线性代数线性代数主要内容有：n阶行列式的定义和性质；行列式按行（列）展开的方法；行列式的计算；用克拉默（Cramer）法则求解一类非齐次线性方程组及由此得到的方程个数与未知量个数相等的齐次线性方程组有非零解的必要条件。第1章行列式2阶行列式用于解二元一次联立方程组1.1n 阶阶行列式行列式的定义和性质的定义和性质利用消元法可得：1.1.1 二、三阶行列式二、三阶行列式记作例例1.1 求解二元线性方程组三元一次联立方程组若其解为其中Dj(j=1,2,3)是三阶行列式D1=D2=D3=3阶行列式可以用下列方法记住（称为沙路法）其中M11=,M12=,M13=D=(1.4)D =a11M11a12M12+a13M13=a11A11+a12A12+a13A13.例例1.2 计算三阶行列式解解解解对n(n3)阶行列式,不能用上图所示的沙路法来定义定义定义1.1 由n2个数aij(i,j=1,2,n)组成的n 阶行列式阶行列式是一个算式.其中：aij称为行列式的第i行，第j列的元素; 当n=1时，Da11, 当n2时1.1.2n阶行列式的定义（递归法）D= M1j 称为a1j的余子式，Mij是划去D的第i行第j列后的n1阶行列式A1j =(-1)1+j M1j称为a1j的代数余子式, M1j 称为a1j的余子式，A1j =(-1)1+j M1j称为a1j的代数余子式.n阶行列式是由n2个元素aij(i ,j=1,2,n)构成的n次齐次多项式（称为展开式），二阶行列式的展开式含2！项，三阶行列式的展开式含3！项，n阶行列式的展开式含n！项，其中每项都是不同行，不同列的n个元素的乘积，全部的n！项中带正号的项和带负号的项各占一半。例例1.3 n阶对角行列式，上、下三角行式例例1.4计算Dn=Dn=(1)n1a1 Dn-1=按定义再递推之=(1)n1a1 (1)n2a2 Dn-2=(1)n(n1)/2a1a2an1an1.2 n 阶行列式的性质阶行列式的性质行列式对行和列有相同的对行和列有相同的性质(下面主要用行讲)。性质性质1行列式D的行与列依次互换，则行列式的值不变.性质性质2 行列式对任一行行列式对任一行 (或列或列) 按下式展开，其值相等，即按下式展开，其值相等，即性质3（线性性质）推论：推论：若行列式有一行元素全为零，则行列式的值=0.（k=0）性质性质4若行列式有两行元素相同，则行列式的值=0用归纳法证明：n=2成立。设命题对n-1阶行列式成立，对第i, j行相同的n阶行列式D，对第k（ki, j）行展开,得推论：若行列式有两行元素成比例，则行列式的值=0。性质性质5 将行列式的某一行乘以常数加到另一行(对行列式作倍加行变换),则行列式的值不变。性质性质6若行列式两行对换，行列式的值反号，即证：将左边第j行加到第i行；再将第i行乘(1)加到第j行.于是，将上式第j行加到第i行,再提出第j行的公因子(1)，即得左边=右边.性质性质7行列式某一行元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即证明：把行列式D的第i行换成第j行=0是克罗内克(Kronecker)符号。两式可合写为：同理，对列展开，有计算方法：利用定义或性质。上、下三角行列式均等于其主对角元素的乘积。例1.51.3 n 阶行列式的计算阶行列式的计算解法1解法解法2因为第1行只有2个非0元素，所以对第1行展开，再计算两个3阶行列式（3阶行列式可以化为上三角行列式或用沙路法计算），得例例1.6 计算4阶行列式.第4列化为只有一个非0元素，再对第4列展开得第1列乘2、(1)分别加到第2、3列，对第1行展开，得例例1.7 计算n阶行列式解解对第n列（或第n行）展开定义：(i, j=1,2, n)，则称其为反反对对称行列式，其中称行列式，其中例例1.8 证明:奇数阶（n为奇数）反对称行列式的值为0.证证设利用D= DT,再每行提出一个公因子（1），n是奇数，由D =D,得D=0. 例例1.9 证明把左端行列式的第2,3列加到第一列，提出公因子2。证证法一:将第2,3列加到第一列，提出第2,3列的公因数(1),再作两次列对换把第一列乘(1)加到第2,3列。法二:用性质3，将左式表示成23个行列式之和(n阶可以表示成2n个)，=右式对换2次拆成8个，其中有6个行列式各有两列相等而等于零例1.10计算n阶行列式Dn的每行元素之和均为a+(n1)b，把各列加到第一列，提出公因子a+(n1)b，将第一行乘(1)加到其余各行，化为上三角行列式,解例例1.11 计算n阶行列式把第2，3，n列的元素都加到第1列，再对第1列展开，最后利用下三角行列式的结果，得到例1.12证明n阶范德蒙(Vandermonde)行列式。(ij时， xi xj)证明 用数学归纳法。n=2成立.假设对n-1阶命题成立.从第n行起,依次将前一行乘(x1)加到后一行对第1列展开提出公因子是x2,xn的n1阶范德蒙行列式，由归纳假设得例1.13ABCABkkmm证明：证明：对k 归纳.k=1,对第一行展开假设A为k1阶时命题成立。对k阶A的第一行展开。归纳假设将A和C所在的每一列依次与其前面的m列逐列对换(共对换km次)。使之化为主对角线的形式.例例1.13可以简记为例1.14计算n阶行列式解解第2行与第n行互换，第2列与第n列互换。例例1.15计算n阶三对角行列式解解按Dn的第1行展开，M12再对第1列展开得反复利用递推公式 Dn=Dn1 + n Dn1 =Dn2+ n1 Dn2 =Dn3+n2 D2 =D1 + 22n-2+) D1= + n-1 D1= n1+ n 11.4 克拉默克拉默(Cramer)法则法则 若所有的常数项均为零，称为齐次线性方程组齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组。当m=n时，称为n元线性元线性方程组方程组。满足方程的有序数组是方程组的一个解解。方程组的解的全体称为它的解集合解集合。两个方程组有相同的解集合，就称它们为同解方程组同解方程组。其中称为方程组的系数系数，称为常数项常数项。下标i，j表示它是第i个方程，第j个未知量xj的系数定理1.1：设线性齐次方程组其系数行列式方程组有唯一解,0时，j =1,2,n其中证证：其中Akj 是D中akj 的代数余子式(1)验证满足方程组i =1,2,n交换两个和号的顺序=bi(i=1,2,n)(2)证解唯一(2)证解唯一. 设（c1, c2, , cn）是满足方程组的解。A1j+)A2jAnj若齐次线性方程组其逆否命题是：若方程组有非零，则D=0。的系数行列式D0,则x1=x2=xn=0.即解唯一。定理定理1.2例例1.16 求一个二次多项式f(x)，使得f(1)=0, f(2)=3, f(3)=28.解解设所求多项式为f(x)=ax2+ bx+c. 则以a, b, c为未知量的非齐次线性方程组，其系数行列式有唯一解，计算故f(x)=2x23x+1.*例例1.17 证明：平面上三条不同的直线交于一点的充分必要条件是a+ b+c=0.证证必要性。设所给三条直线交于点（x0, y0）,则（x0, y0，1）是方程组的一个非零解所以，a+ b+c=0.充分性，设a+ b+c=0，得到方程组存在非零解，即三条直线交于一点。*例例1.18 求四个平面ai x+bi y +ci z +di=0 (i=1,2,3,4)相交于一点(x0, y0, z0)的充分必要条件。解 将平面方程写成ai x+bi y +ci z +di t=0 其中 t=1四平面交于一点，即4元(x, y, z，t)的线性方程组有非零解(x0, y0, z0,1)其充分必要条件是：系数行列式第一列乘(1)分别加到第2,3,4列,*例例1.19解：再将第2列加到第4列.本章主要内容有：n阶行列式的定义和性质；行列式按行（列）展开的方法；行列式的计算；用克拉默（Cramer）法则求解一类非齐次线性方程组及由此得到的方程个数与未知量个数相等的齐次线性方程组有非零解的必要条件。第第2章章 矩矩 阵阵2.1 高斯消元法高斯消元法求解n个未知元,m个方程的线性方程组（mn）一般用代入消元法或加减消元法，化为容易求解的同解方程组.由高斯消元法引出矩阵概念,特殊矩阵及其基本性质.重点是矩阵的运算：加法，数量乘法，乘法，转置及其运算性质，还有可逆矩阵的逆矩阵和矩阵的初等变换，最后是分块矩阵及其运算。+（消去x2）得x3=2例例1 1 用加减消元法解三元一次方程组x12x25x322x13x24x3114x17x217x37解解:(2)+;4+（消去x1）得7x214x37x23x31将x3=2代入得x2=5,将它们代入得x1=2。所以原方程组的解为x1=2，x2=5，x3=2。(阶梯形)方程组，,与原方程组是同解方程组。 x12x25x327x214x37 x3=2方程组的系数排成的数表：定义2.1 数数域F F中的mn个数aij(i=1,m; j=1,n）排成 m行n列的数表，称为数域F F上的一个mn 矩阵。简记为(aij)mn，其中aij叫做矩阵第i行，第j列的元素。aij都是零的矩阵称为零矩阵。记作0 0。当m=n时，称为方阵（或n 阶矩阵）。 a11,a22,ann叫做方阵的主对角元，n个未知元m个方程的线性方程组(A,b)=A称为方程组的系数矩阵，（A, b）称为增广矩阵。例例2.2求解线性方程组c :第行乘常数c，+k第行乘k加到第行,第行与第行对换。对增广矩阵（A, b）作：(A, b)=-+(2)+(3)+(1)+(2)-+(2)(1/3)-+-+(2)-代入（*）可解出全部解：x1=1+k17k2, x2=k1, x3=24k2, x4=1+3k2, x5=k2 (k1,k2为任意常数)(行简化阶梯形矩阵)对应的同解方程组（*）三个方程，五个未知数，任取x2 = k1, x5 = k2x =(x1, x2, x3, x4, x5 )T=(1+k17k2, k1, 24k2, 1+3k2, k2 )T。 当方程组中常数项b1=b2=bm=0 时，称为齐次齐次线性方程组，否则叫非齐次非齐次线性方程组。 =(k1 7 k2,k1,4k2,3k2,k2)（k1,k2为任意常数）。 把例2的右边改为零得到的齐次线性方程组的行简化阶梯形矩阵和同解方程组为：x=(x1, x2, x3, x4, x5 )T其中(k1,k2为任意常数)。和其全部解为：方程组的解也可以写成向量形式(称为解向量解向量)组无解(称为不相容方程组)；有解的方程组称为相容方程组。x1x2x3 1x12x25x332x13x24x37例例2.3 判断下列线性方程组是否有解？解：+(1)+(1)+(2)+(1)最后一行表示的方程是0x1 0x2 +0x3 3,显然无解，故原方程高斯消元法在消元过程中，会揭示出多余方程和矛盾方程。三种初等行变换初等行变换:倍乘变换倍乘变换:以非零常数c乘某一行（或某一个方程）倍加变换倍加变换:将某一行乘以常数k加到另一行对换变换对换变换将某两行对换位置.矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，记作A B.阶梯形矩阵阶梯形矩阵是：矩阵A的前r行为非零，其余行全为零，且第i行（i=1,2，, r）的第一个非零元所在的列为ji,满足j1 j2 jr ,行简化阶梯阵行简化阶梯阵是：阶梯形矩阵A中，每一个非零行的第一个非零元均为1，其所在列的其余元素都等于零.一般线性方程组的增广矩阵经消元变换可化为阶梯形矩阵。为便于讨论，不妨设化为行简化阶梯形矩阵：其中cii =1, (i=1,r )。在有解的情况下,：(1)当r=n时，有唯一解：x1=d1, x2 =d2 , xn =dn ;(2)当r n时，有无穷多个解.方程组(*)有解的充要条件是dr+1=0。其余的xr+1, xr+2,xn 取作自由未知量自由未知量。,代入(*)式所对应的方程组即可求得全部解x=(x1, x2, ,xn.)。齐次线性方程组总是有解的齐次线性方程组总是有解的.r=n时，只有零解，即x1=xn=0;当r n时，有无穷多解，求解的方法同上。(*)式中每行第一个非零元cii (i=1,r )所在列对应的未知量x1, x2, ,xr 设为基本未知量;令 xr+1=k1, xr+2=k2, xn=kn-r为任意常数例例2.4 求齐次线性方程组的一般解。解解：A=自由未知量分别取x2=k1，x5=k2,代入同解方程组得到x1= k17k2, x3=-4k2, x4=3k2,一般解为线性方程组的解的基本问题是：有解的条件（对于齐次方程组则是有非零解的条件）以及解的结构。如果齐次线性方程组中mj时, aij=0(in时Ansx=0 必有非零解。推论1.任意s个n维向量，当sn时都线性相关。推论2 n中任意n+1个向量必线性相关，或在n 中线 性无关的向量组最多只能含n个向量。推论3若n维向量1, 2, ,s 线性无关，给i(i=1,2, s)添加m个分量后所得n+m维向量(记作1*, 2*, ,s*)也线性无关。证记(在方程组AX=0的n 个方程下面再添加m 个方程就得到方程组 BX=0。假设BX=0有非零解，那么这组非零解必满足前n个方程，即是AX=0的非零解，得出矛盾。)1, 2, , s 线性无关 AX=0只有零解 BX=0只有零解 1*, 2*, ,s* 线性无关.