特性的不合格品率为：产品质量特性的不合格品率为： p p = = p pL L + +p pU Us6随机变量及其分布常用连续分布常用连续分布正态分布正态分布计算上下规格限：USL=70+3=73LSL=70-3=67(1-(2)+(2)+(1-(2)=2-2(2)(2)=2-2(2)查标准正态分布函数表的(2)=0.9772(2)=0.9772s6随机变量及其分布常用连续分布常用连续分布均匀分布均匀分布均均匀匀分布在分布在两两端点端点a,ba,b之之间有一有一个个恒定的恒定的概概率密度函率密度函数数，即在（，即在（a a，b b）上）上概概率密度函率密度函数数是一是一个个常常数数，见下公式。下公式。则称称“在在区区间（a a，b b）上的均）上的均匀匀分布分布”其其均均值、方差、方差为：s6随机变量及其分布常用连续分布常用连续分布均匀分布均匀分布 例例 某公共汽某公共汽车站站从从上午上午7 7时起，每起，每1515分分钟来来一班一班车，即，即 7:007:00，7:157:15，7:307:30，7:45 7:45 等等时刻，如果乘客到刻，如果乘客到达达此站此站时间 X X 是是7:00 7:00 到到 7:30 7:30 之之间的均的均匀随匀随机机变量量, , 试求他候求他候车时间少于少于5 5 分分钟的的概概率。率。解：依解：依题意可知，意可知，X X U (0 ,30)U (0 ,30)，即，即为使候使候车时间 X X 少于少于 5 5 分分钟，乘客必，乘客必须在在7:10 7:10 ，到，到 7:15 7:15 之之间，或在，或在7:25 7:25 到到 7:30 7:30 之之间到到达达车站，站，则：s6随机变量及其分布常用连续分布常用连续分布指数分布指数分布s6随机变量及其分布常用连续分布常用连续分布指数分布指数分布s6随机变量及其分布常用连续分布常用连续分布指数分布指数分布s6随机变量及其分布常用连续分布常用连续分布指数分布指数分布例：例：某某种种热水器首次水器首次发生故障的生故障的时间T T（单位：小位：小时）服）服从从=0.002=0.002的指的指数数分布，分布，则其密度函其密度函数数和分布函和分布函数数为求求该热水器在水器在300500300500小小时内内需要需要维修的修的概概率率：解：解：s6随机变量及其分布中心极限定理中心极限定理