直线与圆的位置关系相交OrldAB相切OrdlA相离Ordl图形公共点个数公共点名称直线名称圆心到直线距离d与半径r的关系2个交点 割线 1个切点 切线 没有d r 图中直线l满足什么条件时是满足什么条件时是O的切线？方法1：直线与圆有唯一公共点O l 方法2：直线到圆心的距离等于半径注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方法2从从“量化”的角度说明的角度说明圆的切线的判定方法。请在请在O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线lOA。思考：。思考：（1） 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?（2） 二者位置有什么关系？为什么？ O A l （3）由此你发现了什么？切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。O 对定理的理解： l A 切线必须同时满足两条：经过半径外端；垂直于这条半径定理的数学语言表达：OA是半径，l OA于于Al是是O的切线l A O r (1)直线l经过半径OA的外端点A；(2)直线l垂直于半径0AO l A 则:直线l与与O相切 这样我们就得到了从这样我们就得到了从“位置”的角度的角度圆的切线的判定方法切线的判定定理 利用上面的定理，过圆上任意一点，你会用三角尺画意一点，你会用三角尺画O的切线吗？P O 1、判断：(1)过半径的外端的直线是圆的切线（） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（） (3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（） O l r A O r l O r l A A 判定直线与圆相切有哪些方法？切线的判定方法有三种： ? 直线与圆有唯一公共点； ? 直线到圆心的距离等于该圆的半径； ? 切线的判定定理即 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线. 例1如图，已知：直线AB经过经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是是O的切线。A O C 分析：由于AB过过O上的点C，所以连接OC，只要证明只要证明ABOC即可。即可。B 例2如图，已知：O为为BAC平分线上一点，点，ODAB于于D,以O为圆心，OD为半径作O。求证：求证：O与AC相切。A D O E B C 例1与例2的证法有何不同?O A C B D A O B E C (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证半径. 1、如图，、如图，AB是是O的直径的直径,O过过BC的中点的中点D，DEAC. 求证：求证：DE是是O的切线的切线 证明：连接证明：连接OD BDCD，OA=OB, OD是是ABC的中位线的中位线. OD/AC. 又又 DEC90, ODE90. 又又 D在圆周上在圆周上, DE是是O的切线的切线. C E D B A O 2、如图,ABC中中,AB=AC,AOBC于于O，OEAC于于E,以O为圆心,OE为半径作为半径作O.求证：AB是是O的切线.F B O A E C 3、如图,AB是是O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在在O上上,CAB=30.求证:DC是是O的切线.C A O B D 4、 如图，如图，AB是是O的直径的直径, C为为O上一点，上一点，AD和过点和过点C的切线互相垂直，垂足为的切线互相垂直，垂足为 D. 求证：求证：AC平分平分DAB 证明：连接证明：连接OC CD 是是O的切线，的切线， OCCD. 又又ADCD , OC/AD. ACO CAD . 又又OC=OD, CAO ACO CAD CAO , 故故AC平分平分DAB A D C O B 5已知：在已知：在ABC中，中，ABAC，以以AB为直径作为直径作O交交BC于于D，DEAC于于E， 分析：分析：因为因为DE经经过过O上的点上的点D，所以要证明所以要证明DE为为切线，可连结切线，可连结OD， 再证明再证明DEOD. 求证：求证：DE是是O的切线的切线. 6如图，已知在如图，已知在ABC中，中，ADBC于于D，ADBC/2，E和和F分别为分别为AB和和 AC的的中点，中点，EF与与AD交于交于G，以，以EF为直径作为直径作O，求证：，求证：O与与BC相切相切. 分析：分析：要证明以要证明以EF为直径的为直径的O与与BC相切，只要相切，只要过过O作作OHBC于于H，证，证 明明OH等于等于直径直径EF的一半的一半. H 7如图如图(3)，ABC内接于内接于O，P、B、2C在一直线上，且在一直线上，且PA PBPC， 求证：求证：PA是是O的切线的切线. 