这个命题的逆否命题是：若1*, 2*, ,s*是线性相关的，将i*(i=1,2, s)的最后m个分量删去后所得的向量组1, 2, , s 也线性相关。例3.3问a 取何值时，1=(1,3,6,2)T,2=(2,1,2,1)T,3=(1,1,a,2)T线性无关？解设x1 1+x2 2+x3 30（1）定理3.4若向量组1, 2, ，r 线性无关,而向量组, 1, 2, ，r 线性相关,则 可由1, 2, ，r 线性表示，且表示法唯一。.证由于向量组, 1, 2, ，r 线性相关，所以存在不全为零的数 , 1, 2 , ,r使得 + 11 + 2 2 + + r r=0其中必不等于零(如果=0,则由1, 2, ，r 线性无关又得1 , 2, , r全为零，与题设矛盾),于是即可由1, 2, , r线性表示，于是，(b1 c1)1 + (b2 c2) 2 +( br cr) r=0则n中任一个向量可由1, 2, , n 线性表示，且表示法唯一。这是因为n 中任何n+1个向量都线性相关。再证表示法唯一：设有两种表示法： = b11 + b22+ +br r = c11 + c22+ +cr r而1, 2, , r线性无关，所以bi = ci (i = 1, 2, r ),故由1, 2, , r 表示是唯一的。推论如果1, 2, , n是n 中线性无关的n个向量,例3.4已知1=(1,1,0),2=(1,2,0),3=(1,0,3)，4=(2,3,6)，问（1）1,2, 3是否线性相关？（2）4可否用1,2, 3线性表示？如能表示，给出表示式。解（1）将1,2, 3设为列向量，作矩阵A=1T, 2 T, 3 T=由于|A|=90，AX=0只有零解，所以1, 2, 3是线性无关。（2）由定理3.4推论得4可用1, 2, 3线性表示且表示法唯一。设x11+ x2 2+ x3 3=4,即x1(1,1,0)+ x2(1,2,0)+ x3 (1,0,3)=(2,3,6)，于是得得到:4= 12+ 2 3.例3.5已知n 中向量组1=(a11,0,0,0)T, 2=(a12,a22,0,0)T, s=(a1s,a2s,ass,0,0)T， 其中ajj0(j=1,2,s).证明：1,2, s线性无关。证法1设x1 1+x2 2+xs s=0，即先解最下面的一个方程，得 xs=0,代入它上面的方程，得xs1=0，如此继续求解，即得xs= xs1=x1=0。所以，1,2, s 线性无关。证法2按所给条件添加上s+1= ( a1s,a2s,as+1,s+1, 0,0)T，, n=(a1n,a2n,ann)T, 其中 ajj0 (j=1,2,n),方程组x11+x22+xnn=0， 即AX=0的系数矩阵的行列式|A|=a11a22 ann0。所以，AX=0只有零解，得知1,2, , s , n线性无关。由定理4.2的等价命题（线性无关向量组的任一部分向量组也线性无关），即得1,2, s 也线性无关。例3.6已知问：解：是否线性无关？(1)思考：由定理3.3，推论3：若向量组1, 2, , r线性无关,对每一个i 各增加m个分量得到的向量组1, 2, , r也线性无关。其逆否命题是什么？（2）同理，由行列式得式（1）只有零解，所以，1，2，3线性无关。3.2 向量组的秩和极大线性无关组3.2.1等价向量组定义3.5若向量组1, 2 , k 中每个向量均可由向量组 1, 2 , s线性表示，则称1, 2 , k可由向量组 1, 2 , s线性表示。如果它们可以互相线性表示，则称它们等价，记作1, 2 , s1, 2 , k 。例如，向量组e1(1,0,0), e2(0,1,0),e3(0,0,1)与 1(1,1,1), 2(1,1,0),3(1,0,0)是等价向量组。又例如1 (1,1), 2 (0,1)和向量组1(1,0), 2(0,0)不是等价向量组。向量组的等价具有以下三条性质：(1)自反性；(2)对称性:若向量组(1)向量组(2)，则向量组(2)向量组(1);(3)传递性:若向量组(1)向量组(2),且向量组(2)向量组(3)，则向量组(1)向量组(3)定理3.5 设向量组1, 2 , t可由另一向量组 1, 2 , s 线性表示。如果 ts, 则 1, 2 , t 线性相关。证:设j=1,t再设x11+x22+xtt=0(交换和号顺序)令i(i =1,2,s)中的系数全为零,即（i =1,s）上式是t 个未知量,s 个方程的齐次线性方程组，由于t s所以方程组有非零解，即有不全为零的数x1,x2, xt 使(3.6)成立，故1,2,，t 线性相关.推论(1)(定理3.5的逆否命题):若1, 2 , t可由1, 2 , s 线性表示，且1, 2, t线性无关,则t s.推论2两个线性无关的等价的向量组，一定包含相同个数的向量。证设向量组1,2,，t与向量组1,2,s等价，因为1,2,，t线性无关，由推论1得ts.同理，s t，所以，t=s，即两个向量组包含相同个数的向量。3中的几何意义：当s=2时，由1,2线性表示的向量1,2,，t (t 2)显然都在1,2所张成的平面上，所以这些向量都是共面的，即1,2,，t 线性相关。3.2.2向量组的极大线性无关组定义3.6向量组1, 2 , ,s 中若存在r 个线性无关的向量且任意r+1个向量都可以由它们线性表示，则称为向量组1, 2 , ,s 的一个极大线性无关组。例如，1(1,0);2(0,1);3(1,2);4(2,1).其中任意两个向量都是线性无关的，所以任意两个向量都是1,2,3,4的一个极大线性无关组。定理3.6向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价；向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的，它们所含的向量个数相等。证不妨设1,2,r （rs） 是 1,2,s一个极大线性无关组.显然，前者 可以被 后者线性表示，因为i =01+0i-1+1i+0i+1+0s,（i=1,r）.又因为j，1,2,r（j=r+1,s）线性相关，由定理3.4可知 j（j=r+1,s）可以被1,2,r线性表示，所以1,2,s 可以被 1,2,r线性表示，即1,2,r 与 1,2,s等价。根据等价关系的自反性和传递性，可知任意两个极大线性无关组都是等价的。再由定理3.5的推论2知它们所含的向量个数相等。定义3.7向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记作秩1, 2 , sr或r1, 2 , sr，例如，1(1,0);2(0,1);3(1,2);4(2,1).秩1, 2 , 3, 42,其中任意两个i, j(i, j=1.2.3.4且ij )都线性无关，任意三个都是线性相关的。(1)若1,2, ,s 线性无关的充要条件是r1,2, ,s= s。3.2.3 向量组的秩向量组的秩若10，r1=1。r0= 0。几个结论（2）等价的向量组有相等的秩，即1, 2 , r 1, 2 , p，则r1, 2 , rr1, 2 , p。逆命题不成立。例如，1(1,0，0);2(0,1,0);3(0,0,1);秩1, 2=秩1, 32.但1, 2和1, 3不是等价向量组.(3)若秩1, 2 , sr,则1, 2 , s中任意 r +1个向量都是线性相关的。因为任意r +1个向量都可经线性无关的r个向量线性表示。(5)若秩1, 2 , sr,则1, 2 , s中任意r个线性无关的向量都是1, 2 , s的一个极大线性无关组。（4）设r1, 2,，t=m,r1, 2 ,s= p,若1, 2,， t可以由1, 2 ,s线性表示，则m p。这是因为1, 2,，t的极大线性无关组可以用1, 2 ,s的极大线性无关组线性表示，由定理3.5推论1得m p。A的n个列(m个行)向量组成的向量组的秩称为A的列秩(行秩)。矩阵A=(aij)mn的每一列(行)称为A的一个列(行)向量。显然，A的列秩n；A的行秩m.3.3.1矩阵的秩3.3 矩阵的秩 相抵标准形 定义3.8设求A的行秩和列秩。例3.7设阶梯形矩阵解把A按行、列分别分块为由x1 1+x2 2+x3 30，即得x1 =x2 =x30，所以，三个行向量1, 2, 3线性无关，而4=0，1, 2, 3，4线性相关，因此A的行秩=3。三个列向量1, 3 , 4线性无关，由于1, 2(成比例)线性相关且任意4个列向量线性相关（据定理3.3推论2，任意4个3维向量都线性相关），可知1, 2,3, 4, 5线性相关（定理3.2），所以A的列秩=3。在阶梯形矩阵中，非零行的行数=A的行秩=A的列秩。方程 y11 + y3 3 + y4 4=0，即得 y4 = y3 = y1 =0.(3)将A的第i行乘常数c 加到第j行得到B，则B的行向量组 1, ,j , m为 j=ci+j ; k=k (kj)。相应地也有j=jci ; k=k (kj)。因此A与B的行向量组可以互相线性表示（等价）。所以A与B的行秩相等。定理3.7对矩阵A做初等行变换化为B，则B的行秩等于A的行秩。 证：只须证明作一次倍乘，倍加和对换行变换，A的行秩不变。设mn 矩阵 A 的 m个行向量为1, 2 , m，(1) 将A的第 i, j行对换得到B, 则 B 与A的行向量组相同（只 是排列顺序不同），故A, B 的行秩相等。(2)将A的第i 行乘非零常数c得到B,则B的行向量组为 1, i-1, ci , i+1, m，它与A的行向量组等价。因此A与B的行秩相等。所以，初等行变换不改变矩阵的行秩。同理，初等列变换不改变矩阵的列秩。定理3.8对矩阵A作初等行变换化为B,则A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性。即有相同的线性相关性。B=PkP2P1A,其中PkP2P1为若干初等矩阵的乘积，记P= PkP2P1(P可逆)则PA=B且Pj =j, j=1,2,s齐次线性方程组A1x=0 与 B1x=0(即PA1x=0）为同解方程组。所以，A1 与 B1的列向量组有相同的线性相关性。就是用若干初等矩阵左乘A，即证：对A做行变换化为B，则向量组1i1 i2 ir s)这个定理给出了求向量组的秩及其极大线性无关组的一个简单而有效的方法。推论：对矩阵A作初等行变换，不改变A的列秩。初等行变换不改变矩阵的行秩和列秩。由定理3.7和定理3.8的推论得3.3.2求向量组的秩和极大线性无关组例3.8求向量组1,2, ,5的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示。其中1=(1,1,0,0), 2=(1,2,1,1) , 3=(0,1,1,1)，4=(1,3,2,1),5=(2,6,4,1)(i为行向量)。解：对A=1T,2T,3T,4T,5T(将i竖排)作初等行变换，将其化为阶梯形矩阵U，即记阶梯形矩阵U=1, 2, 3, 4, 5 . U中每个非零行第一个非零元所在的第1,2,4列线性无关，所以，1, 2, 4 是U的一个极大线性无关组，从而，1T,2T,4T是A的列向量组的一个极大线性无关组。即1,2,4是1，2，3，4，5的一个极大线性无关组。(1)设x11+x22+x44=3，此非齐次方程组的增广矩阵1，2，4,3，用高斯消元法（初等行变换）化为U中的前4列），所以， 31+2。3, 5可以用1, 2, 4线性表示，作法如下：其同解方程组为(2)再设方程组x11+x22+x44=5，从U 中第1，2，4，5列可以得同解方程组经初等行变换，化为简化的阶梯形矩阵，即 3, 5用1, 2, 4线性表示的另一个作法如下：由第4列(1,1,0,0)T得到由第5列(1,2,1,0)T得到求向量组1, 2,s的极大线性无关组的一个方法：将1, 2,s按列排成（不管给出的向量是行向量还是列向量，都按列排）矩阵A.用初等行变换化A为阶梯形矩阵U,则A与U对应的列向量组有相同的线性相关性。如果U有r个非零行，选U中每个非零行第一个非零元所在列的向量，就是U的列向量组的一个极大线性无关组。得到A的列向量组的一个极大线性无关组，且秩(1, 2,s)= r。再将这r列向量排在左边，1, 2,s中的其余向量排在右边得到矩阵B，用初等行变换化B为简化阶梯形矩阵U1,从U1得到其余向量用1, 2,s的极大线性无关组线性表示的表示式。定理3.9初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。定理3.10矩阵A的行秩=A的列秩。证：对A作初等行变换，将其化为阶梯形矩阵U，则A的行秩=U的行秩=U的列秩=A的列秩.定义3.9A的行秩=A的列秩,统称为A的秩，记作秩(A)，或r(A).对n阶矩阵A，r(A)=n时称为满秩矩阵。定理3.11n阶矩阵A，r(A)=n的充要条件是A为非奇异矩阵（即A0）。证：若r(A)=n，则对A作初等行变换，将其化为阶梯形矩阵U，则U有n个非零行，可以继续化为单位矩阵I,即存在可逆矩阵P使得PA=I.所以，PA=PA=1,故A0.若A0，则Ax=0只有零解x=A10=0,A的n个列向量线性无关，故r(A)=n.