第五章 数 列第一节 数列的概念与简单表示法1 1数列的有关概念数列的有关概念概概 念念 含含 义义 数列数列 按照一定按照一定_排列着的一列数排列着的一列数 数列的项数列的项 数列中的数列中的_数列的通项数列的通项 数列数列aan n 的第的第_项项a an n叫做数列的通项叫做数列的通项 顺序顺序每一个数每一个数n n概概 念念 含含 义义 通项公式通项公式 数列数列aan n 的第的第n n项项a an n与与n n之间的关系能用公式之间的关系能用公式_表达，这个公式叫做数列的通项公表达，这个公式叫做数列的通项公式式 前前n n项和项和 数列数列aan n 中，中，S Sn n=_=_叫做数列的前叫做数列的前n n项和项和 a an n=f(n=f(n) )a a1 1+a+a2 2+ +a+an n2 2数列的表示方法数列的表示方法（1 1）表示方法：）表示方法：列表法列表法 列表格表达列表格表达n n与与_的对应关系的对应关系 图象法图象法 把点把点_画在平面直角坐标系中画在平面直角坐标系中 公式法公式法 通项通项公式公式 把数列的通项使用把数列的通项使用_表达的方法表达的方法 递推递推公式公式 使用初始值使用初始值a a1 1和和a an+1n+1=f(a=f(an n) )或或a a1 1,a,a2 2和和a an+1n+1=f(a=f(an n,a,an-1n-1) )等表达数列的方法等表达数列的方法 a an n(n,a(n,an n) )公式公式（2 2）数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的）数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集或它的有限子表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集或它的有限子集集11，2 2，nn，当自变量由小到大依次取值时所对应的一，当自变量由小到大依次取值时所对应的一列列_（3 3）按照项数对数列分类：）按照项数对数列分类：_数列、数列、_数列数列函数值函数值有穷有穷无穷无穷3 3数列的性质数列的性质单调单调性性 递增数列递增数列 n nN N* *，_递减数列递减数列 n nN N* *，_n n常数列常数列 n nN N* *，_摆动数列摆动数列 从第从第2 2项起，有些项大于它的前一项，项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有些项小于它的前一项的数列 周期性周期性 n nN N* *，存在正整数常数，存在正整数常数k k，a an+kn+ka an n a an+1n+1aan na an+1n+1a|a|an n|(n|(n=1,2,=1,2,）”是是“aan n 为递增数列为递增数列”的的( )( )(A)(A)必要不充分条件必要不充分条件 (B)(B)充分不必要条件充分不必要条件(C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 （2 2）已知数列）已知数列aan n 满足满足a a1 1=0, =0, 则则a a2020= = ( ) ( )【思路点拨【思路点拨】（1 1）根据充要条件的判断方法从正反两个方面）根据充要条件的判断方法从正反两个方面进行判断，条件的不必要性可以通过反例得出，条件的充分性进行判断，条件的不必要性可以通过反例得出，条件的充分性根据绝对值的性质和大于关系的传递性得出根据绝对值的性质和大于关系的传递性得出（2 2）计算数列的前面几项，发现规律）计算数列的前面几项，发现规律【规范解答【规范解答】（1 1）选）选B B方法一：方法一： 由由a an+1n+1|a|an n|(n|(n=1,2,=1,2,）知）知aan n 从第二项起均为正项，从第二项起均为正项，且且a a1 1aa2 2 aan naan+1n+1 |a|an n|(n|(n=1,2,=1,2,），），如如-2-2，-1,0,1,2-1,0,1,2，方法二：方法二：a an+1n+1|a|an n| |（n=1,2,3n=1,2,3，），），若若a a1 100，则，则a an n00（n=1,2,3n=1,2,3，），此时），此时a an+1n+1aan n，数列，数列aan n 是递增数列是递增数列. .若若a a1 10aan n，数列，数列aan n 是递增是递增数列数列. .