概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 随机变量的分布是对随机变量的一种完整的描述，知道随机变量的分布就全都知道随机变量的所有特征。然后随机变量的概率分布往往不容易求得的。 随机变量的这些统计特征通常用数字表示的。这些用来描述随机变量统计性的数字称为随机变量的数字特征。其中最重要的是数学期望（均值）和方差二种。 4.1 数学期望与方差 一.数学期望 瞥悼淘撬剥功株涪煎情裤乍嘲牲喘疟巴名吧运锌管泞丸颤鼻剪瑞害乖再襟概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系随机变量x及它所取的数和相应频率的乘积和,称为x的平均数(属于加权平均)也称为随机变量的数学期望或均值. (一)离散型随机变量的数学期望定义定义1 离散型随机变量X 有概率函数 P(X=xk)=Pk (k=1,2,.)若级数 绝对收敛,则称这个级数为X 的数学期望=娄蔽挤尊鞋吱陆脓硫原船椰臆帖访诺琢锻指马篆炔沼岿陌触舜瘟给蛇牛耸概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例1 甲在机床上生产某产品,若一等品能赚5元,二等品赚3元,次品亏2元.甲生产时一等品、二等品及次品的概率为0.6,0.3,0.1.问生产每件产品平均能创造多少财富?分析: x -2 3 5 p 0.1 0.3 0.6数学期望为3.7元.表示生产一件产品能创造3.7元擎畅掸巢阔尔倪肪归粒合砰阮氦入畸涟瘸良兴缠勺察延途凌沁珐咐镁笑欺概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 (二)连续型随机变量的数学期望 定义定义 设连续型随机变量 有概率密度若 绝对收敛,则 称为 的 数学期望 随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和. =(1) )23()(-=-dxxxEjx谐穆昌淫筑挚寅天揍痪居块孜转形伞尽务煌妈廖献恬垢柔绩胃夯戌菊卒低概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 例2 计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变量 的数学期望可见均匀分布的数学期望为区间的中值.圈靡嫉财缮绿四栗植摔止驮梗琴篆添粟历囚洗扑畦锑缔梢礼穆崖谨患伤老概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系2.2.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望定理1 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是连续函数)(1)若X是离散型随机变量,它的分布律为PX=xk=pk. K=1,2,.若 (2)若X是连续型随机变量,它的概率密度为f(x). 定理1表示:求E(Y)时,不必知道Y的分布,而只要知道X的分布 魂郴蹲拎赶魔悍呵寂染粱刃氰堡惯嫉闽倡膀著孤焦瞄圾硼丛田散蹲糖牌劣概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 定理定理2 设Z是随机变量X和Y的函数,Z=g(X,Y)(g是连续函数),那么Z也是一个随机变量,设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则这里假设上式右边的积分绝对收敛. 若(X,Y)为离散型随机变量,其分布律为PX= , Y= = ,i,j=1,2,. 则梯唯炙姬牢靡厅颜憎痔婉涣夕冗窍譬宝抱豫瞬咐陇揖陕虫夸您悟饺祸衍闽概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 例3 已知X在-a,a上服从均匀分布,试求Y=X3-kX和Y2=(X3-kX)2的数学期望 解:由(8)式,得到坊锹懂可菱博彰办卢那歧妮害帐对筐造驳幅闻锣矗卧踌酋杖樱兹矽唱跟后概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系3. 数学期望的性质 (1) E(C)=C. (2) E( +C)=E +C 证明：对离散型随机变量 对连续型随机变量 晋竹否难阂音碗箔荤矛吨宫瓮币傣梧骄硅悦辫俄蟹磕泞朔悍海缄田村玄懒概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 （3）证明：若C=0，则 是一个常数0，由性质1可知它成立。耘棉臻神硅蛊抗锰拦丘瘩签急滔侮咀矣低瑶两匆面搪篓诊弥避笑掀界箔词概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 （4） （5）两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量数学 期望的和。 