矩阵A若存在r阶非零子式且所有r+1 阶子式都等于零。则矩阵A的非零子式的最高阶数为 r(因为由行列式的展开可知更高阶的子式也都等于零），并称并称 r 为为 A 的行列式的秩。的行列式的秩。定义3.10矩阵A=(aij)mn的任意k行(i1i2ik行)和任意 k列(j1j2jk列)的交点上的k2个元素排成的行列式称为矩阵A 的一个k阶子行列式(k 阶子式)。等于零的k 阶子式,称为k阶零子式,否则叫非零子式。当jt= it ( t=1,2,k )时，称为A的k阶主子式。2. 2. 矩阵的行列式的秩矩阵的行列式的秩 =矩阵的秩矩阵的秩定理3.12秩(A)=r的充要条件是A的非零子式的最高阶数为r。证必要性。设秩(A)=r,不妨设A的前r行线性无关。记充分性。不妨设A的左上角r阶子式|Ar|0，则Ar可逆,Ar的r个行向量线性无关,添分量成为A1的行向量组也线性无关.而A中任何r+1行线性相关（否则，由必要性的证明可知A中存在r+1阶非零子式）。 A的任意r+1个行向量线性相关，所以 A的任意r+1阶子式都等于零(*)。由(*)和(*)得A的行列式的秩为r.A1=ArB其中Ar是r阶方阵,r(A1)=r,不妨再设A1的前r列向量线性无关,即r(Ar)=r,故|Ar|0.即存在一个r阶子式不等零（*），故矩阵A的行秩=秩(A)=r.注意下列结论：(1)初等变换不改变矩阵的秩，(2)矩阵的秩=矩阵行秩=矩阵列秩=矩阵非零子式的最高阶数。(3)等价的向量组有相等的秩。若A为n阶方阵，则下列命题等价:(1)A0；(2) A可逆（称A为非奇异或非退化矩阵）；(3)r(A)=n (称A为满秩矩阵);(4)A 的n个列(行)向量线性无关；(5)齐次线性方程组AX=0只有零解；(6)对任意n元向量b,非齐次线性方程组AX=b有唯一解X=A1b.(1)用定义,求A非零子式的最高阶数。(2)用初等行变换将A化为阶梯形矩阵，A的秩等于阶梯形矩阵的非零行的行数（阶梯形矩阵中容易看出存在一个r阶子式不等零，任意的r+1阶子式都等于零）。求矩阵A的秩的方法(第2种为最常用的方法)：3.3.3矩阵的秩的若干性质(1)对任意的Amn，都有:秩(A)min m, n;(2)r(AT)=r(A)；（3）秩(A+B)秩(A)+秩(B).(4)秩(AB)min秩(A),秩(B)；(5)设A为mn矩阵，P和Q分别是m和n阶可逆矩阵,则秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)证(3)：设Amn=1, 2, n,Bmn=1,2, ,n ,秩(A)=p,秩(B)=q，1, , n和1, ,n的极大线性无关组分别为1, , p和 1, ,q ，则 A+B=1+ 1, 2+ 2, , n +n A+B的列向量组可以由向量组1, 2, n, 1,n线性表示。所以，r(A+B) r(1, 2, n, 1, ,n) p+q证(4)秩(AB)min秩(A),秩(B)；证：设A，B分别是mn和ns矩阵，A依列分块为AB的列向量组可以由A的列向量组1, , n,线性表示。所以，r(AB)=AB的列秩A的列秩=r(A).类似地，对B依行分块，可以证明r(AB) r(B).或利用r(AB)=r(AB)T)=r(BTAT)r(BT)=r(B).证(5)设A为mn矩阵，P和Q分别是m和n阶可逆矩阵,则秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)证:由(4)得秩(PA)秩(A);又由P1(PA)=A，得:秩(A)秩(PA),所以秩(PA)=秩(A)。同理证明其它。或利用:可逆矩阵可表示为若干初等阵的乘积，初等阵左(右)乘A是对A作初等行(列)变换，又初等变换不改变矩阵的秩。例3.9求t,使矩阵的秩=2.解对A作初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，其非零行的行数=r(A).由r(A)=r(U)=2，所以4+t=0,得t=4。例3.10若A为mn矩阵，r(A)=mn，B是n阶矩阵。以下哪个成立？(a)A的任意一个m阶子式不等于零；(b)矩阵ATA可逆；(c)若r(B)=n，则r(BTAB)=m。解(a),(b)都不正确,(c)正确.(a)中“任意”错了，应改为“存在”；(b)中ATA是n阶矩阵，r(A)=mn,说明ATA不满秩,所以，ATA=0，即ATA不可逆。(c)B是n阶矩阵，r(B)=n，B可逆，BT也可逆。利用秩的性质(5)，得到r(BTAB)=r(A)=m。*例3.11设, 为非零向量，=(a1, a2 , an)T; =(b1, b2 , bn)T， A=T. (1) 求秩(A)；(2) 证明存在数k 使A3= k2A。(2)A3= (T)(T)( T)= (T)(T)T(T)=(b1, b2 , bn)（k是一个数）。=(T)2T。其中解(1)由秩(A)=秩(T)min秩(),秩(T)1。已知, 为非零向量，故n 阶矩阵A不是零矩阵，于是秩(A)1。所以，秩(A) =1。所以，A3=k2T= k2A。相抵关系()是一个等价关系。具有性质：(1) 反身性，即A A ;(2) 对称性：若A B，B A；(3) 传递性：若A B, B C, 则A C。定义3.11设A是mn矩阵，A 经过初等变换化为B(或存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=B），就称A相抵于B(或A等价于B)，记作AB.3.3.4矩阵的等价(相抵)标准形。定理3.13若秩(Amn)=r，则一定存在可逆矩阵P(m阶）和Q（n阶）使得证：A可以经一系列行初等变换化为阶梯形矩阵Ur，即存在初等阵P1 ,.P2, Ps,使得.Ps P2P1 A=Ur ,再对Ur 作倍加列变换和列对换,即存在初等阵Q1 ,.Q2, ,Qt，使得其中Ir 为r阶单位矩阵UrQ1 Q2. Qt = U, 令Ps P2P1=P， Q1 Q2. Qt =Q (P,Q均可逆)，则称矩阵U为A 的相抵(或等价)标准形。所有秩为r 的mn矩阵都相抵于U 。任何两个同型的等秩的矩阵必等价，即同型的矩阵等价的充要条件是等秩。例3.12设A, B, C皆为n阶矩阵，证明：证(1)利用定理3.13，存在n阶可逆矩阵Pi,Qi(i =1,2),使得（2）设r(A)=p，r(B)=q。不妨设A=(1,2,n)和B=(1,2,，n )的列向量组的一个极大线性无关组分别为1,2,p 和1,2,，q ( pn，qn),记P中1,p 和1,，q所在列的p+q个列向量分别记为1,p和1,q,其中i 是由i（i=1,2,p）添加n个零分量得到的。设x11+ x22+ xp p+ y11+ y22+ yq q=0 ,(*)r(P)p+ q=r(A)+r(B).同理，其中第n+1到第2n个方程与方程组 y11+ y22+ yq q=0一样，因为1,2,， q线性无关，所以y1= y2=yq=0，代入(*)式得x1= x2=xp=0,故列向量组：1,2,p，1,2,，q线性无关,#例3.13设A是mn矩阵(mn),秩(A)=m. 证明：存在nm 矩阵B,使BA=Im.证：A是mn矩阵，秩(A)=m, 则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得其中01是m (nm) 零矩阵;02是(nm)m零矩阵所以存在nm矩阵B=QC,使AB=Im.PAQ=(Im,0m(n-m)=(Im,01)于是AQ=P1(Im,01)=(P1,01)，(A Q 是mn矩阵)取nm矩阵则证下例是利用分块初等变换不改变矩阵的秩。#例3.14证明：r(AB)r(A)+r(B) n，其中Amn，Bns.两行(或列)对换第1列右乘(B)加到第2列第2行左乘(A)加到第1行,利用例3.12若AB=0，则r(A)+r(B) n。所以，3.4 齐次线性方程组有非零解的齐次线性方程组有非零解的 条件及解的结构条件及解的结构3.4.1齐次线性方程组有非零解的充要条齐次线性方程组有非零解的充要条件件定理定理3.14 齐次线性方程组齐次线性方程组Amn Xn1=0有非零解的充要条件是r(A)n (n为A的列数,即自变量的个数)。证：设B=(b1, b2, bn)，AB=0,即A (b1, b2, bn)=(A b1, A b2, A bn)=(0,0,0)，推论设A是n阶矩阵，存在非零的ns矩阵B,使得AB=0的充要条件是: A =0Abi=0（i=1,2,n)意味着B的每一列都是A X=0的解。充分性： 设A =0，则A X=0有非零解。取非零解为 B的 s个列向量，就有 B0,且AB=0。必要性：存在B0，有AB=0，即存在i0,有Ai=0，A X=0有非零解。所以，A =0。3.4.2齐次线性方程组 解的性质 定理定理3.15 齐次线性方程组齐次线性方程组AX=0的任意两个解X1, X2的线性组合k1X1+k2X2(k1,k2为任意常数) 也是它的解。证：因为A(k1X1+k2X2)= k1 A X1+k2 A X2= = k1 0+k2 0=0。3.4.3AX=0的基础解系定义3.12设X1,X2,Xp是A X=0的线性无关的解向量，且A X=0的任意一个解向量都可由X1,X2,Xp线性表示，则称X1,X2,Xp为A X=0的一个基础解系。证：对A作初等行变换，化为行简化阶梯形矩阵U，即定理3.16设A是mn矩阵，r(A)=rn,则齐次线性方组AX=0与 UX=0为同解方程方程组组AX=0存在基础解系，且基础解系包含nr 个解向量。其中cii=1(i=1,r),UX=0，即选xr+1,xr+2,xn为自由未知量，对它们取下列n r组值 (1,0,0),(0,1,0),，(0,0,1)再分别代入(*)，即可得到AX=0的n r个解：(*)再证AX=0的任意一个解向量都可由X1,X2,Xn-r线性表示。且X*= k1X1+k2X2+,+kn-rXn-r也是AX=0的解。这n r个解显然是线性无关的（增加分量不改无关性），AX=0的任意一个解向量X，可取自由未知量Xr+1,Xr+2,Xn为任意常数k1,k2,kn-r,代入(*)得 X=（d1,d2,dr,k1,k2,kn-r)T所以X1,X2,Xn-r是齐次线性方程组AX=0的基础解系。X X*也是Ax=0的解。X X*是自由未知量xr+1,xr+2,xn全部取0时的解，此时由(*)得x1=xr =0，即d1=d2=dr=0，所以，X X*=0，即X =X*= k1X1+k2X2+,+kn-rXn-r可由X1,X2,Xn-r线性表示。称X=k1X1+ k2X2+ kpXp(其中k1, k2,kp为任意常数）为Ax=0的一般解（通解）。AX=0的基础解系不是唯一的，但基础解系所含向量的个数一定是n r。任意一个基础解系X1,X2,Xn-r的线性组合都是AX=0全部解的集合。k1X1+ k2X2+ kpXp(其中k1, k2,kp为任意常数）.例3.15证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系。证设X1,X2,Xs 是AX=0的基础解系， 1,2,s是与X1,X2,Xs等价的线性无关的向量组。由于1,2,s 都可经X1,X2,Xs线性表示，而解的线性组合还是解，所以1,2,s 也是AX=0的线性无关的解。 AX=0的任意一个解可经基础解系X1,X2,Xs 线性表示，由“等价性”可知它可以经1,2,s 线性表示。綜上，1,2,s 也是AX=0的基础解系，*例3.16求方程组 AX=O 的基础解系和一般解。其中 AX=0的一般解为：X=k1(2,1,0,0,0)T+k2(2,0 1,0,1)T . 解 对A作初等行变换，将A化为 行简化阶梯形矩阵U.选x1,x3,x4为主元，x2,x5为自由未知量，取x2=0,x5=1得X2=(2,0,1,0,1)T,X1，X2为AX=0一个基础解系。取x2=1,x5=0得X1=(2,1,0,0,0)T, r(A)=3, n-r=2（k1,k2为任意常数）.定理3.16的证明过程给出了求AX=0的基础解系的方法。检查题的解答是否正确，一是代入方程组看是否满足方程，二是看任意常数的个数是否等于nr（n为未知量的个数，r为系数矩阵的秩）。这里也可以取第2,3,4列对应的未知量x2,x3,x4为主元，x1,x5为自由未知量，取x1=1,x5=0得X1=(1,1/2,0,0,0)T, 取x1=0,x5=1得X2=(0,1,1,0,1)T,X1，X2为AX=0一个基础解系。 AX=0的 一 般 解 为 ： X=k1(1,1/2,0,0,0)T+k2(0,1, 1,0,1)T （k1,k2为任意常数）.若AmnBms=0，则B的每一列1,2,s 都是方程组AX=0的解，而AX=0的基础解系含nr(A)个线性无关的解。所以，秩(1,2,s)=r(B)nr(A)。于是，若AB=0，则r(A)+r(B)n，这就是(3.9)式。*例3.17已知3阶矩阵A的第一行是(a, b, c), a ,b, c不全为零，矩阵(k为常数)，且AB=0， B=求线性方程组AX=0的通解。解a ,b, c不全为零r(A)1，由AB=0r(A)+r(B)3,见式(3.9)所以，r(B)2.B 的列向量1=(1,2,3)T,2=(3,6,k)T都是AX=0的解.