4.1 4.1 数学期望数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望1.1.引例引例 某人向目标靶射击十枪，命中靶子的某人向目标靶射击十枪，命中靶子的情况分别为情况分别为：现求平均成绩现求平均成绩ni 1 2 1 4 2fi1/10 2/10 1/10 4/10 2/10 环数环数xi 6 7 8 9 10解：平均成绩为解：平均成绩为2.2.定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布列为的分布列为X如果级数如果级数 绝对收敛，即绝对收敛，即 收敛，则和收敛，则和 为随机变量为随机变量 X 的数学的数学期望或均值，记为期望或均值，记为 ，即，即 通过前面的例子可以看到，随机变量的通过前面的例子可以看到，随机变量的均值反映了变量取值的平均水平，是一个数。均值反映了变量取值的平均水平，是一个数。 如果级数如果级数 不绝对收敛，即不绝对收敛，即 不收敛，则称随机变量不收敛，则称随机变量 X 的数学的数学期望不存在。期望不存在。下面我们举例来说明。下面我们举例来说明。 例例1 对服从（对服从（01）分布的随机变）分布的随机变X ， 其分布列为：其分布列为：求求 X 的数学期望。的数学期望。由数学期望定义由数学期望定义解解例例2 设设 ，求，求 。已知二项分布的分布列为已知二项分布的分布列为解解X则则 X 的数学期望为的数学期望为例例3 设设 X 服从参数为服从参数为 的泊松分布，求的泊松分布，求 。已知泊松分布列为：已知泊松分布列为：解解从而从而二、二、 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 1. 1.定义定义 设设X 为连续型随机变量，概率密度为连续型随机变量，概率密度为为 ，如果积分，如果积分 绝对收敛，即绝对收敛，即 收敛，则称积分收敛，则称积分 的值为连续型随机变量的值为连续型随机变量 X 的数学期望或均值，的数学期望或均值，记为记为 。即。即 反之，如果积分反之，如果积分 发散，则发散，则称随机变量称随机变量 X 的数学期望不存在。的数学期望不存在。 例例4 设设 X 服从服从 (a,b)区间上的均匀分布，区间上的均匀分布，求求 X 的数学期望。的数学期望。已知已知 X 的概率密度为的概率密度为其它。其它。，从而从而正好是区间正好是区间 的中点。的中点。解解 例例5 设设 X 服从参数为服从参数为 的指数分布，求的指数分布，求 X 的数学期望。的数学期望。已知已知 X 的概率密度为的概率密度为从而所求数学期望为从而所求数学期望为解解 例例6 对服从正态分布对服从正态分布 的随机变量的随机变量X ，求其数学期望。，求其数学期望。已知已知 X 的概率密度为的概率密度为则所求数学期望为则所求数学期望为解解作变换作变换 ，得到，得到 即正态分布即正态分布 的第一个参数的第一个参数 就是就是随机变量随机变量 X 的均值。的均值。 例例7 求下面已知概率密度的随机变量求下面已知概率密度的随机变量 X 的数学期望。的数学期望。三、三、 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望定理定理 设设Y是随机变量是随机变量X的函数：的函数：若级数若级数 收敛，则收敛，则(1)X(1)X是离散型随机变量，它的分布律为是离散型随机变量，它的分布律为例例1 设离散型随机变量设离散型随机变量X 的分布列为的分布列为X -1 0 2 3试计算：试计算： 和和 。由数学期望的定义可得由数学期望的定义可得解解已知已知 X 的分布律为：的分布律为： 例例2 设设 X 服从参数为服从参数为 的泊松分布，试的泊松分布，试计算计算 的数学期望。的数学期望。从而从而解解(2) (2) X是连续型随机变量，它的概率密度为是连续型随机变量，它的概率密度为若若收敛，则有收敛，则有已知已知 X 的的 概率密度为概率密度为例例3 已知已知 X 服从服从 上的均匀分布，计算上的均匀分布，计算 的数学期望。的数学期望。解解则所求则所求 的数学期望为：的数学期望为：例例4 已知已知 X 的概率密度如下，求的概率密度如下，求如果如果 是二维随机变量，是二维随机变量， 是关是关于于X 和和Y 的二元函数，则同样可定义随机变量的二元函数，则同样可定义随机变量Z 的数学期望如下：的数学期望如下：四四.二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望则则 的数学期望为的数学期望为则则 的数学期望为的数学期望为例例5 已知已知解：解：例例6 设随机变量设随机变量 的联合概率密度为的联合概率密度为 试计算试计算 和和 。由定义，由定义，解解例例7 设随机变量设随机变量 的联合概率密度为的联合概率密度为 试计算试计算 和和 。由定义，由定义，解解五、数学期望的性质五、数学期望的性质 如果如果 X、Y 是两个随机变量，是两个随机变量，C 为任意常为任意常数，且数，且 都存在，则数学期望有以都存在，则数学期望有以下四条常见的性质。下四条常见的性质。如果如果X与与Y相互独立，则相互独立，则推论推论1 1 设随机变量设随机变量 的数学期望的数学期望都存在，则都存在，则推论推论2 2 设随机变量设随机变量 相互独立，相互独立，且数学期望都存在，则且数学期望都存在，则例例8 设设