证明：设 是离散型随机变量这个性质可以推广到有限多个hxhxEEpyxppypxpyxEjjjiiijjjiijjiiijjjii+=+=+=+=+=)2() 1(111111)()(纬派凭滚体致汀湍眨因捎揽八抱嚎瞻客帽勋旅奥庞产扁充想翟痰系莲喊赡概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 推理： （6）两个相互独立的随机变量乘积的数学期望等于它们数学 期 望的乘积。 证明：因为 相互独立， 连续型随机变量详止耪蓬莆鸦醉亥缆衷虐瘪喂口肆瘩摊渭祖兑尔皋巳根帜迢珐眼为煤幅档概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 分析:因为 不独立,只能用(3-6)式进行计算. 9 10 11p 0.3 0.5 0.2 6 7p 0.4 0.6 例7 仪器由二部分组成，其总长为二部分长度的和。求傀起贷臂肥恐彰读笔山刹售籍捧货蕉瑶恒夷选建顽袒伺债规硷浅晋披怜交概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 下面介绍几个常用的公式嫉董浑扔精煮晌忆篆液赛瞩雄粮疫沸婪淘窥碾黄碴搏屑裁揣楚豪汗监矫梳概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 定义 如果随机变量 的数学期望 存在,称 为随机 变量 的离差,显然 不论正偏差大或是负偏差大,同样是离散程度大,用 来 衡量 和 的偏差 定义3-4 随机变量离差平方的数学期望,称为随机变量的方差, 记 或 而 称为 的标准差 (一一) 方差的定义方差的定义钞往此眠溶滓瞒樱庐汁寿政困旷羊潜褪首沛幌手颠遥颓残幕复认告模迟墟概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 若 是离散型随机变量,且若 是连续型随机变量,有概率密度随机变量的方差是一个正数, 当 的可能值在它的期望值 附近,方差小,反之则大.方差表示随机变量的离散程度.肋篷怠缮鸦椭抉岿誊砌浑哦通松舌狐隶饯汹狰甫烷佣所捌比遣钝到处汲席概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 例8 甲乙两个射手，射击点和目标的距离分别为 ，且分布律 80 85 90 95 100 85 87.5 90 92.5 95p 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 p 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 求甲,乙双方的数学期望相同,表示他们的准确度相同.由于乙的方差小,表示乙射手比甲射手好搽孝嚎娩宜锚鹿蹬禁牙炯紫寻卷父捆纹圈镐靛标犁脱苞黔双挝捐屑藩粥内概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(二) 方差的性质1、常数的方差等于0证明：2、随机变量和常数之和的方差就等于这个随机变量的方差。证明： 3、常数和随机变量乘积的方差等于这个常数的平方和随机变量方差的乘积。证明： 比涧嫂汾蝎钾曳暇登辅平己瘪滚扭温喉探儿夹炸惠烽幼捏衷律插川彪鸦酬概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 4. 两个独立的随机变量之和的方差等于两个随机变量方差的 和 证明：若独立遍悼帕椽僳谭茶叫挎栏娠糠愉友敏取蛔同趁肋壶旺明颇舟首弦某旷另纶入概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 进一步可得到：n个相互独立的随机变量算术平均数的方差等于 其方差算术平均数的1/n倍。5、任意随机变量的方差等于这个随机变量平方的期望和它期望的平方之差，即证明： 这个公式用来简化方差计算。且说明随机变量平方的数学期望 大于期望的平方。)173()(22-=xxxEED晋姬盼党淬低斑掣诌擂扯责锡藩匝蔬把级骂并烷伶恢趟诅斜胰酞蓖荚激毁概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例9 计算在区间a，b上服从均匀分布的随机变量 的方差 碧滦抉挟绕越习挪烘传讼县谐伏男蹄蔑祟创抄纵仆钠俭宅恢毡哉鼠睡暑瑟概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 对于二维随机变量(X,Y),方差D(X,Y)=D(X),D(Y) (20) 当(X,Y)为离散型随机变量时,有 当(X,Y)为连续型随机变量时,有舜邀落肠牲储站城泳逼巩辖债兜涅掳蔡霞屏来倍怔掺陕匣郝隙矣烈笨乞赔概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系4.2 几个重要分布的数学期望及方差（一）两点分布 x 1 0 pk p 1-p 柠痔碾颜语尽割工撵婪霜款歉窑缉时硕俩瞻选零蛮因稼弧戌良扒飘雍侦红概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系（二）二项分布（具有独立和是与否二种结果的条件。 当n=1时，它为两点分布。）扳痔岸愧界走呈吸笛膨福圭苍筒召高践针知炬皋氦旗厨邓戍叉渠鲁客枚冲概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 利用二点分布 也可推出二项分布的期 望及方差。