若k9，1,2,线性无关，r(B)=2，r(A)=1，AX=0的通解是若k=9，r(B)=1，r(A)=1或2。若r(A)=2，AX=0的通解是若r(A)=1，解ax1+bx2+ cx3=0,不妨设c0，AX=0的通解是3.5 非齐次线性方程组有解的条件齐次线性方程组有解的条件及解的结构及解的结构设A=(1, 2, n),X=(x1,x2, xn)T,则AX=b等价于向量方程x11+x22,+xnn=b AX= b 有解 b 可经A 的列向量组线性表示。所以，秩(1, 2, n，b)=秩(1, 2, n),定理3.17设A 是mn 矩阵，则下列命题等价:(1) AX= b 有解(或称为相容);(2)b 可由A 的列向量组线性表示;(3) r(A,b)=r(A), 即增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。即r(A,b)=r(A)3.5.1AX =b 有解的充要条件证(1)(2)若A按列分块为A=1,2,n,AX= b有解的充要条件就是存在X=x1,x2,xnT 满足方程x11 + x22+ xn n = b,就是 b可由A的列向量组1,2,n线性表示。(2)(3)若b可以由1,2,n线性表示，则1,2,n，b可以由1,2,n线性表示，反之，1,2,n也可以由1,2,n，b 线性表示，因此,1,2,n，b与1,2,n是等价向量组。所以,秩1,2,n，b =秩1,2,n，即r(A，b)=r(A)。(3)(2)若r(A，b)=r(A),那么A的列向量组1,2,n的一个极大线性无关组也是向量组1,2,n，b的一个极大线性无关组所以，b可以用1,2,n的极大线性无关组线性表示，又1,2,n与其极大线性无关组等价，从而b可以用1,2,n线性表示。定理得证。推论：AX=b有唯一解r(A, b)=r(A)=n(A的列数).证 b 由A的列向量组线性表示，且表示法唯一的的充要条件是A 的列向量组 1, 2, n 线性无关，即秩1, 2, n= n.当r(A，b)=r(A)=r1)，A*为A的伴随矩阵，证明：（1）*(2)A*=An1.（3）若A为n阶可逆矩阵(n2)，证明：(A*)*=A n2A.证(1)利用AA*= A*A=AI.当r(A)=n 时,A0,AA*=AA*=AI=An0，则A*=An10,所以r(A*)=n；当r(A)=n1时,A=0，nr(A)=1。法1AA*=0A*的每一列向量都是AX=0的解。AX=0的基础解系仅含一个解向量AX=0的任意两个解成比例 A*中任意两列成比例，秩(A*)1,r(A)=n1，存在A的n1阶子式0存在Aij0，于是A*=(Aij)T0,r(A*)1,由和得r(A*)=1。由A可逆A0，由(1)知,r(A*)=n A*0,利用A*= AA1(A*)1= A1A(A*)*= A*(A*)1=A n1A1 A=A n2A.法2利用(3.9)式， AA*=0r(A)+r(A*)n,又r(A)=n1r(A*)1, 以下同法1。当r(A)n1时,A的任意一个(n1)阶子式都等于0,即i，j，Aij=0A*=(Aij)T=0，r(A*)=0.证(2)A*=An1若A=0，由(1)得r(A*)n1A*=0;若A0,由A*AA1得A*=AA1=AnA1=A n A1=An1.证(3)A可逆(A*)*=A n2A.(由(2)*例3.22设4元线性方程组(I)为：4元线性方程组(II)的基础解系为X3=(2,1,a+2,1)T, X4=(1,2,4,a+8)T.(2)a为何值时，方程组(I)和(II)有非零公共解，在有非零公共解时，求出全部非零公共解。(1)求线性方程组(I)的一个基础解系；解(1)对方程组(I)的系数矩阵做初等行变换选(x3,x4)=(1,0)T, (0,1)T, 得(I)的基础解系为X1=(5,3,1,0)T, X2=(3,2,0,1)T。(2)若(I)和(II)有非零的公共解X0,则X0= k1X1+k2X2= k3X3+k4X4或k1X1+ k2X2k3X3k4X4=0记B=(X1,X2,X3,X4)和Y=(k1,k2,k3,k4)T如果BY=0有非零解，它就是(I)和(II)的非零公共解，当a1时，B0，BY=0只有零解，(I)和(II)没有非零的公共解。当a=1时，选(k3,k4)=(1,0)T, (0,1)T, 得(II)的基础解系为Y1=(1,1,1,0)T, Y2=(4,7,0,1)T。BY=0的一般解为Y=( k1, k2,k3, k4)T=1Y1+2Y2=1 (1,1,1,0)T+2(4,7,0,1)T (1,2为任意常数）， k1=1+42 , k2=1+72,k3=1,k4=2，则X0= k3X3+k4X4=1X3+2X4=1(2,1,1,1)T+ 2 (1,2,4,7)T。X0为(I)和(II)的非零的公共解。(1，2为不全为零的任意常数）求非零的公共解另一个方法：解出以Y=(b1,b2,b3,b4)T为未知量的方程组(2)，得基础解系为 Y1=(a+8, a+10,3,0)T, Y2=(a+10,2a+17,0,3)T将Y1，Y2代入(1)，得线性方程组(II):利用方程组(II)的基础解系X3=(2,1,a+2,1)T, X4=(1,2,4,a+8)T.求一个方程组(II)。设(II)为将X3，X4代入得容易验证方程组(II)的基础解系为X3, X4当a1时，(I)和(II)没有非零公共解。a=1时，得(I)和(II)的全部非零公共解。将(II)(I)联立解之，*例3.23设1,2, s为线性方程组AX=0的一个基础解系，1=t11+t22, 2=t1 2+t23 ，,s=t1 s+t21,其中t1，t2为实常数，试问t1，t2满足什么条件时，1, 2，,s 也是AX=0的一个基础解系。解任何s个线性无关的AX=0的解都它的一个基础解系。 Ai =A(t1i+t2i+1) =t1A i+t2Ai+1=0(i=1,2,s-1)， , As=t1A s+t2A1=0,所以，1, 2，,s 都是AX=0的解。设k11+ k22+ ks s=0,即k1(t11+t22)+k2(t1 2+t23)+ks(t1 s+t21)=0,(k1t1+kst2)1+ (k1t2+ k2 t1 )2+ (ks-2t2+t1ks-1)s-1+ (ks-1t2+kst1)s=0整理为由于1,2, s线性无关，得则1，2，s线性无关。方程组（2）中 k1= k2= ks =0系数行列式0，即所以，t1，t2满足时1，2，s线性无关。由得：1，2，s 也是AX=0的一个基础解系。若 k11+ k22+ ks s=0只有零解，即 k1= k2= ks =0本章主要内容：向量组的线性相关性的概念和理论；向量组的秩和矩阵的秩；向量组的等价和矩阵的等价；向量组的极大线性无关组的概念和求法；齐次线性方程组有非零解的充要条件和基础解系；齐次和非齐次线性方程组解的性质，通解和解的结构。第第4 4章章 特征值和特征向量特征值和特征向量 矩阵的对角化矩阵的对角化本章重点：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质和求法；矩阵与对角矩阵相似的充要条件和矩阵的相似标准形;正交化方法和正交矩阵的性质;实对称矩阵A存在正交矩阵T,使(T1AT)为对角阵。相似矩阵在线性代数的理论和其他学科中都有重要的应用。矩阵的特征值和特征向量不仅用在矩阵与对角矩阵相似的问题上，而且在线性常微分方程组、统计、解析几何、优化等学科和工程技术中都有重要的应用，4.1 4.1 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵相似矩阵4.1.1 4.1.1 特征值和特征向量的基本概念特征值和特征向量的基本概念 定定义义4.1设A是复数域上的n阶矩阵，如果存在数 和非零n 维向量x，使得Ax=x则称为A的特征值，x为A的属(对应)于特征值的特征向量. 特征向量x 是非零向量,是齐次线性方程组(IA)x=0的非零解。应满足：|IA|=0. 即是多项式IA的根。例如，已知x0是Ax=0 的一个非零解，则0是A的一个特征值，因为(0 I A)x=0，可知x0 是A的属于=0的一个特征向量。 定义定义4.2设n阶矩阵A=(aij),称为 A的特征多项式。(IA)称为A的特征矩阵。|IA|=0称为A的特征方程。n阶矩阵A的特征多项式在复数域上的n个根都是矩阵A的特征值，其k重根叫做k重特征值。例例4.1求矩阵的特征值及特征向量。解解：A 的特征方程为A的特征值为:1=2(二重特征值)，2=7。对于1=2，求解(1IA)x=0，即得基础解系： A的属于1的全部特征向量为k1x2+ k2 x2(k1,k2是不全为0的任意常数) 得基础解系x1=(1,2,2)T,则A的属于2的全部特征向量为k x1(k 是非零任意常数)。对于2=7，求解(2IA)x=0例例4.2n阶对角矩阵A、上(下)三角形矩阵B 的特征值都是它们的n个主对角元a11, a22, ,ann。因为它们的特征多项式I I- A =I I-B=(a11)(a22)(ann)例如，已知n阶矩阵A的每行行和都是k，则由 k 是A的一个特征值，A的对应于k 的特征向量是cxx是元素全部为1的n维列向量，c 是非零任意常数。定理定理4.1若x1,x2是A属于0的两个的特征向量，则k1x1+ k2x2也是A属于0的特征向量(其中k1, k2是任意常数，但k1x1+ k2x20).证证：x1，x2是齐次线性方程组(IA)x=0 的解，所以，k1x1+ k2x2 也是(IA)x=0 的解，故当k1x1+ k2x20时，也是A的属于0的特征向量。4.1.2 4.1.2 特征值特征值和特征向量的性质和特征向量的性质和特征向量的性质和特征向量的性质 定理定理4.2 若n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为1,2,n，则称A的主对角元的和为A的迹，记作tr(A). 证：证：设(*)=n+c1n1+cknk+cn-1+cn(*)式可表示为2n 个行列式之和,其中展开后含n1项的行列式有下面n个：它们的和等于(a11+a22+ann)n1=(*)式中不含的常数项为所以，由根与系数的关系及常数项相等，得可以证明(*)式中的ci=(1)i si,（i=1,2,n）其中si 是n阶矩阵A的全体i 阶主子式之和。性质性质1若是A的特征值,x 是是A的属于 的特征向量。则(1)k 是kA的特征值（k为任意常数）；(2)(+k)为A+kI 的一个特征值(I 是与A同阶的单位矩阵，k为任意常数)；(3)m是Am的特征值;(4)若A可逆，则1为A1的一个特征值.，*(5)1A为A*（A*是A的伴随矩阵）的一个特征值；由定理4.2得：可逆矩阵(A0)的特征值都是非零数。特征值的特征值的性质性质(6)若f(t)=am t m+ a m1 t m1+ a1 t + a是t的m次多项式,则f()是f(A)= am A m+ a m1 A m1+ a1 A + a0I的一个特征值，而且x 仍然是矩阵kA,A+kI，Am，A1和A*的分别对应于特征值k,(+k),m,1和1A的特征向量。证由Ax= x (x0)，得：(kA)x=(k)x(x0);性质性质2矩阵A和AT的特征值相同。 证：证：det(IA)=det(IA)T=det(I)TAT)=det(IAT). A2x= A( x)= (Ax)= ( x)= 2 x.继续以上步骤m2次（或用数学归纳法）得Amx= m x.(A+kI) x=(+k) x (x0);若A可逆(0)，则x=A1 Ax= A1x= A1x，所以，(A1x)= 1x.由A1=A1A*，得A*= A A1，由(1)(3)即得(4)的结论。(6)由(1)(2)(3)可得(6)的结论。例例4.3设A, P 都是3阶矩阵，P 可逆，已知A 的三个 特征值:1=1，2=1，3=2.和B=A35A2,求B，A+5 I和5I+P1AP。解解 由B=A35A2,得到B的特征值:i=i35i2（i=1,2,3），1=4，2=6，3=12。B=123=(4)(6)(12)=288. A+5 I的特征值为i+5（i=1,2,3）所以， A+5 I=(1+5)(2+5)(3+5)=647=168。5I+P1AP=P15 I+AP=5I+A=168。定义定义4.3对于矩阵A, B，若存在可逆矩阵P，使得 P 1AP=B,则称A相似于B，记作AB。4.1.3 4.1.3 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质矩阵的相似关系是一种等价关系，具有以下性质：(1)自反性自反性 A A；(2)对称性对称性 若AB，则B A；(3)传递性传递性 若A1 A2, A2 A3，则A1 A3。相似矩阵还有以下性质：(1)相似的矩阵有相同的行列式，相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆。若A B且A，B都可逆，则A1 B1；(2)若A B，则AmBm（m为正整数）；(3)设f(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0 是个多项式。