自动化专业课程设计（二） 题目：题目：控制系统计算机辅助设计控制系统计算机辅助设计 基于状态观测器的倒摆系统设计基于状态观测器的倒摆系统设计n目的和要求：目的和要求：加强学生对控制理论及控制系统的理解，提高学生对控制系统的综合及设计技能，扩大学生的知识面，培养学生独立分析问题及解决问题的能力，为以后从事实际控制系统的设计工作打下基础。要求理论正确，设计合理、仿真数据准确。n知识范围及与相关课程：知识范围及与相关课程：本综合设计涉及的相关课程主要有自动控制原理、现代控制理论、运动控制、MATLAB语言及应用、系统仿真等。 第一部分：相关的理论基础第一部分：相关的理论基础 状态反馈及状态观测器状态反馈及状态观测器 无论在经典控制理论还是现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式。由于经典控制理论的数学模型为传递函数，因此只能由输出信号作为反馈量，即为输出反馈输出反馈。现代控制理论是用系统内部的状态变量来全面地描述系统，所以常采用状态反馈状态反馈。状态反馈能提供更丰富的状态信息和可供选择的自由度，可以使系统容易获得更为优异的性能。采用状态反馈不但可以实现闭环系统的极点任意配置，还是实现系统解耦和构成线性最优调节器的主要手段。 一、状态反馈一、状态反馈原原r维输入维输入m维输出的维输出的n阶系统的状态方程：阶系统的状态方程：状态反馈的基本结构状态反馈的基本结构 ： K 维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵 状态反馈闭环系统的状态空间表达式状态反馈闭环系统的状态空间表达式 : 若若 则则 ： 通过状态反馈阵通过状态反馈阵的选择来改变闭环系统的特征值，从而获的选择来改变闭环系统的特征值，从而获得系统所要求的性能。得系统所要求的性能。 定理：状态反馈不改变受控系统定理：状态反馈不改变受控系统 的能控性，的能控性，但不保证系统的能观性不变。但不保证系统的能观性不变。 控制系统的性能主要取决于系统极点在复平面上的分布。因此，系控制系统的性能主要取决于系统极点在复平面上的分布。因此，系统综合的性能指标通常是给定一组期望极点，或者根据时域指标转换成统综合的性能指标通常是给定一组期望极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。一组等价的期望极点。极点配置极点配置问题，就是通，就是通过选择反反馈增益矩增益矩阵，将，将闭环系系统的极点恰好配置在复平面上所期望的位置，以的极点恰好配置在复平面上所期望的位置，以获得所希望的得所希望的动态性能。性能。定理：定理：采用状采用状态反反馈对受控系受控系统任意配置极点的充要条件是任意配置极点的充要条件是原系统原系统 状态状态完全能控。完全能控。 极点的配置方法：极点的配置方法： 方法方法1 1：变换成能控成能控标准型准型 步步骤： 1 1）将原系）将原系统变换成能控成能控标准型准型 ，变换矩矩阵为T TC C二、极点配置二、极点配置2）对）对 加入状态反馈增益阵加入状态反馈增益阵 此时系统的闭环特征多项式为此时系统的闭环特征多项式为 3）要使闭环极点达到期望极点位置，必须满足）要使闭环极点达到期望极点位置，必须满足即：即：由等式两边同次幂项系数相等得由等式两边同次幂项系数相等得状态反馈增益阵状态反馈增益阵 4）根据线性变换前后状态反馈控制律的表达式得：）根据线性变换前后状态反馈控制律的表达式得：方法方法2：对于阶数较低的控制对象，可以直接计算其特征多项式。：对于阶数较低的控制对象，可以直接计算其特征多项式。 设：设：系统的闭环特征多项式为系统的闭环特征多项式为比较等式两边同次幂的系数即可得到比较等式两边同次幂的系数即可得到K的各取值。的各取值。