但是，数列是递增数列，不能得到但是，数列是递增数列，不能得到a an+1n+1|a|an n| |，如，如-3-3，-2-2，1 1，2,32,3，“a an+1n+1|a|an n|(n|(n=1,2,=1,2,) )”是数列是数列aan n 为递增数列的充分不必为递增数列的充分不必要条件要条件（2 2）选）选B B 这个数列是以这个数列是以3 3为周为周期的周期数列，故期的周期数列，故【拓展提升【拓展提升】关于数列的性质关于数列的性质（1 1）数列的单调性与实数区间上函数的单调性是不同的，区）数列的单调性与实数区间上函数的单调性是不同的，区间上函数的单调性必须对区间内的实数满足单调性的定义，而间上函数的单调性必须对区间内的实数满足单调性的定义，而数列的单调性只要求对正整数满足单调性的定义即可，如函数数列的单调性只要求对正整数满足单调性的定义即可，如函数f f（x)=2xx)=2x2 2-5x-5x的单调递增区间是的单调递增区间是 ) )，而通项公式是，而通项公式是a an n= =2n2n2 2-5n-5n的数列的数列aan n 对任意的正整数都满足单调递增的定义对任意的正整数都满足单调递增的定义（2 2）数列的周期性是指存在正整数）数列的周期性是指存在正整数k k（常数），对任意正整数（常数），对任意正整数a an+kn+k=a=an n，在给出递推式关系的数列中可以通过计算数列的一些，在给出递推式关系的数列中可以通过计算数列的一些项的值，探究其周期性项的值，探究其周期性【提醒【提醒】在由特殊得出一般结论的时候，一定要注意特殊中体在由特殊得出一般结论的时候，一定要注意特殊中体现出来的一般规律，为了保证特殊化方法得出的结论具有一般现出来的一般规律，为了保证特殊化方法得出的结论具有一般意义，可以多计算数列中几项的值，加以验证意义，可以多计算数列中几项的值，加以验证. .【变式训练【变式训练】已知数列已知数列aan n 满足：满足：a a4n-34n-3=1,a=1,a4n-14n-1=0,=0,a a2n2n=a=an n,nN,nN* *, ,则则a a2 2 009009=_=_； a a2 2 014014=_=_【解析【解析】由已知得由已知得a a2 2 009009=a=a4 4503-3503-3=1,a=1,a2 2 014014=a=a2 21 1 007007= =a a10071007=a=a4 4252-1252-1=0.=0.填填1 1，0 0答案：答案：1 01 0【创新体验【创新体验】递推数列创新题递推数列创新题 【典例【典例】（20122012新课标全国卷）数列新课标全国卷）数列aan n 满足满足a an+1n+1( (1)1)n na an n 2n2n1 1，则，则aan n 的前的前6060项和为项和为( )( )(A)3 690 (B)3 660 (C)1 845 (D)1 830(A)3 690 (B)3 660 (C)1 845 (D)1 830【思路点拨【思路点拨】【规范解答【规范解答】选选D D当当n=2k-1n=2k-1（kNkN* *) )时，时，a a2k2k-a-a2k-12k-1=2(2k-1)=2(2k-1)-1-1，当当n=2kn=2k（kNkN* *) )时可得时可得a a2k+12k+1+a+a2k2k=2=22k-12k-1，当当n=2k+1n=2k+1（kNkN* *) )时可得时可得a a2k+22k+2-a-a2k+12k+1=2(2k+1)-1=2(2k+1)-1，-得得a a2k+12k+1+a+a2k-12k-1=2=2，所以所以a a1 1+a+a3 3+ +a+a5959=(a=(a1 1+a+a3 3)+(a)+(a5 5+a+a7 7)+)+ +（a a5757+a+a5959) )=2=215=30.15=30.+得：得：a a2k+22k+2+a+a2k2k=8k=8k，所以所以a a2 2+a+a4 4+ +a+a6060=(a=(a2 2+a+a4 4)+(a)+(a6 6+a+a8 8)+)+ +（a a5858+a+a6060) )=8(1+3+=8(1+3+29)=8+29)=8225=1 800.225=1 800.所以所以S S606030+1 80030+1 8001 830.1 830.【思考点评【思考点评】1.1.方法感悟：解题中分方法感悟：解题中分n n为奇数和偶数，得出三组递推式，通为奇数和偶数，得出三组递推式，通过三组递推式之间的关系得出了数列的奇数项和与偶数项和的过三组递推式之间的关系得出了数列的奇数项和与偶数项和的计算方法，把整体求和分解为部分求和计算方法，把整体求和分解为部分求和. .本题是近年来考查的本题是近年来考查的一道难度较大的与递推数列有关的问题，成功解答该题需要有一道难度较大的与递推数列有关的问题，成功解答该题需要有较高的逻辑思维能力以及灵活应用数学思想方法指导解题的能较高的逻辑思维能力以及灵活应用数学思想方法指导解题的能力力2.2.