若AB，则f(A) f(B)，其中f(A)=amAm+am-1Am-1+a1A+a0I，(aiF, i=0,1,m)。f(B)=amBm+am-1Bm-1+a1B+a0I，证证 (1)可逆矩阵P，使得P1AP=B,所以B1=P1A1P。所以，A1 B1。(2)Bm= (P1AP) (P1AP) (P 1AP)=P1AmP.(3)利用P1(k1A1+k2A2) P =k1(P 1A1P)+k2( P 1A2P )(k1，k2为任意常数)和(2)的结论，若A B，则有P1 f(A) P= f(B)。即f(A) f(B)。若A B且A，B都可逆，则定理定理4.3 若矩阵A与B相似，则它们的特征多项式相等。特征值也相等证证 A B，即存在可逆矩阵P，使得P 1AP=B则I B=I P 1AP=P1(I A)P=P1I AP=I A注意：此定理的逆命题不成立。例如：I A=I B=(3)2,特征值都是3（二重)，但A与B不相似，因为对任何可逆矩阵P，P1AP=P1(3I)P=3I=A B。推论推论 相似矩阵的迹相同，因为对于给定的矩阵A，如何去找可逆矩阵P，使得P1AP=B？ 例例4.1 A的特征值为:1=2=2(二重特征值),3=7.对于1=2得基础解系：x1=(2,1,0)T,x2=(2,0,1)T, 对于3=7，得基础解系：x3=(1,2,2)T,将Axi = ixi (i=1,2,3)排成矩阵则AP=P ,且|P|0,所以， P 1AP= =diag(2,2,-7)为对角矩阵。4.2 4.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件定理定理4.4n 阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。证证 必要性必要性设P 1AP=diag(1, 2, n)= ,即AP=P ,(1)将矩阵P按列分块为P=(x1,x2,xn),(1)式即下式：即x1,x2,xn是A的n个线性无关的特征向量(因为P可逆，所以x1,x2,xn线性无关)。必要性得证。(2)得Axj=j xj(xj0,j=1,2,n).(3)上述步骤显然可逆，所以充分性也成立。若不计主对角元排列顺序，则 唯一，称 为A的相似标准形。与对角阵相似的矩阵,称为可对角化矩阵。 定理定理4.5 矩阵A属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 证证：设A的m个互不相同的特征值为1, 2, m，其对应的特征向量分别为x1,x2,xm.对m作归纳法。m=1，x10，线性无关，假设m=k 时命题成立，对m=k+1，设 a1x1+a2x2+akxk+ak+1xk+1=0(1)则 A(a1x1+a2x2+akxk+ak+1xk+1)=0即 a11x1+a22x2+akkxk+ak+1k+1xk+1=0 (2)k+1(1)(2)得 a1(k+11)x1+a2(k+12)x2+ak(k+1k)xk=0由于x1,x2,xk线性无关，ai (k+1i)=0,i=1,2,k又因k+1i,所以，ai =0,i=1,2,k。代入(1)，得ak+1=0。 所以，x1,x2,xk+1线性无关.由归纳法得证。推论推论：n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A与对角阵相似.注意：这里的条件是充分的，但不是必要的。例例4.4设2阶实矩阵A的行列式A0,问A是否与对角阵相似？解解：由定理4.2（2）知A=120,所以上面的二次方程有两个互异的实特征值1，2，因此，A可对角化。则由（r1+ r2+ + rm)个向量组成的向量组 定理定理4.6 设设1, 2, m是n阶矩阵A的m个互不相同的特征值，属于i线性无关的特征向量为是线性无关的。(1):(2)(i=1.2,m),假设k (km)个不同特征值1,2,k 对应的特征向量对m用数学归纳法。m=1,x11, x12, ，证证：显然线性无关,(2)乘以k+1(2)乘以A(3)(4)线性无关，对k+1个不同特征值，设(3)(4)(3)式减去(4)式，得根据归纳假设线性无关，于是，代入(2)式得由题设，线性无关，所以。线性无关。根据归纳法，定理得证。 定理定理4. 7 设0是n阶矩阵A的k重特征值，属于0的线性无关的特征向量的最大个数为l, 则kl.在x1, x 2, xl中添加xl+1,xn使得x1,xl,xl+1,xn线性无关。由于Axj， x1,xl,，xn线性相关，Axj可经x1,xn线性表示：Axj=b1jx1+bl jxl +bl +1,jxl +1+bnjxn , j= l+1,n.(2)证设是A的对应于0的线性无关的特征向量，满足Axi=0xi， i=1,l 将(1)(2)式中的n个等式写成一个矩阵等式：记P=（x1,xl,xl+1,xn）,(3)式为：(3)因为相似矩阵的特征多项式相同。0是A的大于或等于l 重的特征值是的nl 次多项式,0是A的k重特征值即kl 。定定理理4.8 n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是：A的每个特征值对应的线性无关的特征向量的最大个数等于该特征值的重数(证明略去)。定理4.8指出：若存在A的一个k重特征值0所对应的线性无关的特征向量少于k个，则A不与对角阵相似。例例4.6 下面给出的n阶矩阵A是否与对角阵相似？解解由于A的特征方程0是A的n重特征值，其对应的特征向量是Ax=0的解。由r(A)= n1，得到Ax=0的基础解系含nr(A)=1个解向量，即零特征值对应的线性无关的特征向量只有一个，根据定理4.8，矩阵A不与对角阵相似。例例4.7已知, AB,(1)求x 和y;(2)求一个可逆矩阵P，使P1AP为对角矩阵。(3)求Ak(k为正整数)。解解 (1) 由AB知A,B的特征值相同，行列式相等和A=B=123，trA=tr B=1+2+3=利用A=2=B=2y，得到y=1,再由trA=tr B,又得2+0+x=2+y+(1)，所以x=0.(2)A的特征值为2,1,1。对应的特征向量分别为(3)利用A=P P1和得到Ak= P P1 P P1 P P 1= P kP 1所以i2=i （i=1,2,n）.于是,i =0或1， 由A2=A, A A2=A(I A)=0, 得得 r(A)+ r(I A) n(1) 又又 r(A)+ r(I A) r(A + r(I A)= r(I)=n(2)由(1)和(2)得：r(A)+ r (I A)=n，或 r(I A) =n r(A),即1=1时，(IA)x=0 含n(nr )=r个线性无关的特征向量x1,xr ,2=0时，(2IA)x=0 ,即即 Ax=0含nr个线性无关的特征向量xr+1,xn,记x1,xr,xr+1,xn=P,则P1AP=diag(1,1,0,0)，其中的个数等于r。 例例4.8设A是n阶幂等矩阵(A2=A)。r(A)=r (0rn).证明:A相似于 =diag(1,1,0,0),其中的个数等于r(A)。 证证：设 Axi =ixi ，从而A2xi =i2xi ，又A2=A，*例例4.9 设设求B+2I 的特征值与特征向量，其中I 是3阶单位矩阵。(A*是A的伴随矩阵)，解当1=1时，由(I A)x=0 的基础解系为：x1=(1,1,0)T, x2=(1,0,1)T.当3=7时，基础解系为x3=(1,1,1)T。A*对应于1=7的特征向量是k1x2+ k2 x2(k1,k2是不全为0的任意常数)；A*对应于3=1的全部特征向量为k3x3(k3是非0的任意常数)。A=123=7，A*的特征值i=i1A，即1=2=7，3=1.A*与B相似，相似矩阵有相同的特征值，B+2I的特征值i=i+2，1=2=1+2=9，3=3+2=3.由A*xi =PBP1 xi =i xi，得B(P1 xi) =i (P1xi)，即P1 xi 是B对应于的特征值i（i=1,2,3）的特征向量。也是矩阵B+2I对应于特征值i= i+2（i=1,2,3）的特征向量。计算B+2I 属于特征值1=9的全部特征向量是k1(1, 1,0)T + k2( 1, 1,1)T(k1,k2是不全为0的任意常数)；属于特征值3=3的全部特征向量为k(0,1,1)T(k是非0的任意常数)。4.3 正交矩阵和正交单位向正交矩阵和正交单位向量组量组4.3.1 正交矩阵和正交条件正交矩阵和正交条件定义定义4.4设A nn，若ATA=AAT=I，则称A为正交矩阵正交矩阵。正交矩阵的正交矩阵的例子： 证证(4)。由于(AB)T( AB ) = ( B TAT )( AB ) =BT IB=BT B=I，所以，AB 也是正交矩阵。 定理定理4.9设A , B都是为n阶正交实矩阵，则(1)A=1或1；(2)A1=AT，(3)A1(即AT)也是正交矩阵；(4)AB 也是正交矩阵。AAT=由ATA=I 得到得到设A 是n阶正交实矩阵,由合并为称为A的行向量组行向量组的正交条件的正交条件。称为A的列向量组列向量组的正交条件的正交条件。4.3.2 n维向量的内积维向量的内积 正交单位向量组。正交单位向量组。由定义易得内积有下列性质： , , n, , (1) ( , )= ( , )（对称性）；(2) ( + , ) = ( , ) + ( , );(3)( , ) = ( , );(2)(3)称为线性性）(4)( , )0,等号成立当且仅当 =0（非负性）。 定义定义4.5设 =(a1, a2, an)T, =(b1, b2, bn)Tn,规定 , 的内积为( , )=a1b1+ a2b2 + anbn当 , 为列向量时，( , )= T = T ,. 定义定义4.6向量 的长度( 的模) 定理定理4.10向量 的内积满足（称为Cauchy-Schwarz不等式）证证：当 =0时， ( , )=0， =0，结论成立；，结论成立；当当 0时，令时，令 = +t (tRn),则( , )0.( , )=( + , + )=( , ) + 2 ( , ) + ( , ) 20.的二次三项式非负其判别式0。即上式等号成立当且仅当 , 线性相关。即 =(a1, a2, an)T, =(b1, b2, bn)T时，不等式为：=4( , ) 2 4 ( , )( , )0模为1的向量称为单位向量单位向量零向量与任何向量正交；反之，与任何向量正交的向量必是零向量。 定义定义4.7非零向量 , 的夹角定义为：定义定义4.9 如果非零向量组( i0)，中任意两个向量都正交,则称此向量组为正交向量组正交向量组。称为基本单位向量组。基本单位向量组。定义4.8若 与的内积为0，即()=0.则称 正交正交。定理定理4.11n阶矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是它的行（列）向量组是正交单位向量组。()证证设=A的行、列向量组都是正交单位向量组定理定理4.12n中两两正交的不含零向量的向量组（也称非零正交向量组非零正交向量组） 1, 2, s 是线性无关是线性无关的的。也可以用 反证法反证法证明。 证证设1 1+2 2+s s=0, 即 1, 2, m线性无关。故而由( i , j)=0 (ij),得4.3.3 施密特（施密特（Schmidt）正交化方法）正交化方法证证先求出与等价的正交向量组，依次取再将单位化单位化是与等价的正交单位向量组。则与则存在一组正交单位向量组等价。 定理定理4.13 设设 是一组线性无关的向量组，例例4.10求与向量组等价的正交单位向量组，其中解解用施密特正交化方法。令则是与正交单位向量组。等价的例例4.11 已知正交单位向量(1)求 3， 4，使 1， 2， 3， 4是正交单位向量组；(2)求以 1， 2分别为第1，2列的一个正交矩阵。将1，2，3，4正交化，得一个正交向量组 解解(1)取向量 3=(1，0，0,0)， 4=(0，0,1，0)，使 1， 2， 3， 4线性无关.显然 1， 2正交将向量组 1， 2， 3， 4 单位化，得到其中 3， 4为所求的向量。(2)以 1， 2， 3， 4为列向量的矩阵T 是所求的正交矩阵。因为 1， 2， 3， 4是正交单位向量组4.4. 4.4. 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量定义定义4.10 设为复矩阵，A叫做A的共轭矩阵。其中的共轭复数，显然称A为实对称矩阵时,4.4.1 复矩阵和复向量。复矩阵和复向量。等号成立当且仅当 x=O O。共轭矩阵有以下性质：(5) 若A可逆，则(6) 若A为方阵，则 (7) 若 x 为n维复向量，4.4.2 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量定理定理4.14 实对称矩阵A的特征值都是实数。证证设是A的任一个特征值，即证=.由(A)T=A和Ax=x (x0),故得=。即都是实数。推论推论 n阶实对称矩阵有n个实特征值(重根按重数计算)。实对称矩阵A的特征值都是实数，所以对应的特征向量都是实向量。