4.3.3 4.3.3 余角和补角余角和补角授课教师： 汕头市东厦中学 李佩琼角的特殊关系角的特殊关系如图，一只蚂蚁从如图，一只蚂蚁从O O点出发，点出发，沿北偏东沿北偏东4545的方向爬行，的方向爬行，碰到障碍物（记作碰到障碍物（记作B B点）后又点）后又折向北偏西折向北偏西6060的方向又爬的方向又爬行到达行到达C C点。求出点。求出DBCDBC的度的度数。数。情景问题观察思考如果点如果点O O固定，用手牵住点固定，用手牵住点B B，让让AOBAOB绕点绕点O O转动，转动过程中转动，转动过程中11与与3 3关系如何？关系如何？为什么？为什么？解：相等。解：相等。1290 32901232 2213同角的余角相等探究：同角的补角相等吗？同角的补角相等吗？让图形让图形“动动”起来，在转动过程中，起来，在转动过程中，11与与33保持保持相等相等同角的补角相等同角的补角相等同角的余角相等同角的余角相等思考把把“同一个角同一个角”的条件改为的条件改为“两个相等的角两个相等的角”，那么它们的余角相等吗？那么它们的余角相等吗？如图，如图，11与与22互余，互余，33与与44互余，如果互余，如果1133，那么那么22与与44相等吗？为什么？相等吗？为什么？解：相等。解：相等。11229090 3 34490901122334411332244可见，相等的角的余角相等，即可见，相等的角的余角相等，即“等角的余角相等等角的余角相等”。补角呢？补角呢？如图，如图，11与与22互补，互补，33与与44互补，互补，如果如果11=3=3，那么，那么22与与44相等吗？相等吗？为什么？为什么？n等角的余角相等等角的余角相等n等角的补角相等等角的补角相等探究归纳同角的余角相等同角的余角相等同角的补角相等同角的补角相等等角的余角相等等角的余角相等等角的补角相等等角的补角相等等角的余角相等等角的余角相等等角的补角相等等角的补角相等练习1.1.如果如果A A、O O、B B在同一直线上，在同一直线上，EOC=DOB=90EOC=DOB=90则相等的角：则相等的角： 互余的角：互余的角： 互补的角：互补的角： AOD=BOD=EOC,EOD=BOC,AOE=DOC AOE与与EOD,AOE与与BOC，DOC与与EOD，DOC与与COB AOE与与EOB,AOD与与BOD,COB与与AOC 解：由折叠可知，解：由折叠可知，2.2.将纸折过去，使角的顶点将纸折过去，使角的顶点A A落在落在AA处，处，BCBC为折痕，再将为折痕，再将BEBE边折上去与边折上去与ABAB重合，重合，折痕为折痕为BDBD，求求CBDCBD的度数。的度数。ABC=ABC,EBD=EBD0ABC=ABC,EBD=EBD0ABC=ABA,EBD=EBEABC=ABA,EBD=EBECBD=CBA+EBDCBD=CBA+EBD=ABA+EBD=ABA+EBD=(ABA+EBE)=(ABA+EBE)= ABE= ABE=180180=90=90CBD=90CBD=90练习方位角北偏东北偏东4545 方位角方位角表示方向的表示方向的角角在平面图上方向为在平面图上方向为“上北，下南，左上北，下南，左 西，右东西，右东”. .通常以正北、正南方向为通常以正北、正南方向为 基准，描述物体运动的方向。基准，描述物体运动的方向。例如：（例如：（1 1）北偏东）北偏东3030 （2 2）南偏西）南偏西5 55 5思考：东北方向指什么呢？思考：东北方向指什么呢？如图，货轮如图，货轮O O在航行过程中，发现灯塔在航行过程中，发现灯塔A A在它的南偏东在它的南偏东6060的方向上。同时，在它的北偏东的方向上。同时，在它的北偏东4040、南偏西、南偏西1010、西北、西北（即北偏西（即北偏西4545）方向上又分别发现了客轮）方向上又分别发现了客轮B B、货轮、货轮C C和和海岛海岛D D方向的射线。方向的射线。例题画法：画法：（1 1）以点）以点O O为顶点，表示正北方向为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画的射线为角的一边，画4040的角，的角，使它的另一边使它的另一边OBOB落在东与北之间，落在东与北之间，射线射线OBOB的方向就是北偏东的方向就是北偏东4040，即，即客轮客轮B B所在方向。所在方向。