数数论基基础nA.1 素数与互素nA.2 同余与模运算nA.3 欧拉定理nA.4 几个有用的算法授课内容A.1 素数与互素1 整除定定义1.1 设 a,b为整数，整数，a0. 若有一整数若有一整数q, 使得使得 b = aq, 则称称 a是是b的因数的因数,b是是a的倍数的倍数; 并称并称a整除整除b, 记为a|b, 可形式地可形式地表示表示为: a|b:=( q)(b=aq)n若a不能整除b，记为ab.n若b=aq,而a既非正负b又非正负1,则称a是b的真因数.1 整除n关于整除，显然有下列定理：定理定理1.1 对所有所有a, 1|a. 对所有所有a, a|0. 对所有所有 a, a|a. 若若a|b且且b|c, 则a|c. 若若a|b, 则对任意的任意的c0, 有有ac|bc. 若若ac|bc且且c0, 则a|b.1 整除若若 a | b且且a|c,则对任意的任意的 m,n,有有 a|(bm+cn).若若a|b, 则b=0或或|a|b|,其中其中|a|是是a的的绝对值.若若a|b, 则(-a)|b, a|(-b),(-a)|(-b), |a|b|.2素数和合数n在正整数中, 1只能被它本身整除. 任何大于1的整数都至少能被1和它本身整除定定义2.1 一个大于一个大于1且只能被且只能被1和它本身整和它本身整除的整数除的整数, 称称为素数素数; 否否则, 称称为合数合数.n由该定义可知，正整数集合可分三类: 素数、合数和1.n素数常用p或p1, p2,来表示.2 素数和合数定定义2.2 若正整数若正整数a有一因数有一因数b,而而b又是素又是素数数,则称称b为a的的素因数素因数 n例:12=34, 其中3是12的素因数, 而4则不是.n素数有多少？公元前三世纪, 古希腊数学家欧几里德Euclid就证明了素数有无穷多个.2 素数和合数 素数的一些基本结论：n素数有无穷多个n素数的整除性n素数定理n算术基本定理：有限分解和唯一分解3 最大公因数和最小公倍数定定义3.1 设al,a2,an和和d都是正整数都是正整数, n2. 若若d|ai, 1in, 则称称d是是al,a2,an.的公因数的公因数.n在公因数中最大的那一个数, 称为al,a2,an的最大公因数, 记为gcdal,a2,an. (greatest common divisor)或者(al,a2,an).n若gcd(al,a2,an)=1, 称al,a2,an是互素的.3 最大公因数和最小公倍数n在互素的正整数中, 不一定有素数. 例如(25,36)=1, 但25和36都不是素数而是合数.n在个数不少于3个的互素正整数中, 不一定是每二个正整数都是互素的.例: (6,10,15)= 1, 但(6,10)=2, (6,15)=3, (10,15)=5.3 最大公因数和最小公倍数 最大公因子有下列性质：n任何不全为0的两个整数的最大公因子存在且唯一n设整数a与b不全为0，则存在整数x和y，使得ax+by=gcd(a,b)。特别地，如果a、b互素，则有ax+by=1n若若gcd(a,b)=d, 则gcd (a|d, b|d)=1n若若gcd(a,x)=gcd(b,x)=1,那么那么gcd(ab,x)=1n若c|(ab),gcd(b,c)=1,则c|a3 最大公因数和最小公倍数定定义3.2 设a1,a2,an和和m都是正整数都是正整数, n2. 若若ai|m, 1in, 则称称m是是a1,a2,an的公倍数的公倍数.n在a1,a2,an所有公倍数中最小的那一个, 称为a1,a2,an的最小公倍数, 记为lcma1,a2,an(least common multipler)或者a1,a2,an.A.2 同余与模运算n同余是数论中一个基本概念, 它的引人简化了数论中的许多问题n同余的很多性质和“等于”很类似1 带余除法若若a,b是二个正整数是二个正整数,b0, 则唯一存在二个唯一存在二个整数整数k和和r, 使得下式成立使得下式成立: a=bk+r, 0r1，如果存在bZ使得a+b0(modn)，则称a、b为互为模n的加法逆元，也称负元，记为b-a(modn)n乘法逆元：设a,nZ且n1，如果存在bZ使得ab1(modn)，则称a、b为互为模n的乘法逆元，记为ba-1(modn)n逆元的存在性n加法逆元总存在，例如n-an乘法逆元存在的充要条件是a与n互素时A.3 欧拉定理1 欧拉函数n对于正整数n，(n)定义为小于n且与n互质的正整数的个数。n例如(6) = 2，这是因为小于6且与6互质的数有1和5共两个数n再如(7) = 6，这是因为互质数有1，2，3，4，5，6共6个。n如果n为素数，则(n)=n-1n如果gcd(m,n)=1，则(mn)= (m)(n)2 欧拉定理欧拉定理n费尔马定理（欧拉定理实际上是费尔马定理的推广） 如果p是素数，则对任意的a，有 2 欧拉定理欧拉定理n如果p不是素数，则对任意的a，有 p1,p2,pk是p的所有素数因子 n例如，n5(6) mod 6 = 52 mod 6= 25 mod 6 =1， n3(7) mod 7 = 36 mod 7= 729 mod 7 =1，n也就是说，在对n求余的运算下， (n)指数具有周期性。