定定理理4.15 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量是正交的。证证设Axi=ixi,xi0 (i=1,2),12(实数)，则1x2Tx1=x2TAx1=x2TATx1=(Ax2)Tx1=(2x2)Tx1=2x2Tx1而12，所以x2Tx1=(x1,x2)=0，即x1与x2是正交的。记T1=x1,x2,xn(T1为正交矩阵)，则 定理定理4.16n阶实对称矩阵A，存在n阶正交矩阵T，使得T1AT=diag(1,2,n). 证证用数学归纳法。n=1，结论显然成立；假设对(n1)阶实对称矩阵B,存在(n1)阶正交矩阵T2，使得T21BT2=diag(2,n),.对n阶矩阵A.设Ax1=1x1,其中x1是长度为的特征向量。将x1扩为正交向量组x1,x2,xn,则Axjn（i=1,2,n）可由它线性表示.4.4.3 4.4.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化因为x1,x2,xn,Axj线性相关.再令T= T1T3（两个正交矩阵之积也是正交矩阵），T 1=TT.即得T1A T=diag(1,2,n),其中1,2,n是A的n个特征值。因此,b=0，B=BT为n1阶实对称矩阵。由归纳假设，存在n1阶正交矩阵T2，使得T21 BT2= diag(2,n),由于T11=T1 T,(T11AT1)T=T1TAT(T11)T=T11AT1,所以它是实对称矩阵.令T3为n阶正交矩阵.对n阶实对称矩阵A，求正交矩阵T,使T1AT= 的步骤。求A的互异特征值1,m,方法得到与之等价的正交的特征向量线性无关的特征向量ri重特征值i对应ri个利用Schmidt正交化将n个的正交向量每一个单位化，得n个正交单位向量 1, n，(r1+ r2+ +rm=n）计算即得 T1A T=diag(1,2,n),将其按列排成矩阵T=( 1, n)T，则T为正交阵x1=(2,1,0)T,x2=(2,0,1)T用Schmidt正交化方法，先正交化，取 1=x1=(2,1,0)T例例4.2设求正交矩阵T，使T 1AT为对角矩阵。对于特征值1=2，由(1I A)x=0，即得基础解系:= 解解:=可取 2=(2,4,5)T则T1AT=diagdiag取正交矩阵 例例4.13证明：若n阶实对称矩阵A和B的特征值相同，则A B，且存在正交矩阵T,使T1AT=B。 证证设1, 2, n是A和B的特征值，则存在正交阵T1和T2，使得T11AT1=diag(1,2,n)=T21BT2于是T2T11AT1T21=B令T = T1T21（T是正交矩阵，且T 1=T2T1 1），就有T1AT=B*例例4.14.已知3阶矩阵A和3维列向量x，使得向量组x,Ax,A2x线性无关，且满足 A3x=3 A x2 A2 x.(1)记P=（x,Ax,A2x）求3阶矩阵B使A= PBP1;(2)计算行列式A+I。解(1)法法1若A= PBP1 ,则B= P1AP = P1A（x,Ax,A2x）= P1（A x,A2x,A3x）= P1(A x,A2x,3 A x2 A2 x)= P1(x,Ax,A2x)PP1P=I()法法2.令B=bij,由A P=PB，即A (x，Ax，A2x)=(x，Ax，A2x)两边对应的列分别相等,得：解(2)得1=0，2=3, 3=1,A+I 的特征值为所以，A+I=(1+1)(2+1)(3+1)=1(2)2=4.i+1.#例例4.15 设设A是n阶矩阵，若中有一个成立，则A的所有特征值i(i=1,2,n)的模（对实特征值是指绝对值）都小于1，即 |i |1。证证 设Ax=x(x0),得记，则有若条件(1)成立，则|1，得|i|1。同理，若条件(2)成立，则AT的所有特征值即A的所有特征值的模都小于1.*例例4.16试验性生产线每年一月进行熟练工和非熟练工的人数统计，然后将1/6熟练工支援其他部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新老非熟练工经培训及实践至年终考核有2/5成为熟练工。设第n年一月份统计熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn, yn，记成向量xn=xn, ynT，(1)求的关系式并写成矩阵形式（2）验证是的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；时，求（3）当解解(1)设第n年熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn, yn，xn+1是由上一年留下的熟练工加上新招的和上一年非熟练工yn两者经培训考核后的2/5（成为熟练工）组成，即yn+1是由新招的和上一年非熟练工yn 两者经培训考核后余下的3/5（为非熟练工）组成，即，写成矩阵形式解解(2)求特征值。计算特征值1=1对应的特征向量是对应的特征向量是12，A与对角矩阵相似,令P= 1, 2, 则P1AP =diag(1,)解解（3）递推得第n+1年的熟练工和非熟练工所占百分比分别为本章重点：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质和求法；矩阵与对角矩阵相似的充要条件和矩阵的相似标 准形;正交化方法和正交矩阵的性质;实对称矩阵A存在正交矩阵T,使(T1AT)为对角阵。第第5章章实二次型实二次型本章重点：二次型的矩阵表示和二次型的秩；合同矩阵和合同变换；实二次型化为标准形的方法（正交变换法；同型行、列初等变换法和配方法）；惯性定理和实二次型的规范形；以及正定二次型和正定矩阵的概念和判别方法。5.1 二次型的定义和矩阵表示二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵合同矩阵其中系数是数域F中的数，叫做数域F上的n元二次型（简称二次型）。实数域上的二次型简称实二次型。定义定义5.1 n元变量x1,x2,xn的二次齐次多项式5.1.1 二次型的定义和矩阵表示二次型的定义和矩阵表示如果令aji = aij(1i0(i=1,p, p+1,p+q; p+qn)，则正平方项的个数p 和负平方项的个数q是由A 唯一确定的。证证由秩(A)=秩(CTAC)=p+q,知 p+q=r由A唯一确定.下面证明p由A唯一确定。设实二次型f=xTAx作线性变换x=By和x=Cz (1) (B,C都可逆)分别使之化为标准形,f= b1y12+ bp yp2 bp+1 yP+12- br yr2. (2) f =c1 z12+ ct zt2 ct+1 zt+12 cr zr2. (3)(bi, ci0, i=1, ,r).下证:p=t用反证法：假设pt，由x=By和x=Cz得：f=b1y12+ +bt yt2+bt+1yt+12+ + bpyp2 bp+1yP+12 br yr2=c1z12+ ct zt2 ct+1 zt+12 cp zp2 cp+1 zp+12 cr zr2(5)为了从(4)式中找到矛盾，令z1=z2=zt=0, yp+1=yn=0，代入(5)得到y1, y2,yn的方程组：(6)齐次线性方程组(6)有n个未知量，但方程个数=t+(n p)=n (p t)0 (7)将(6)的非零解代入(5)式得到z1,zt,zn的一组值（其中z1=z2=zt=0），将它们再代入(4)式，又得f= ct+1zt+12cpzp2crzr20,(8)(7),(8)二式显然是矛盾的，故假设的pk不能成立，必有p t.齐次线性方程组(6)有n个未知量，但方程个数0(i=1,p+q).取可逆阵C2则则CTA C=diag(1,1,1,1,0,0)推推论论2 实对称矩阵正惯性指数p就是矩阵正特征值的个数，负惯性指数q就是矩阵负特征值的个数。推论推论3全体n阶实对称矩阵按其合同规范形分类（不考虑+1，1,0的排列次序）可以划分为为(n+1)(n+2)/2类。注意：一个实对称矩阵A的相合规范形是唯一的.因为秩r=0时，有1类；r=1时，有2类；r=2时，有3类;，r=n时，有n+1类.共有1+2+3+（(n+1)类.推论推论1 两个n阶实对称矩阵A和B相合的充分必要条件是它们有相同的规范形,或它们的正、负惯性指数分别相等，或它们的正惯性指数与秩分别相等；5.4 5.4 正正(负)定二次型和正定二次型和正(负)定矩阵定矩阵在多元微积分中我们知道二元函数在点（0，0）是否有极大(小)值，就是看它在（0，0）的邻域内是否恒正(负)。一般n元二次型是否恒正(负)的问题，就是二次型的正(负)定问题。 定义定义5.5 如果n元实二次型f(x1,x2,xn)=xTAx，x= (x1,x2,xn )0(xRn)，恒有xTAx0（0(i=1,2,n).充分性是显然的，可用反证法证明必要性：设存在di0，取xi=1,xj=0(ji)，便有f (0,0,1,0,0)=di0.这与二次型正定相矛盾。n元实正定二次型的规范型是=规范型的矩阵是单位矩阵I.由此得到：由此得到：若A合同于对角矩阵CTAC=diag(d1, d2,dn )，则由 di 0（i=1,2,n）即可判别A为正定矩阵。证y00，有x0=Cy00，否则x0=0，y0=C1x0=0，于是由f=xTAx 的正定性，即得f =y0T(CTAC)y0=x0TAx00.故(CTAC)是正定矩阵，y0T(CTAC)y0是正定二次型.(2)二次型经过可逆的线性变换x=Cy，化为yT(CTAC) y，其正定性不变。 定理定理5.4对于n阶实对称矩阵A，下列命题等价：(1)xTAx 是正定二次型（或A 是正定矩阵）；(2)A 的正惯性指数为n，即AI；(3)存在可逆矩阵P，使得A=PTP；(4)A 的n个特征值1, 2,n 都大于零。 证(1)(2)即对正定二次型xTAx作坐标变换所化成的相合规范形必为xTAx =y12+y22+yn2.即p=n且A I.I. 证证(2)(3)存在可逆阵C使得CTAC=I，得A=(CT)1C1,令P=C1，则PT=(CT)1,于是,A=PTP。 (3)(4)设Ax=x(x0)。得(PTP)x=x,从而有xTPTPx=xTx.即(Px,Px)=(x,x).由P 是可逆矩阵和x0,得Px0，特征值(4)(1)对于n元实二次型xTAx，存在正交变换x=Q y,使得xTAx=1y12+2y22+nyn2.由1,n都大于零，即得xTAx 是正定二次型。(3)存在可逆矩阵P，使得A=PTP；(4)A的n个特征值1, 2,n都大于零。例例5.8证明：若A是正定矩阵，则A1也是正定矩阵。证证正定矩阵是满秩的实对称矩阵，所以，A可逆，且(A1)T=(AT)1=A1，即A1也是实对称矩阵。证A1正定: 法法：用定义。对二次型xTA1x作坐标变换x=Ay，得xTA1x=yTATA1Ay=yTAy由yTAy正定，可知xTA1x 也正定，故A1是正定矩阵。法法：由A I,即存在可逆阵C使得CTA C=I,两边求逆,得(C1)A1(C1)T=I,即DTA1D=I(其中D=(C1)T可逆),故A1 I，因此A1是正定的。法法：由A正定,存在可逆阵P,使得A=PTP,于是A1=P1(P1)T=STS(其中S=(P1)T可逆）,因此A1也正定。 法法：设Ax=x(x0)。得A1x=1x(x0)。由于A的n个特征值都大于零，所以A1的n个特征值1也都大于零。故A1正定。例例5.9判断三元二次型,显然f (x1, x2, x3)0，等号成立当且仅当解法解法：用配方法得的特征多项式IA=(1)(1)21/2，特征值是否是正定二次型。解法解法：二次型的对应矩阵都大于零，所以二次型正定。从而判定f(x1, x2, x3) 是正定的。解法解法3 利用同型行、列初等变换化A为对角形。得到A的正惯性指数为3，所以二次型正定。 定理定理5.5 若n元二次型xTAx 正定，则(1) A的主对角元aii0(i=1,2,n)；(2)A 的行列detA 0。证证(1)因xTAx 正定，取第i个分量xi=1,其余分量=0的向量，xi=(0,0,1,0,0)，则有xiTAxi=aiixi2=aii0(i=1,n)。(2)因A正定，存在可逆矩阵P，使得A=PTP，从而A=PTP=P20,或根据正定矩阵A的特征值都大于零，得A=12n0。根据定理，A, B, C都不是正定的。A=0；B中b220;C0(k=1,n)。必要性得证。对一切 xk0成立。故x1,xk 的k 元二次型由于C12A=An-1b0,An-10，即得b0。取于是，假设充分性对n1元二次型成立；对n元二次型。将A分块为其中 =(a1n,a2n,an-1,n)T.根据定理5.4，只需证明A I.#充分性充分性 对n作数学归纳法。当n=1时，a110,xTAx=a11x120 (x10).故充分性成立根据归纳假设,An-1 正定，故存在n1阶可逆矩阵G，使得再取用定理5.6判别例5.9中A的正定性，其中所以A是正定的。故A I，A正定 定理定理5.7设A为n阶实对称矩阵，则下列命题等价：(1)xTAx 是负定二次型（或A是负定矩阵）；(2)A的负惯性指数为n，即A I；(3)存在可逆矩阵P，使得A= PTP；(4)A的n个特征值1, 2,n都小于零。