三、状态观测器三、状态观测器 采用状态反馈能实现闭环系统的极点任意配置，还是实现系统解耦采用状态反馈能实现闭环系统的极点任意配置，还是实现系统解耦和构成线性最优调节器的主要手段。但系统的状态变量并不都是易于直和构成线性最优调节器的主要手段。但系统的状态变量并不都是易于直接检测得到的，这样就提出状态观测或状态重构的问题，需要寻求一种接检测得到的，这样就提出状态观测或状态重构的问题，需要寻求一种能产生系统状态的方法。能产生系统状态的方法。状态观测器的定义状态观测器的定义 ： 设系统设系统 的状态矢量的状态矢量 x不能直接检测。构造一个动态系不能直接检测。构造一个动态系统统 ，以，以 的输入的输入u和输出和输出y为其输入量，能产生一组输出量为其输入量，能产生一组输出量 渐进渐进于于x，即：，即： ，则称，则称 为为 的状态观测器。的状态观测器。状态观测器的存在条件：状态观测器的存在条件： 为满足为满足 ，系统必须状态完全能观，或者其不能，系统必须状态完全能观，或者其不能观子系统是渐进稳定的。观子系统是渐进稳定的。状态观测器的结构状态观测器的结构 ： 状态观测器的开环结构渐近状态观测器渐近状态观测器 ：状态观测器的状态方程为：状态观测器的状态方程为：状态观测器的设计：状态观测器的设计： 状态逼近的速度取决于状态逼近的速度取决于G的选择和的选择和(A-GC)的配置，通过对误差反馈的配置，通过对误差反馈阵阵G的设计，调节的设计，调节 渐近于渐近于x的速度。的速度。四、带状态观测器的状态反馈系统四、带状态观测器的状态反馈系统闭环系统的基本特性：闭环系统的基本特性： 1、闭环极点设计的分离性、闭环极点设计的分离性 2、传递函数矩阵的不变性、传递函数矩阵的不变性 3、观测器反馈与直接状态反馈的等效性、观测器反馈与直接状态反馈的等效性 第二部分：系统设计第二部分：系统设计 基于状态观测器的倒摆系统设计基于状态观测器的倒摆系统设计 倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统，是学习和研究现代控制理论最为合适的实验装置。倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例,一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的。迄今人们对倒立摆的研究已经非常深入，我国已首次成功地实现了四级倒立摆的控制。在此，我们首先应用动力学方程应用动力学方程建立一级倒立摆的非线性数学模型；采用小偏差线性化的方法在平衡点建立一级倒立摆的非线性数学模型；采用小偏差线性化的方法在平衡点附近局部线性化得到线性化的数学模型；然后应用状态空间分析方法，附近局部线性化得到线性化的数学模型；然后应用状态空间分析方法，采用状态反馈为倒立摆系统建立一稳定的控制律；最后应用状态观测器采用状态反馈为倒立摆系统建立一稳定的控制律；最后应用状态观测器实现倒立摆系统的稳定控制。实现倒立摆系统的稳定控制。一、一级倒立摆系统的数学模型一、一级倒立摆系统的数学模型 系统的组成系统由小系统的组成系统由小车、小球和轻质杆组成。车、小球和轻质杆组成。倒摆通过转动关节安装在倒摆通过转动关节安装在驱动小车上，杆子的一端驱动小车上，杆子的一端固定在小车上，另一端可固定在小车上，另一端可以自由的左右倒下。通过以自由的左右倒下。通过对小车施加一定的外部驱对小车施加一定的外部驱动力，使倒摆保持一定的动力，使倒摆保持一定的姿势。姿势。小车质量 ；小球的质量 ； 倒摆的杆长 ； 重力加速度 ； 表示倒摆偏离垂直方向的角度； f是小车受到的水平方向的驱动力；本设计中所用到的各变量的取值及其意义：本设计中所用到的各变量的取值及其意义： 假设轨道是光滑的，忽假设轨道是光滑的，忽略摆杆的质量，系统所受的略摆杆的质量，系统所受的外力包括小球受到的重力和外力包括小球受到的重力和小车水平方向的驱动力小车水平方向的驱动力 u。 