分析：分析：PA过过O上上一点一点A，要证，要证PA为切为切线，只要证线，只要证PAAO，为此，作直径为此，作直径AD，并，并连结连结CD，只要证，只要证PAAD即可即可. 如图，如果直线l是是O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？O l A 如果直线如果直线L是圆是圆O的切线，切点为的切线，切点为A，那么半径，那么半径OA与与直线直线L是不是垂直呢？是不是垂直呢？ 分析：分析：假设假设OA与与L不垂直，过不垂直，过O 点作点作OML，垂足为，垂足为M。 根据垂线段最短的性质，有根据垂线段最短的性质，有OMOA，这说明圆心，这说明圆心O到直线到直线A L L的距离小于半径的距离小于半径OA，于是直，于是直O 线线L就要与圆相交，而这与直线就要与圆相交，而这与直线L是圆是圆O的切线相矛盾。的切线相矛盾。 因此，因此，OA与直线与直线L垂直。垂直。 A M L 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。l是是O的切线，切点为Al OAO l A 切线判定定理：过半径外端;垂直于这条半径.O 切线A l 切线性质定理：圆的切线;过切点的半径.切线垂直于半径例3、如图，PA、PB分别切分别切O于A、0B，两切线相交于点P,若若P=42 ，求ACB的度数。A A C m O B m P C C O B P 1、如图,O切PB于点B,PB=4,PA=2,则O的半径多少？的半径多少？B注：已知切线、切点，则连接半径，应用切线的性质定理得到垂直关系，从而应用勾股定理计算。OAP2、如图，AB、AC分别切分别切O于B、C，若0A=60 ，点P是圆上异于B、C的一动点，则则BPC的度数是（）0A、600B、12000C、60 或12000D、140 或60B O C P A 练习与巩固：练习与巩固： 1、如图，如图，A、B是是O上的两点，上的两点，AC是是O的切线，的切线，B=70，则则BAC等于（等于（ ） A. 70 B. 35 C. 20 D. 10 O B A （1） AEC O B （3） BD（2） CA 2、如图如图,在在ABC中中,AB=AC,BAC=120,A与与BC相切于相切于点点D,与与AB相交于点相交于点E,则则ADE等于等于_ _度度. 3、如图如图,在在OAB中中,OB：AB=3：2 , 0B=6，O与与AB相切相切于点于点A, 则则O的直径为的直径为 。 4、如图如图,PA、PB是是O的切线的切线,切点分别为切点分别为A、B,且且APB=50,点点C是优弧上的一点是优弧上的一点,则则ACB=_. ACCOBPAOBP（4） （5） 5、如图，如图，O的直径的直径AB与弦与弦AC的夹角为的夹角为30，过，过C点的切线点的切线PC与与AB的延长线交于的延长线交于P，PC=5，则，则O的半径为（的半径为（ ） A. 5 3 3B. 5 3 6 C. 10 D. 5 辅助线的作法：辅助线的作法：作过切点的半径作过切点的半径 6、在在ABC中，中，AB=2，以，以A为圆心，为圆心，1为半径的圆与边为半径的圆与边BC相切于点相切于点D ，则，则BD的长为的长为 。 变式一：变式一：在在ABC中，中，AB=2，AC= ，以，以A为圆心，为圆心，1为为半径的圆与边半径的圆与边BC相切相切 ，则，则BC的长为的长为 。 变式二：变式二：如图，点如图，点A是圆是圆O外一点，外一点，OA=4，AB与圆相切于点与圆相切于点B，且，且AB=2 ，弦，弦BCOA，则，则BC的长为的长为 。 A A C O B A B D C B C 7、如图如图,AB为为O的直径，的直径，C为为O上一点，上一点，AD和过和过C点的切点的切线互相垂直，垂足为线互相垂直，垂足为D，求证：，求证：AC平分平分DAB。 D A C O B A D O （8） C B （7） 8、如图如图,AB为为O的直径，的直径，BC是是O的切线，切点为的切线，切点为B，OC平行于弦平行于弦AD，求证：，求证：CD是是O的切线。的切线。 1、知识：切线的判定定理着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)根据切线定义判定即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线(3)根据切线的判定定理来判定其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同解题时，灵活选用其中之一切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。O 对定理的理解： l A 切线必须同时满足两条：经过半径外端；垂直于这条半径切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。O l A