(5)A的奇数阶顺序主子式都小于零；偶数阶顺序主子式都大于零。证证 因为A负定 A正定。例例5.10设A是n阶实对称正定矩阵，则存在正定矩阵B，使A=B2.证证因为A正定，存在正交阵Q（QTQ=I），使得QTAQ=diag(1,2,n)(i0,i=1,2,n).所以， A=Q(diag(1,2,n)QT。则则A=B2。B的特征值都大于0，所以B正定。B通常记作定义定义5.6如果x=(x1,xn)T0，恒有二次型 xTAx 0（0）,且存在一个x00，使得x0TAx0=0，则称 xTAx 为半正定（半负定）二次型，A为半正定(半负定)矩阵。正定、半正定、负定、半负定二次型统称为有定二次型。不是有定的二次型，就称为不定二次型。二次型作坐标变换,正(负)定性,半正(负)定性及不定性都不变.(3)存在非满秩矩阵P，使得A= PTP；(4) A的n个特征值1, 2,n都大于等于零，且至少有一个等于零;(5) A的各阶主子式0，且至少有一个主子式等于零。定理定理5.8设A为n阶实对称矩阵，则下列命题等价：(1)xTAx 是半正定二次型（或A是半正定矩阵）；(2)A的正惯性指数=r(A)=r0,20,12时为椭圆，1=2时为圆；(2)120或2=0,10时为两条平行直线;(4)10,20时，任何( x1, y1)T都不满足方程，所以方程没有图形。在3空间中，要判别一般二次方程的曲面类型，需要作正交变换x=Qy，（坐标系的旋转）将二次多项式部分化为平方项之和，若方程中还含有一次项，也要做相应的变换，然后再做坐标平移变换，将其化为标准方程。正交变换是保持向量长度和向量之间夹角不变的变换。作正交变换x=Q y,其中x=，y =，化为依特征值1，2，3的符号，曲面可以分类如下：例例5.13 在3空间中，下列方程表示什么曲面？解(1)若1，2，3全为正数，则上式是椭球面方程（1=2=3时是半径为的球面方程）；（2）若1，2，3中10,20,30,20，30,20时，方程可表示为图形为母线平行于z轴的椭圆柱面（1=2时为圆柱面）;当10，20,20,30,方程可表示为例例5.14 已知方程中的二次型的正、负惯性指数为p=2,q=1.试问在3中，它表示什么曲面？其图形为椭圆锥面（若1=2(即a=b)时为圆锥面）.例例 5.15 方程 x y + y z+ z x=0表示什么曲面？解解 作正交变换x=Q y,其中x=，y = ，将方程左边的二次型化为标准形，得到容易看出方程是顶点在原点,以Ox1为对称轴的圆锥面的方程。*例例5.16已知二次曲面经x= P y（其中y=(，)T，PT= P1)化为可以经过正交变换化为椭圆柱面方程。求a, b的值和矩阵P。解解二次曲面xTAx=4，其中x=(x, y, z)T,xTAx=(Py)TA P y yT y=。A ，其中 = diag(0,1,4),trA=1+a+1=tr =0+1+4,detA= (b1)2=det =0,得a=3,b=1.相似矩阵有相同特征值，相同的迹和相同的行列式。正交变换x= P y 将二次曲面方程化为椭圆柱面的标准方程。求出特征值和对应的特征向量:1=0,x1=(1,0，1)T，2=1，x2= (1,1,1)T，3=4,x3=(1,2,1)T。已经正交化，只须单位化将a=3,b=1代入，得例例5.17 用坐标变换(转轴和平移)将一般二次曲面方程化为最简形式，并确定曲面形状。(1) 解解：将二次项部分用正交变换法化为平方和。其中A=2=3,x2=(1,0,2)T,x3=(1,1,0)T正交化、单位化得1=6,x1=(2,2,1)T单位化得则QTAQ =Q1AQ=diag(6,3,3)。作正交变换x=Qy(其中x=(x1,x2,x3)T,y=(y1,y2,y3)T)，即=xTAx=yT(QTAQ) y=6y123y223y32.(1)式的一次项变为6(x1+ x2+x3)=6(y1+y2)对f=6y123y223y32+6(y1+y2)配方得其图形是双叶双曲面。5.5.2 在极值问题中的应用在极值问题中的应用利用Hessian矩阵的正定性，可以判别一个三元函数的驻点是不是极值点，这个问题留给微积分去解决。下面给出一个利用二次型化标准型来求条件极值的例子。*例例5.17设在x满足xTx=x12+x22+ x32=1时的最小值和最小值点。求解解二次型f对应的矩阵为由1=2,单位化则有QTAQ = Q1AQ=diag(2,1,1)。2=1，正交化，单位化得记x=(x1,x2, x3)T, y=(y1,y2, y3)T, 令x= Qy (其中 QTQ=I)，就有已知条件xTx=x12+x22+ x32=1化为yT(QTQ)y=yTy=y12+ y22+ y32=1.yT(QTAQ)y=2y12+ y22+ y32.在条件y12+ y22+ y32=1下的最小值。原题化为f=2y12+ y22+ y32又当y0=(1,0,0)T时，f(y0)=2，得到：f 的最小值为2。最小值点是x0=Q y0由f=2y12+ y22+ y322（y12+ y22+ y32)=2，。本章重点：二次型的矩阵表示和二次型的秩；合同矩阵和合同变换；实二次型化为标准形的方法（正交变换法；同型行、列初等变换法和配方法）；惯性定理和实二次型的规范形；以及正定二次型和正定矩阵的概念和判别方法。第第6章章 线性空间和线性变换线性空间和线性变换6.1n 的及向量关于基的坐标的及向量关于基的坐标 坐标变换公式坐标变换公式主要内容:n的基及向量关于基的坐标；基变换和坐标变换，基过渡矩阵；线性空间，基底，维数，坐标及线性子空间的概念；n中的线性变换以及它的矩阵表示。一个线性变换在两组基下的矩阵是相似的。定义6.1设有序向量组B1, 2, nn，若B线性无关，且n中任意一个向量均可以由B 线性表示为 =a11 + a22 + ann则称B是n的一组基（或基底），有序数组(a1,a2,an)是向量 关于基B（或在基B下）的一组坐标(坐标向量),记作B=(a1,a2,an)或B=(a1,a2,an)T,n的基不是唯一的，而在给定基下的坐标是唯一确定的。Rn中n个单位向量组成的基称为自然基。在3中，=a1 i + a2j + a3k.向量(a1,a2,a3)是关于自然基i, j, k的一组坐标。n中的向量=(a1,a2,an)T也是关于自然基B=e1, e2, en的坐标B。6.1.1n 的基及向量关于基的坐标=x11+x22 + xnn,即例6.1n有一组基B=1, 2, n，其中1=(1,1,1),2=(0,1,1),n =(0,0,1),求=(a1, a2, an)在基B下的坐标B。解这个方程组，得x1 = a1, x2 = a2 a1, , xn = anan-1 .即所以，在基B下的坐标为B=a1, a2 a1, , anan-1 T。解设B=(x1, x2, xn)T，(a1, a2, an)= x1(1,1, ,1)+ x2 (0,1, ,1)+ + xn(0,0,1)，若将B中向量和都以列向量表示，则可以用矩阵的形式表示为，= x11+ x2 2+ xn n=即所以，在基B下的坐标为B=a1, a2 a1, , anan-1 T。解这个方程组，得x1 = a1, x2 = a2 a1, , xn = anan-1 .6.1.2过渡矩阵（变换矩阵）与坐标变换公式则1, 2, n线性无关的充要条件是定理6.1设B1=1, 2, n是n 的一组基,且因1, 2, n线性无关，i的系数全为零,由只有零解即只有零解|A|0.证:1, 2, n线性无关的充要条件是(i=1,n)交换次序只有零解。定义6.2两组基B1=(1, 2, n)和B2=( 1, 2, n)的关系，用矩阵的形式表示为称矩阵A=(aij)nn为基B1变为基B2的变换矩阵(或过渡矩阵)。(1, 2, n)=(1, 2, n) A是可逆的。A 的第j 列是j在基1, 2, n下的坐标。例6.2已知B2=1,2,3是3一组基，1=(1,1,1)T,2=(0,2，1)T,3=(0,0,4)T。求3的自然基B1=e1, e2, e3到基B2的过渡矩阵A.即得自然基B1到基B2的过渡矩阵解:由A是1, 2, 3按列排成的矩阵。定理6.2设基B1变为基B2的变换矩阵为A，向量在B1 ,B2下的坐标分别为Ay=x或y=A1x则（坐标变换公式）由于 在基B1=(1, n)下的坐标是唯一的，所以 = (1, n)=(1, n)(1, n)= (1, n)Ax=Ay或y=A1x.代入证：由 =x1 1 + x2 2 + xn n= y1 1 + y2 2 + yn n例6.3已知3的两组基B1=1, 2, 3,B2=1, 2, 3为:1=(1,1,0)T,2=(0,1,1)T,3=(1,0,1)T;1=(1,0,0)T,2=(1,1,0)T,3=(1,1,1)T.已知在基B1下的坐标为x=(1,0,2)T，求在基B2下的坐标y。(1, 2, 3)=(1, 2, 3)A解法1先求B1到B2的过渡矩阵A。于是 在基B2下的坐标为，得或解法2已知在基B1下的坐标为=x=(1,0，2)T，即=1+23=(1,1,0)T+2(1,0,1)T=(3,1,2)T，令在基B2下的坐标为y，=y11+y22+y33即求得#6.2 线性空间的定义及其简单性质线性空间的定义及其简单性质定义定义定义定义6.36.3 数域数域F F上的线性空间上的线性空间V V是一个非空集合，在是一个非空集合，在V V的的元素之间定义一种运算叫做元素之间定义一种运算叫做加法加法加法加法，即给出一个法则，即给出一个法则，使使V V中的任意两个元素中的任意两个元素 ， 都有都有V V中唯一的一个元素中唯一的一个元素 与它们对应，记作与它们对应，记作 = = + + ；在数域；在数域F F中的数和中的数和V V中中的元素之间定义一种运算叫做的元素之间定义一种运算叫做数量乘法数量乘法数量乘法数量乘法（简称（简称数乘数乘数乘数乘），即，即 F F， V V，都有都有V V中唯一的一个元素中唯一的一个元素 与它们与它们对应，记作对应，记作 = = ，且加法和数乘满足以下，且加法和数乘满足以下8 8条运算条运算规则规则. .6.2.1线性空间的定义及例子其中，是V中的任意元素，k，l 是F中的任意数。（交换律）（结合律）（数乘分配律） (1) += +；(2) (+)+ = +(+); (3) 存在V,使 + = ，其中 称为V 的零元素;(4) 存在 V,使 +()= ，其中 称为 的负元素;(6) k(l )= (k l) ;(7) (k + l) =k + l ; (8) k(+)= k + k （数乘结合律） F为复（实）数域时，称为复（实）线性空间，简称复（实）空间。(5) 1 = ;即加法满足即加法满足4 4条规则：条规则：数乘运算满足两条规则：加法和数乘满足两条规则：几何空间中全体向量组成的集合3是一个实线性空间。数域F上的全体n维向量的集合是F上的一个线性空间，还将它记为Fn（复线性空间记为Cn;实线性空间记为n）。定义在闭区间a, b上的全体实值函数的集合Ca, b，对通常的函数加法和实数与函数的乘法是实数域上的线性空间。数域F按照本身的加法和数乘构成F上的线性空间。 A的属于特征值的全体特征向量的集合添加上零向量0，也是一个线性空间，称为A的关于特征值的特征子空间，记作V中的元素也称为向量，线性空间中的加法与数乘运算称为线性运算。例6.4数域F上的全体多项式组成的集合，对多项式的加法与数乘多项式运算在数域F上构成线性空间,记为Fx。因为 F x关于两种运算封闭；Fx的零元素是零多项式;f(x) Fx的负元是(1)f(x); 加法和数乘运算满足定义中的8条。同样，次数小于n的全体实系数多项式组成的集合是实数域上的线性空间，记为xn。例6.5全体mn实矩阵对矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间，记为mn（或Mmn().其零元素是mn零矩阵;任一元素A 的的负元是(1)A。对于给定的非空集合V 和数域F，如果定义的加法或数乘运算不封闭，或且运算不能完全满足8条规则，则V不能构成F上的线性空间。例如，数域F上的次数等于n的全体多项式组成的集合对多项式的加法与数乘多项式运算不构成线性空间。因为此集合对加法不封闭。分配律对减法也成立，即 , V;, F,(1)( )= ；(2)()=。6.2.2线性空间的简单性质：1.线性空间V(F)的零元是唯一的，设1, 2都是V(F)的零元，则1 =1 + 2=2 + 1 =22.线性空间中每一个元的负元是唯一的；是零元设1, 2都是的负元， +1= + 2= ,1 = 1 +=1 +( + 2) =(1 + ) + 2 = + 2 = 23.定义： = +( ),5.若= ，则=0或=.方程 +x = 有唯一解x= 。由此，线性空间中元素作线性运算所得的方程 +11+22 +r r=0当0时,可以解出。 =4.数乘运算有下列性质， , V;, F,则=, ()=(),0=, ()=().特别(1) =.以后()简记为。#6.3 线性空间的基和线性空间的基和 维数维数 向量的坐标向量的坐标由于Fn 中向量的线性运算和线性空间V(F)的线性运算满足同样的8条规则，所以Fn中向量的线性相关性的定义和基本结论也适用于线性空间V(F)。