（2 2）同法可画出射线）同法可画出射线OCOC的方向就的方向就是南偏西是南偏西1010，即货轮，即货轮C C所在的方所在的方向，向，ODOD的方向就是北偏西的方向就是北偏西4545，即，即海岛海岛D D所在的方向。所在的方向。练习1.1.如图，如图，A A地和地和B B地都是海上观测站，从地都是海上观测站，从A A地发现它地发现它的北偏东的北偏东6060方向有一艘船；同时，从方向有一艘船；同时，从B B地发现这地发现这艘船在它的北偏东艘船在它的北偏东3030方向。试在图中确定这艘船方向。试在图中确定这艘船的位置。的位置。3.3.如图，如图，A A、B B两人对看，两人对看，A A发现发现B B在他的北偏东在他的北偏东3030方向上，则方向上，则B B也看到也看到A A在在他的他的 。规律：对看的时候，角度规律：对看的时候，角度大小不变，方向全变。大小不变，方向全变。南偏西南偏西3030方向上方向上 2.2.如图，指出图中射线如图，指出图中射线OAOA、OBOB、OCOC、ODOD、OEOE、OFOF表示的方向。表示的方向。解：解：OAOA：北偏东：北偏东15 15 ； OB OB：南偏东：南偏东3030； OC OC：南偏西：南偏西30 30 ； ODOD：西北方向；：西北方向； OE OE：正西方向：正西方向 ； OF OF：正南方向。：正南方向。如图，一只蚂蚁从如图，一只蚂蚁从O O点出发，点出发，沿北偏东沿北偏东4545的方向爬行，的方向爬行，碰到障碍物（记作碰到障碍物（记作B B点）后又点）后又折向北偏西折向北偏西6060的方向又爬的方向又爬行到达行到达C C点。求出点。求出DBCDBC的度的度数。数。拓展题小结1.1.两种角的特殊关系：互余、互补。两种角的特殊关系：互余、互补。2.2.经常需要运用方程思想和数形结合思想解经常需要运用方程思想和数形结合思想解 决有关互余、互补的问题。决有关互余、互补的问题。3.3.方位角问题要求会画方位角，能看出方位角。方位角问题要求会画方位角，能看出方位角。观察让图形让图形“动动”起来，在转动过程中，起来，在转动过程中，11 33，为什么？，为什么？解：解：1122180180 3 322180180 1 1223322 2 222 1 133可见，同一个角补角相等，即可见，同一个角补角相等，即“同角的补角相等同角的补角相等”。例例：如如图图，11与与22互互补补，33与与44互互补补，如如果果1133，那么，那么22与与44相等吗？为什么？相等吗？为什么？解：相等。解：相等。 1 122180180 3 344180180 1 1223344 1 133 2 244可可见见，相相等等的的角角的的补补角角相相等等，即即“等等角角的的补补角角相相等等”。 巩固练习1.1.一角是一角是585820,20,则这个角的余角是则这个角的余角是 ，补角是补角是 。2.2.一一个个角角的的补补角角加加上上1010后后，等等于于这这个个角角的的余余角角的的3 3倍，则这个角是倍，则这个角是 。3140 12140 40 巩固练习3.3.如如图图，已已知知AOBAOB是是直直角角，直直线线CDCD经经过过顶顶点点O O，若若BODBOD：AOCAOC5 5：2 2，则则AOC=AOC= , , BOD=BOD= . .60 150 巩固练习1.1.一一角角是是585820,20,则则这这个个角角的的余余角角是是 ，补补角角是是 。2.2.一一个个角角的的补补角角加加上上1010后后，等等于于这这个个角角的的余余角角的的3 3倍倍，则这个角是则这个角是 。3.3.如如图图，椅椅子子AOBAOB是是直直角角，直直线线CDCD经经过过顶顶点点O O，若若BODBOD：AOCAOC5 5：2 2，则则AOC=AOC= , BOD=, BOD= . .4.4.如图，将两块三角板的直角顶点重叠如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起在一起. .如果如果114040，那么，那么22 ；如果如果AODAOD145145，则则BOCBOC 。巩固练习4.4.如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起如果如果114040，那么，那么22 ；如果如果BODBOD145145，则则AOCAOC 。40 35