技巧提升：在含有技巧提升：在含有(-1)(-1)n n类的数列问题中，分类的数列问题中，分n n为奇数和偶数，为奇数和偶数，把问题转化为两类分别解决，然后再整合两类问题得出最后的把问题转化为两类分别解决，然后再整合两类问题得出最后的结果，体现了分类与整合思想的应用，这是解决该类试题的一结果，体现了分类与整合思想的应用，这是解决该类试题的一个基本思想方法个基本思想方法1.1.（20122012福建高考）数列福建高考）数列aan n 的通项公式的通项公式 其前其前n n项和为项和为S Sn n，则，则S S2 2 012012等于等于( )( )(A)1 006 (B)2 012 (C)503 (D)0(A)1 006 (B)2 012 (C)503 (D)0【解析【解析】选选A A因为函数因为函数 的周期的周期=(4k-3)=(4k-3)0+(4k-2)0+(4k-2)(-1)+(4k-1)(-1)+(4k-1)0+4k0+4k1 1=2(kN=2(kN* *),),所以数列所以数列aan n 的每相邻四项之和是一个常数的每相邻四项之和是一个常数2 2，所以，所以 故选故选A A2.2.（20132013东北三校联考）东北三校联考）“11”是是“数列数列aan n ，其中，其中a an n=n=n2 2-2n(nN-2n(nN* *) )为递增数列为递增数列”的的( )( )(A)(A)充分不必要条件充分不必要条件(B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充要条件充要条件(D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析【解析】选选A A数列数列aan n 为递增数列，只要为递增数列，只要a a1 1aa2 2aa3 3aan n，根，根据据a an n=n=n2 2-2n(nN-2n(nN* *) )是是n n的二次函数，只要对称轴位于的二次函数，只要对称轴位于左侧就能保证数列是单调递增的，因此只要左侧就能保证数列是单调递增的，因此只要 即可，故是即可，故是充分不必要条件充分不必要条件. .3.(20133.(2013湛江模拟）已知湛江模拟）已知a a1 1=1, =1, 则则a an n=_.=_.【解析【解析】答案答案: :4 4（20132013汕头模拟）已知数列汕头模拟）已知数列aan n 的前四项分别为的前四项分别为1 1，0 0，1 1，0 0，给出下列各式：，给出下列各式：其中可以作为数列其中可以作为数列aan n 的通项公式的有的通项公式的有_._.（填序号）（填序号）【解析【解析】aa1 1=1,a=1,a2 2=0,a=0,a3 3=3,a=3,a4 4=6.=6.答案答案: :1.1.已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=1=1，且，且 (n2,(n2,且且nNnN* *) )，则数列则数列aan n 的通项公式为的通项公式为( )( )【解析【解析】选选B.B.由由 (n2(n2且且nNnN* *) )得，得，3 3n na an n=3=3n-1n-1a an-1n-1+1+1，3 3n-1n-1a an-1n-1=3=3n-2n-2a an-2n-2+1+1，3 32 2a a2 2=3a=3a1 1+1.+1.相加得相加得3 3n na an n=n+2,=n+2,2 2已知数列已知数列aan n 的首项的首项a a1 1=13=13，a a2 2=56=56，a an+2n+2=a=an+1n+1-a-an n，则，则a a2 2 014014=( )=( )(A)43 (B)-43 (C)13 (D)-13(A)43 (B)-43 (C)13 (D)-13【解析【解析】选选D Da an+3n+3=a=an+2n+2-a-an+1n+1=(a=(an+1n+1-a-an n)-a)-an+1n+1=-a=-an n，a an+6n+6=a=an n.a.a2 2 014014=a=a6 6335+4335+4=a=a4 4，而，而a a3 3=a=a2 2-a-a1 1=43=43，a a4 4=a=a3 3-a-a2 2=43-56=-13=43-56=-133.3.对于正项数列对于正项数列aan n ，定义，定义 为为aan n 的的“光阴光阴”值，现知某数列的值，现知某数列的“光阴光阴”值为值为 则数则数列列aan n 的通项公式为的通项公式为_【解析【解析】由由 可得可得a a1 1+2a+2a2 2+3a+3a3 3+ +na+nan n= = ，当当n2n2时，时，a a1 1+2a+2a2 2+3a+3a3 3+ + +（n-1)an-1)an-1n-1得得所以所以又又n=1n=1时时, ,由由可得可得 也适合上式，也适合上式，所以数列所以数列aan n 的通项公式为的通项公式为答案：答案：