V中的零元对应Fn中的零向量。例6.6证明：线性空间xn中的元素f0=1, f1= x, f2= x2,fn1=xn 1是线性无关的。证：设k0f0 + k1f1 + k2f2 + + kn 1 fn1 =0(x), 即k0 + k1x + k2 x2 + + kn1 xn1=0(x),0(x)是零多项式。所以，k0 = k1= k2 = = kn1=0。故1,x,x2,xn 1是线性无关的。称其为xn的自然基。例6.7证明:线性空间22中的元素是线性无关的。证：设k1A1 + k2A2+k3A3 + k4 A4 =022所以A1, A2 ,A3 , A4是线性无关的。同理可证是线性无关的。A, E11, E12, E21, E22是线性相关的。且A=aE11+b E12+c E21+dE22 的表示法是唯一的。定义6.4如果线性空间V(F)中存在线性无关的向量组B1, 2, n,且任意一个向量V均可以由B线性表示为： =x11+ x2 2 + xn n则称V是n维线性空间(dimV(F)=n）, B是V的一组基(基底).有序数组(x1,x2,xn)是向量关于基B（或在基B下）的坐标(向量),记作B=(a1, a2,an)TFn规定零空间0的维数为0,若V(F)中线性无关的向量有无穷多个，则称V为无限维线性空间1,x,x2,xn (n为任意正整数)是线性无关的。所以，x是实数域上的无限维的线性空间。1,x,x2,xn1 是xn的基。dimxn=n. B1=E11, E12, E21, E22是22的基，dim22=4.若基中的向量组是有序的。例6.7中A1 ,A2,A3 , A4 线性无关，解k1A1+ k2A2+k3A3+k4 A4 =022得到:k1= ab， k2= bc,k3=cd, k4= d, 所以，A在基B3 A1, A2, A3 ,A4下的坐标为=(ab,bc,cd,d)。若B2=E11, E21, E12, E22.则=(a,c, b,d)，则A 在基B1下的坐标为=(a,b,c,d)。 n维线性空间V中任何n个线性无关的向量组成的集合都是V的一个基。有限维线性空间的基并不唯一，但任一组基所含向量的个数是唯一确定的，即等于dimV(F)对不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的。给定了n 维线性空间V(F)的一组基B,V(F)中的向量 关于基B的坐标B(Fn 中的向量)与是一一对应的。坐标是F4中的一个向量，若基B1到基B2的过渡矩阵是A，V(F)中的向量关于基B1和B2的坐标分别为x和y ,则有坐标变换公式（定理6.2）x=Ay.#例6.8已知B1=g1, g2, g3，g4, 和 B2=h1, h2, h3，h4，其中g1=1+x + x2 + x3,h1=1 x+ x3 g2= x + x2 + x3,h2= 1+x, g3= x2 + x3, h3=1+x x2, g4= x3,h4=1 x+x2 p(x)在基B1下的坐标为x =(1,2,0,1)T，试求：(1)基B1变为基B2的变换（过渡）矩阵C；(2)p(x)在基B2下的坐标y=(y1,y2,y3,y4)T.解(1)对于x4的自然基B0=1,x, x2,x3,按等式得基B0分别变为基B1和基B2的变换矩阵A1和A2为(2)p(x)在基B2下的坐标y=C1x设基B1到基B2的过渡矩阵为C，即得A2=A1C，#6.4 线性子空间线性子空间定义6.5设W是线性空间V(F)的非空子集，如果W对V(F)中定义的线性运算也构成域F上的线性空间，则称W为V(F)的线性子空间(简称子空间)。例如3 的下列子集：W1=(x, y, z )3x=4y=z,，则W1,是过原点的直线，W2是过原点的平面，W1,W2是3的一个子空间，而W3不是3的子空间.W2=(x, y, z)2x+y+5z=0；W3=(x, y, z)x+2y+3z=1即零元 W，W中每个元的负元()W。故W是V(F)的线性子空间。定理6.3线性空间V(F)的非空子集W为V的子空间的充分必要条件是W对于V(F)的两种线性运算封闭。证必要性是显然的。充分性：线性运算的8条规则中的(1),(2),(5),(6),(7),(8)，W中的向量显然满足。由于W对数乘运算封闭,即W，都有W，取=0，1，则0=W，(1)= W。例6.9在线性空间V中零元的集合,是V的一个子空间，叫做零子空间；V 本身也是V 的一个子空间,它们称为V 的平凡子空间，V的其它子空间称为非 平凡子空间。例6.10AF mn,齐次线性方程组Ax=0的解集合S=x | Ax=0是Fn的一个子空间,叫作齐次线性方程组Ax=0的解空间(或矩阵A的零空间)记作N(A).但Ax=b的解集合不构成线性空间，也不是Fn子空间。例6.11全体n阶实矩阵，实对角矩阵，实对称矩阵，实上(下)三角阵分别组成的集合,都是Rnn的子空间.例6.12设1, 2, , kV(F)，这些向量的全部线性组合所成的集合是非空的，而且对两种运算是封闭的，因此是V 的子空间，称为由1, 2, , k 生成的子空间，记作L(1, k）,即=11+k k | 1,kFL(1, k）若V是有限维线性空间，W是V的子空间，W也是有限维的，若1,k 是W的一组基，则W中任意一个向量都可以表示为1,k的线性组合，所以W=L(1,k)。例如x3= L(1,x,x2)；若x1,xk是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则解空间（或A的零空间）S=N(A)= L(x1,xk)。定理6.4（1）设W1,W2是数域F上线性空间V(F)的两个子空间,W1=L(1, m )；W2=L(1, n )，则W1=W2充分必要条件是：1, m,与1, n可以相互线性表示（两向量组等价）。证:（1）必要性是显然的（证明留给读者）。充分性：设=11+2 2 + m mW1，因为i（i=1,2,m）可以由1,n线性表示,所以, 可以由1, n线性表示,即存在1, n F，使得 =11 + + nn W2，故W1W2，同理可证，W2W1，所以，W1=W2（2）W1=L(1, m )的维数等于向量组1, m的秩。（2）设秩(1, m )=r,则1, m与它的一个极大线性无关组等价，W1中的任意一个向量均可以由线性表示，由定义6.4得W1的维数是r。定理6.5如果W是n 维线性空间V 的一个子空间，且B1=1,m是W的基，则W 的基B1可以扩充为V 的基。推论11, ,m 的任意一个极大线性无关组都是L(1, ,m)的基.推论2若向量组1, ,m 可以由向量组1, , n线性表示，则L(1, m )L(1, n )。 #4.6 向量空间的线性变换定义6.6设V (F)是线性空间，若V (F)的一个变换满足条件：, V和 F，都有 (+) = () + () () = () 称为V (F)上的线性变换。()为的象，为()的原象。可等价地表述为：, V和 , F都有( + ) = () + ()本书以黑体正字母或希腊字母表示线性变换。4.6.1 线性变换的定义及其简单性质线性变换的定义及其简单性质例6.13线性空间n上的下列变换：恒等变换 ， ()=,（n）零变换，()=0, (n，0是n 的零元)数乘变换, ()=（n，为实常数)都是n上的线性变换(读者自己验证)。y= rsin (+ )= rsin cos +rcos sin = (x,y) 2, R ()= 即 R (x, y )= (x, y ) x= rcos (+ ) = rcos cos rsin siny=(x,y )yx=(x,y )yxxrro=x cos y sin=y co +x sin容易验证，旋转变换满足定义6.6中的（1）,（2）两个式子，所以，旋转变换R 是2上的一个线性变换。例6.14旋转变换2中每个向量绕原点按逆时针方向旋转角的变换R(如图)，是2上的一个线性变换，即若 的坐标为(x1, x2, x3), 则 ()=的坐标为(x1, x2, x3)=(x1, x2, 0)，即yox(x1,x2,x3)z(x1,x2,0)例6.15把3中的向量=(x1, x2 , x3)投影到xoy 平面上的向量= (x1, x2 , 0) (如图),则P()=是3上的线性变换。容易验证，投影变换也满足定义6.6中的（1）、（2）两个式子，所以，投影变换也是线性变换。例6.16设AFnn,定义Fnn上的一个变换为(x)=A x，(xFnn), 则是一个线性变换，因为x，y Fnn, (x+ y)=A (x+ y)=A (x ) +A (y )= (x ) + (y )，kF, xFnn (kx )=A (kx)= k A (x )= k (x ).(1)(0)=0；()=()（V）在式()=()中取=0和=1即得；(2)(1+22+mm)=1(1)+2(2)+m(m)(iV, iF, i=1,2,m)。可用数学归纳法证之。线性空间V(F)上的线性变换有以下性质：（3）若V (F)中的向量组1, 2, m线性相关，则它们的象(1),(2),(m)也线性相关。证：由于存在不全为零的数1,2,mF,使得11+22+mm=0故(11+22+mm)=(0)即1(1)+2(2)+m(m)=0所以，(1),(2),(m)也线性相关。但(3)的逆命题不成立，即1, 2, m 线性无关，其象(1),(2),(m)可能线性相关。如例6.15中的投影变换3中不共面的三个向量1,2,3是线性无关的，但投影到xoy平面上的三个向量(1),(2),(3)是共面的，其象是线性相关的。6.5.2线性变换的矩阵表示设B=1, 2, n是线性空间V(F)的基，是V(F)的线性变换换基的象(i)V(F)(i=1,2,n)，可唯一地经V(F)的基B=1, 2, n线性表示：（1）则可用矩阵形式表示为其中A 是（*）中系数矩阵的转置，A的第j列是(j)在基1, 2, n下的坐标。定义6.7称（1）式或（2）式中的矩阵A为关于基B（对应）的矩阵。选定V的基之后，与矩阵A是一一对应的。注意：对V的不同的基，对应的矩阵一般是不同的。例6.13中的恒等变换、数乘变换和零变换在任何基下的矩阵分别为n阶单位矩阵，数量矩阵和零矩阵。例6.14的旋转变换关于基自然B=e1,e2的矩阵为例6.15的投影变换关于自然基B= e1,e2,e3的矩阵是定理6.6设V(F)上的线性变换关于基B=1, 2, n的矩阵为A，如果和()在基B下的坐标分别为x 和y, 则y=Ax证所以，y=Ax.例6.17是3的一个线性变换，B=1,2,3是3的一组基。其中:1=(1,0,2)T,2=(0,1,1)T,3=(3,1,6)T,(1)=1=(1,0,1)T,(2)=2=(0,1,2)T,(3)=3=(1,1,3)T,(1)求在基B下的矩阵A；(2)求(1)，(2)， (3)；(3)已知 在基B下的坐标为x=(5,1,1)T，求()在基B下的坐标y.解(1)由解(2)(1), (2),(3)= (1, 2, 3)所以，(1)=(3,2,7)T, (2)=(12,5,22)T,(3)=(9,3,15)T.(3)y=Ax=即(1,n)=(1,n)(C1AC)=(1,n)B故关于基B2所对应的矩阵B=C1AC。B=C1AC。证由已知条件(1,n)=(1,n)A (1);( 1, n)=(1,n)B;和(1,n)=(1,n)C,得（1,n)=(1,n)C1(3)定理6.7设线性变换在基B1=1,n和B2=1,n下的矩阵分别为A和B, 基B1到B2的过渡矩阵是C，则同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的.(1)求在基1, 2, 3下对应的矩阵B，其中： 1=(1,1,1)T，2=(1,1,0)T,3=(1,0,1)T。(2) =(1,2,3)T,求()在基1, 2, 3下的坐标向量y.例6.18设3 的线性变换在自然基1, 2, 3下的矩阵为解(1)：先求基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵为C，(1, 2, 3)=(1, 2, 3)C(2)设=(1,2,3)T在基1, 2, 3下的坐标向量为x, 则x= C1 y()在基1, 2, 3下的坐标向量为y, 则所以，()=01+02+33=33。y =B x6.5.3线性变换的特征值定义6.8设是线性空间V(F)上的一个线性变换，若存在V(F)中的非零向量，和F中的数，使得()=（ 0）则称为的一个特征值，为的一个属于特征值的特征向量。若在基B=1, 2, n下的矩阵为A， 在基B下的坐标为x, 则()在基B下的坐标为Ax,Ax=x（x 0）矩阵A的属于特征值的特征向量是x 的属于特征值的特征向量为x11+ x22+xnn.因为在不同的基下的矩阵是相似的，相似的矩阵有相同的特征多项式，相等的行列式和相等的秩，所以在任意一组基下的矩阵A的特征多项式就称为的特征多项式，A的秩就称为的秩。对线性变换的研究就可以利用对矩阵A的研究。本章主要内容n的基及向量关于基的坐标；基变换和坐标变换，基过渡矩阵；线性空间，基底，维数，坐标及线性子空间的概念；n中的线性变换以及它的矩阵表示。一个线性变换在两组基下的矩阵是相似的。