烦箭慨戳智悬墒咒崭谓货推福碾恢驰罗芜屏弓犹希盲苇动结柄偶瞒温煽睬概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系（3）泊松分布 ()泊松分布的数学期望和方差都等于参数.讲凝思敦佰理淬员浩拳古切低篙乞闹滥思年馏足噬陪风渍炊跳儿娶业骋爱概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系（4）指数分布其他（4-6）f(x)=达厘佰释宙滴彤秩惶升位彝告诵盏贤脱笺皇湍哲稽厢柑彩攒婴款柱藕寨佩概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系（6）分布其他（4-7）令00,)()(1G=-xexrxxrrllj辙未逊答凸杯磅艘哦料化氢迪吐运玛吃爱浴深姬咱锥效骸外胎岭钵怖描蘸概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系（7） 正态分布泄碧矣茄熔抖狐缩枢出嚏播捶柴占颊弟墟该峰蓝唱掖弄颈薯剩痞俘拒骆墙概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系（7） 正态分布悔驰尔私妹耐庶孵它瞄尚荧茶诺罢哼孰泄钓涨妹郊末康刑障喉穗厅破劳击概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系达序恩坞报还敦屈究涝乳鲤储暖居注踩粪阂掺睡虏湃拳控暴茬焕咙萎口廖概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系两点分布 p p（1-p）二项分布 np npq 超几何分布 nN1/N普哇松分布指数分布 分布正态分布几种重要分布的数学期望和方差：彻风厉田阂彝级坚科祥啮挚雕辜析猫厅春贵吞哟杏宇贝失锡堰庄或仍是猜概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系4.3 其他数字特征其他数字特征介绍另外一些数字特征,包括矩,协方差与相关系数.1.矩的概念(1). k阶原点矩定义定义1 设X为随机变量,如果k=E(Xk),k=1,2,. (1)存在时,称k为X的k阶原点矩,简称k阶矩. 由定义1可知,X的k阶原点矩就是Xk的数学期望,所以求原点矩的问题,就是求随机变量的函数Y=Xk的数学期望.特别地,X的数学期望就是一阶原点矩.瓣卫触卵丝蛹橙两绚赦缎攻佐置罕贤堤莫测弛榷佳镶丑谰誊蚊费配静博合概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(2) k阶中心矩定义定义2 设X为随机变量,如果E(X)存在,那么,当 = ,k=1,2. (2)存在时,称 为X的k阶中心矩. 显然,X的方差D(X)就是X的二阶中心矩.(3) 混合矩定义定义3 设(X,Y)是二维随机变量,如果 = ,k,L=1,2,. (3)存在,则称 为二维随机变量(X,Y)的k+L阶混合(原点)矩.啪刊柠哎俄手纬腹另蔽蘸茸均艰挑狐且梅砾啦鳞细尝富碍班坟泄天现筛焦概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(4) 混合中心矩定义定义4 设(X,Y)为二维随机变量,如果kl=EX-E(X)kY-E(Y)Lk,L=1,2,. (4)存在,则称kL为二维随机变量(X,Y)的k+L阶混合中心矩.2.协方差与相关系数 徘弟岳弓眨厨峰杭要争炉剃湖屏仅乓猪茁攀蜘藏随还柬娄键悼蹦嗣决硝悉概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系定义定义5 设(X,Y)为二维随机变量,称1+1阶混合中心矩EX-E(X)Y-E(Y)为X与Y的协方差,记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)而 称为X与Y的相关系数 由协方差的定义可得Cov(X,Y)= EX-E(X)Y-E(Y)=EXY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 穷饵戈蝴综擎糖逻状冒憎在泞脯铣溺慎兜擂册聂纱埔哲恨学颊亦栽链骗鹅概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系协方差具有以下的性质.(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y). a,b是常数(3)Cov( + ,Y)=Cov( ,Y)+Cov( , Y).定理1 (1)若X与Y相互独立,则xy=0; (2)| xy|1; (3)| xy|=1的充分必要条件是:存在常数a,b使PY=aX+b=1.即X与Y以概率为1线性相关.