主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第十七讲1二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 第八节一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒 ( Taylor )公式 第二二章 2特点:一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立以直代曲以直代曲在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?x 的一次多项式若是非多项式函数，问是否可用一个n次多项式来近似表示3由误差即为一次多项式的高阶无穷小试问是否成立？即是否求出特例：特例：4即为抛物线与更为接近问类似方法可得右边的多项式在0的附近可以无限的接近于如何用高次多项式来近似表示已给函数，并给出误差公式呢?51. 求求 n 次近似多项式次近似多项式要求要求:故令令则62. 余项估计余项估计令(称为余项) , 则有78公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .泰勒中值定理泰勒中值定理 :阶的导数 ,时, 有其中则当9公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano) 余项余项 .在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为注意到* 可以证明: 式成立10特例特例:(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差11称为麦克劳林（麦克劳林（ Maclaurin ）公式）公式 .则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式12二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中13其中14类似可得其中37其中38已知其中类似可得391. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例1 计算解解:原式三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用40例例2 2 求解：解： 用函数的麦克劳林展开式求此极限41解解:由于用洛必塔法则不方便 !用泰勒公式将分子展到项,例例3. 求42例例4 设求解解432. 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4. 证明证证:44例例5 5 设当，有证明在时，至少有一个实根。在处展开成一阶泰勒公式因此 ，根据连续函数零点而此使得的一个实根。 证明证明 将定理可知，至少存在一点为2. 利用泰勒公式证明方程根的存在性利用泰勒公式证明方程根的存在性45内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .462. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 ( P139 P140 )3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算(3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等.(2) 利用多项式逼近函数 , 47作业作业P141 1（2） ; 3；4 ; 5 ; 6； 7 484、设，且，证明证明证明 由已知极限式得 利用泰勒公式有从而516. 设函数在上三阶可导, 且设使证证: 因因因此试证存在利用二阶泰勒公式 , 得527. 设函数在上二阶可导, 且证明方程内有且仅有一根 . 证证: 在在上由泰勒公式可知因所以又因利用的单调性及连续函数零点定理 , 可知在内有且仅有一根 .53