对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式. 一、含参变量正常积分的定义一、含参变量正常积分的定义 四、含参变量正常积分的可积性四、含参变量正常积分的可积性 三、含参变量正常积分的可微性三、含参变量正常积分的可微性 二、含参变量正常积分的连续性二、含参变量正常积分的连续性 一、含参量正常积分的定义一、含参量正常积分的定义设设是定义在矩形区域是定义在矩形区域上的上的 定义在定义在上以上以 x 为自变量的一元函数为自变量的一元函数. 倘若这时倘若这时 在在上可积上可积, 则其积分值则其积分值 是定义在是定义在 上的函数上的函数.一般地一般地, 设设 为定义在区域为定义在区域二元函数二元函数. .当当 y 取取上的定值时上的定值时, ,函数函数 是是上的二元函数上的二元函数, 其中其中c (x), d (x)为定义在为定义在上的连上的连续函数续函数( (图图1),1), 若对于若对于上每一固定的上每一固定的 x 值值, 作为作为 y 的函的函 图图图图1 1 含参变量的积分示意图含参变量的积分示意图含参变量的积分示意图含参变量的积分示意图 y y = = c c( (x x) )y y = = d d( (x x) )x x数在闭区间数在闭区间 上可积上可积, 则其积分值则其积分值 是定义在是定义在 上的函数上的函数.用积分形式用积分形式 (1) 和和 (2) 所定义的这函数所定义的这函数 与与分分别别称称为为定定义义在在c, d与与a, b 上的含参变量上的含参变量 y 与与 x 的的( (正常正常) )积积分分, , 或或简简称称为为含参含参含参含参变变变变量的量的量的量的积积积积分分分分. . 定理定理定理定理1 1 () 若二元函数若二元函数在矩在矩 形区域形区域 上连续上连续, 则函数则函数在在 c , d 上连续上连续.证证证证 设设 对充分小的对充分小的( (若若 y 为区间的端点为区间的端点, , 则仅考虑则仅考虑 ) ), 于是于是 二、含参变量正常积分的连续性二、含参变量正常积分的连续性 由于由于 在有界闭区域在有界闭区域 R上连续上连续, 从而一致连续从而一致连续, 即对任意即对任意总存在总存在对对R内任意两点内任意两点 只要只要就有就有 所以所以,即即 I (y) 在在 上连续上连续.同理可证同理可证: : 若若在矩形区域在矩形区域 R上连续上连续, ,则含参则含参 量量 的积分的积分 在在a ,b 上连续上连续. .注注注注1 1 对于定理对于定理1 的结论也可以写成如下的形式的结论也可以写成如下的形式: 若若在矩形区域在矩形区域 R 上连续上连续, ,则对任何则对任何 都有都有 这个结论表明这个结论表明, ,定义在矩形区域上的连续函数定义在矩形区域上的连续函数, ,其极其极限运算与限运算与积积分运算的分运算的顺顺顺顺序是可以交序是可以交序是可以交序是可以交换换换换的的的的. . . .为为任意区任意区间间(开的、开的、闭闭的、半开半的、半开半闭闭的、有限或的、有限或注注注注2 2 由于连续性是局部性质由于连续性是局部性质, 定理定理1 中条件中条件无限的无限的). . 定理定理定理定理2 2 若二元函数若二元函数在区在区 域域上连续上连续, 其其 中中c(x), d(x)为为 上的连续函数上的连续函数, 则函数则函数 在在上上连续连续( (教材上的定理教材上的定理教材上的定理教材上的定理3).3).证证证证 ( (与与与与教材证明方法不同教材证明方法不同教材证明方法不同教材证明方法不同) ) 令令 当当 y 在在c(x)与与d(x)之间取值时之间取值时, t 在在 0, 1 上取值上取值, 且且 所以所以由于被积函数由于被积函数 在矩形区域在矩形区域 上连续上连续, , 由定理由定理1 得函数得函数 F(x) 在在a, b连续连续. 定理定理定理定理 3 3 () 若函数若函数 与其偏导与其偏导 数数都在矩形区域都在矩形区域 上连续上连续, , 则函数则函数 在在上可微上可微, 且且三、含参变量正常积分的可微性三、含参变量正常积分的可微性 证证证证 对于对于 内任意一点内任意一点 y, 设设(若若 y 为为 区区间间的端点的端点, 则讨论单侧则讨论单侧函数函数), 则则 由微分学的由微分学的Lagrange中中值值定理，得定理，得 再由再由的的连续连续性及定理性及定理1，令，令上连续上连续, a(y), b(y)为定义在为定义在上上 定理定理定理定理4 4其值含于其值含于 a, b内的可微函数内的可微函数, 则函数则函数在在上可微上可微, 且且证明证明证明证明 ( (比教材证明方法简单直观比教材证明方法简单直观比教材证明方法简单直观比教材证明方法简单直观) )把把 F(y) 看作复合函数看作复合函数: 由复合函数求导法则及变动上限积分的性质由复合函数求导法则及变动上限积分的性质, 有有 例例例例1 1解解解解 由定理由定理由定理由定理4 4 4 4，得，得，得，得例例例例2 2解解解解 本题直接积分较困难，故采用本题直接积分较困难，故采用“ “先导后积先导后积先导后积先导后积” ”法法注注注注1 1 有时当被积函数含有对数函数，用有时当被积函数含有对数函数，用“凑微分凑微分”、“分部积分分部积分”等常规方法求解较困难时，注等常规方法求解较困难时，注意到对数函数的导数是有理函数，便于积分，故意到对数函数的导数是有理函数，便于积分，故采用采用“ “先导后积先导后积先导后积先导后积” ”法，是求积分的高级方法法，是求积分的高级方法.注注注注2 2 有时积分中无参数，为了计算积分，可以恰有时积分中无参数，为了计算积分，可以恰当地当地“ “嵌入嵌入嵌入嵌入” ”参数参数.* * * *例例例例3 3 计算积分计算积分解解解解 令令上满足定理上满足定理3 的条件的条件, 于是于是 因为因为显然显然 且函数且函数 在在【武汉大学武汉大学 19841984】所以所以因而因而 另一方面另一方面 所以所以 注注注注 本题也可令本题也可令x = tan，直接积分求出直接积分求出.四、含参变量正常积分的可积性四、含参变量正常积分的可积性 在区域在区域 a, b；c, d上连续，由定理上连续，由定理 1定理定理定理定理5 5若若在矩形区域在矩形区域 上连续上连续, ,则则证证证证 记记 其中其中对于对于 则有则有因为因为 与与都在都在D上连续上连续, 由由 定理定理 3, 故得故得 因此对一切因此对一切 有有 当当 时时, 即得即得取取 就得到所要证明的结论就得到所要证明的结论.为书写简便起见为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作今后将上述两个积分写作 与与 前者表示前者表示先对先对 y 求积然后对求积然后对 x 求积求积, 后者则后者则表示求表示求积顺积顺序相反序相反. 它它们统们统称称为为累次积分累次积分累次积分累次积分. .在在连续连续, 则累次积分与求积分顺序无关，即则累次积分与求积分顺序无关，即定理定理定理定理6 6则则 例例例例4 4* * * * 求求解解解解 因为因为又由于函数又由于函数上满足定理上满足定理6 的的 条件条件, 所以交换积分顺序得到所以交换积分顺序得到作作 业业 布布 置置:249250: 2; 5(1),(2); 6.