x(t)和和(t)分别表示小车的分别表示小车的水平坐标和倒摆偏离垂直方水平坐标和倒摆偏离垂直方向的角度。一级倒立摆有两向的角度。一级倒立摆有两个运动自由度，一个沿水平个运动自由度，一个沿水平方向运动，另一个绕轴线的方向运动，另一个绕轴线的转动。转动。 1、运动分析：、运动分析：XYFyFxGOL水平方向受到的合外力竖直方向受到的合外力 通过受力分析，由牛顿通过受力分析，由牛顿第二运动定律，系统的运动第二运动定律，系统的运动满足下面的方程：满足下面的方程：x轴方向：轴方向：小球受力分析示意图，其中 表示小球的重心坐标小球的力矩平衡方程：小球的力矩平衡方程： 整理可得：整理可得： 最后得到倒立摆系统的动力学方程：最后得到倒立摆系统的动力学方程： 显然该系统为明显的非线性系统。但是对小车施显然该系统为明显的非线性系统。但是对小车施加驱动力的目的是要保持小球在垂直方向的姿态，因加驱动力的目的是要保持小球在垂直方向的姿态，因此，我们关注的是小球在垂直方向附近的动态行为变此，我们关注的是小球在垂直方向附近的动态行为变化，为此将系统在该参考位置化，为此将系统在该参考位置(0)附近进行线性化附近进行线性化处理。处理。 2、模型转化、模型转化(微分方程微分方程状态方程状态方程) 由倒摆系统的动力学模型，取如下状态变量由倒摆系统的动力学模型，取如下状态变量：最终可得到倒摆系统的状态方程：最终可得到倒摆系统的状态方程：3、状态方程的线性化：、状态方程的线性化：采用采用Jacobian 矩阵线性化模型，最终得到系统的线性化状态方程为：矩阵线性化模型，最终得到系统的线性化状态方程为： 假定系统的输出为倒摆的角度和小车的假定系统的输出为倒摆的角度和小车的x轴坐标，则系统的轴坐标，则系统的输出方程为：输出方程为：三、状态反馈的倒摆系统设计三、状态反馈的倒摆系统设计 1、系统的开环仿真、系统的开环仿真2、输出反馈设计方法、输出反馈设计方法 通过反复的调整和研究增益k1、k2对于系统误差的敏感性，最终能够稳定系统。然而系统的动态性能远不能让人满意，对于k1=-50,k2=-2，系统只是临界稳定，它仍在新的参考点附近反复震荡。 输出反馈的仿真结果：输出反馈的仿真结果：倒摆的角度小车的位置具体设计步骤如下：具体设计步骤如下： (1)系统可控性判别。应用可控性判别矩阵系统可控性判别。应用可控性判别矩阵CM=ctrb(A,B) 判别判别.(2)闭环系统的极点配置。根据系统的动态性能，确定闭闭环系统的极点配置。根据系统的动态性能，确定闭环系统期望极点环系统期望极点clp。 (3)确定反馈增益。应用确定反馈增益。应用MATLAB的的place函数函数Ks=place(A,B,clp),确定反馈增益确定反馈增益Ks 。3、状态反馈设计：、状态反馈设计：Simulink结构图：结构图：仿真结果：仿真结果：状态反馈下状态变量的时间曲线 具体设计步骤如下：具体设计步骤如下：（1）系统的可观性判别。应用可观性判别矩阵）系统的可观性判别。应用可观性判别矩阵OM=obsv(A,C)判别可观性。判别可观性。 （2）闭环极点配置。适当选择观测器的极点，使观测器）闭环极点配置。适当选择观测器的极点，使观测器的动态速度是系统的两倍以上，所观测器的极点的动态速度是系统的两倍以上，所观测器的极点op=2*clp。（3）指定极点的观测器增益指定极点的观测器增益G。同样应用同样应用place函数：函数：G=place(A,C,op),G=G。3、全维状态观测器下倒摆系统的设计与仿真、全维状态观测器下倒摆系统的设计与仿真 系统方框图：系统方框图： vuuyxvBCAGBACKs线性模型与观测器模型状态变量的误差曲线