高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学第十一章第十一章 习题课习题课一、主要内容一、主要内容二、例二、例 题题高等数学高等数学第十一章第十一章 习题课习题课一、主要内容一、主要内容二、例二、例 题题高等数学高等数学性质性质1 1: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛敛散性不变散性不变. .性质性质2 2: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性质性质3 3: :在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质性质4 4: :收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和来的和. .性质性质5: 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质1 1、常数项级数、常数项级数高等数学高等数学定义定义2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1) (1) 比较审比较审敛敛法的各种形式法的各种形式(2) (2) 比值审敛法比值审敛法( (达朗贝尔达朗贝尔DAlembertDAlembert判别法判别法) ) (3) (3) 根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) )高等数学高等数学3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法高等数学高等数学(1) 收敛半径与收敛区间收敛半径与收敛区间5 5、幂级数、幂级数高等数学高等数学b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质a.a.代数运算性质代数运算性质(2)(2)幂级数的运算幂级数的运算高等数学高等数学(1) (1) 直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:(2) (2) 间接法间接法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通通过过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐逐项积分项积分等方法等方法,求展开式求展开式.6 6、幂级数展开式、幂级数展开式高等数学高等数学7 7、傅里叶级数、傅里叶级数其中其中(1)(1)周期为周期为2 2的函数的傅里叶级数的函数的傅里叶级数高等数学高等数学狄利克雷狄利克雷( (DirichletDirichlet) )充分条件充分条件( (收敛定理收敛定理) )高等数学高等数学(2) (2) 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学解解 （C)按定义按定义例例1(1)1(1)（2002研）研）(A) 发散发散 (B)绝对收敛绝对收敛(C) 条件收敛条件收敛 (D)收敛性不能判定收敛性不能判定注：是交错级数，但不能用注：是交错级数，但不能用莱布尼茨定理莱布尼茨定理(?)(?)高等数学高等数学解解 (B)例例1(2)1(2)（2004研）研）高等数学高等数学解解 (C) 由收敛定理由收敛定理例例1(3)1(3)（1999研）研）例例1(4)1(4)（2003研）研）高等数学高等数学例例解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛高等数学高等数学由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：高等数学高等数学所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是故原级数是条件收敛条件收敛高等数学高等数学解解例例3 3（2001研）研）高等数学高等数学高等数学高等数学例例4 4证证 (1)（2004研）研） (2)高等数学高等数学例例5 5解解高等数学高等数学高等数学高等数学 作作 业业P318: 8(2,3,4), 10(2), 11, 12.