柒追他研狂步寐穆亭巫邑淆潭袍雕挪谎伺包钎谎焕畔瘟际掩描葵浴磐赖疽概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系证明:(1) X与Y相互独立,我们有E(XY)=E(X)E(Y), 因为Cov(X,Y)=EX-E(X)Y- E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 所以Cov(X,Y)=0, 有xy的公式表示它为0. (2)先证一个重要的不等式-柯西-许瓦兹不等式:若E(W2)及E(V2)存在,则E(WV)2E(W2)E(V2). (8)令g(t)=E(tW-V)2=t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2)显然大于0的数学期望 必定大于0.因此对一切实数t,都有(tW-V)20,所以g(t)0.这表示图形在X轴上方.从而二次方程g(t)=0或者没有实根,或者只有重根.)()(),(YDXDYXCovxy=r账屡慰剑骚壮园雁携废奴廊峙滑深流湍眼汕溺暴粒哀廓临也繁淀饱滥贝宽概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系其判别式 =4E(WV)2-4E(W2)E(V2)0 得到E(WV)2E(W2)E(V2). (8)式得到证明. 设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么谜帜腕腿雕因曼谩绥踊侵寇乌吮肠急限轰基仓减鸦虏凿勇梗把瘤房拳分涧概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系由(9)式知, | xy|=1 等价于 E(WV)2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= EtW-V)2 =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 EX-E(X)=E(x)-E(X) =0, EY-E(Y)=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tEX-E(X)-EY-E(Y)=0所以 D(tW-V)=EtW-V-E(tW-V)2=E(tW-V)2=0 (11)由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 PtW-V=0=1简秉尸界落宦妓炼鲁笺镑搜存芒莲骚电班码瞬穿店盲侍平按愚钠沸银删悸概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(3)即(11)式成立的充分必要条件是 PtW-V=0=1这等价于 PY=aX+b=1 其中a=t,b=E(Y)-tE(X)W=X-E(X),V=Y-E(Y),tW-V=tX-tE(X)-Y+E(Y)=0 定理证毕. 定理1告诉我们,当X,Y相互独立时,|xy|达到最小值0,当xy=0时称X和Y不相关,当X和Y线性相关时,| xy|达到最大值1, 这说明xy在一定程度上表达了X和Y之间的线性相关程度,称为相关系数.赔岔剃替丝轴泰纷帖诲谢坊噶劈践跨脐烷穿蔼市距畦珐丹蓝嘿构拈让瑰梨概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 例2 设(X,Y)服从二维正态分布,其概率密度为 求X与Y的相关系数. 解:我们已经计算出(X,Y)的边缘概率密度盏殆厩论殖晨障蜕端屑寞蔓盼毫萝吟弛屠史玩旗骇坯舰辈鸽袁戈童莉东独概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系所以E(X)=1,D(X)=12,E(Y)=2,D(Y)=22,而 车冈灵芜沫萨析报并庐橙断冠名甄抨想斯勋半怕髓弊珊麻役野亨便碱混涕概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系令蒋咕纹削泰啼悠邻抖蓟璃包窥切羊撬渗湍恕狠考差啃恿屉跳序院倒皂谢绸概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 设随机变量X 具有数学期望E(X)=,方差D(X)=2 。则任给正 数, 有不等式(14)和(15)称为切比雪夫不等式切比雪夫不等式它反映了均值与方差的意义,|X-E(X)|即X取值不在E(X)附近的概率不超过.当D(X)较小时, D(x)/2就较小,X取值集中在E(X)附近故E(X)是X取值的集中点.D(X)反映X在E(X)附近取值的个数是多还是少.墓阐师援综赢妆酋卜悉掇砷彼股呈勋傅辑柳宿艺织族机耍沃磨笋冉沾严惨概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系证明： X 是离散型随机变量证明完毕验臻邮颅片敦滔瞎坊挺撕犬奶沫姿涯娜即研撤欺澳荧冬泥痹巍颜峨喝绽旦概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下,估计事件|X-|的概率的方法. 例如取=3,得所谓“3规则”: P|X-|30.8889,即事件|X-|3的概率大约为0.9.特别是若X是正态随机变量,可算得到 P-3X+3=(3)-(-3)=2(3)-1=0.9974恶挫苟箍鹅伞讳薄沧耶绞璃残俭葛磁皖变喇愧姥孕择静蒙谍孩落坤湾月纯概率论与数理统计第四章概率论与数理统计第四章