江苏省职业学校江苏省职业学校数学数学主编：马复主编：马复 王巧林王巧林教材培训教材培训第第16章章 坐标变换与参数方程坐标变换与参数方程 邓旭萍邓旭萍第第17章章 复数及其应用复数及其应用第第16章章 坐标变换与参数方程坐标变换与参数方程 本章通过介绍平面直角坐标系坐标本章通过介绍平面直角坐标系坐标轴的平移和旋转、参数方程及其应用，轴的平移和旋转、参数方程及其应用，为以下几类问题找到了一个较为满意的为以下几类问题找到了一个较为满意的解决方法。解决方法。 第16章 坐标变换与参数方程在数控机床上加工工件时，会用到在数控机床上加工工件时，会用到“工件坐工件坐标系标系”和和“机床坐标系机床坐标系”，同一个工件的坐，同一个工件的坐标怎样在这两个不同坐标系中实行转换呢？标怎样在这两个不同坐标系中实行转换呢？ 在前面的学习中我们看到，有些曲线的方在前面的学习中我们看到，有些曲线的方程式较为复杂，能否让这些方程的形式变程式较为复杂，能否让这些方程的形式变得简单些呢？得简单些呢？ 第16章 坐标变换与参数方程有些曲线的方程是无法直接用平面直有些曲线的方程是无法直接用平面直角坐标系的变量来表示的，能不能将角坐标系的变量来表示的，能不能将这些曲线用另一种形式的方程表示出这些曲线用另一种形式的方程表示出来呢？来呢？ 理解平面直角坐标系坐标轴平移和旋转理解平面直角坐标系坐标轴平移和旋转的概念，会用坐标变换公式进行新原坐的概念，会用坐标变换公式进行新原坐标间的转换，会利用坐标轴平移化简曲标间的转换，会利用坐标轴平移化简曲线方程。线方程。 一、本章教学目标一、本章教学目标 ：了解参数方程的概念，会在给定参数的了解参数方程的概念，会在给定参数的条件下求简单的参数方程，能把曲线的条件下求简单的参数方程，能把曲线的参数方程化为普通方程。参数方程化为普通方程。 第16章 坐标变换与参数方程认识一些常用曲线的参数方程。认识一些常用曲线的参数方程。 一、本章教学目标一、本章教学目标 ：了解平面直角坐标系坐标轴平移在数控了解平面直角坐标系坐标轴平移在数控机床上加工工件中的应用。机床上加工工件中的应用。 第16章 坐标变换与参数方程第16章 坐标变换与参数方程 人在不同的位置观察同一个事物得到的印象往人在不同的位置观察同一个事物得到的印象往往是不一样的，同一个点的坐标和同一条曲线的方往是不一样的，同一个点的坐标和同一条曲线的方程，虽然位置、形状和大小没有改变，但是如果置程，虽然位置、形状和大小没有改变，但是如果置于不同的坐标系，这些坐标和方程也会随之改变。于不同的坐标系，这些坐标和方程也会随之改变。为了理清由一个坐标系到另一个坐标系的变换所带为了理清由一个坐标系到另一个坐标系的变换所带来的点的坐标和曲线方程的变化，本章引入了坐标来的点的坐标和曲线方程的变化，本章引入了坐标变换的概念。坐标变换是化简曲线方程，以便讨论变换的概念。坐标变换是化简曲线方程，以便讨论曲线的性质和画出曲线的一种重要方法。曲线的性质和画出曲线的一种重要方法。二、本章设计思路二、本章设计思路坐标轴平移坐标轴平移坐标轴的旋转坐标轴的旋转参数方程并附有常见几何曲线表参数方程并附有常见几何曲线表第16章 坐标变换与参数方程 “坐标轴平移坐标轴平移”的基本思路：从讨论同一个点在的基本思路：从讨论同一个点在两个不同坐标系中坐标之间的关系出发，引入坐两个不同坐标系中坐标之间的关系出发，引入坐标平移的概念，导出两组坐标变换公式，并用来标平移的概念，导出两组坐标变换公式，并用来化简曲线的方程。为加深学生对坐标轴平移概念化简曲线的方程。为加深学生对坐标轴平移概念的理解，也为有关专业学习专业课程作铺垫，例的理解，也为有关专业学习专业课程作铺垫，例4和例和例5中举了数控机床上加工工件的实例。中举了数控机床上加工工件的实例。 第16章 坐标变换与参数方程 “坐标轴旋转坐标轴旋转”的基本思路：本节应用三角函数的基本思路：本节应用三角函数中两角和的正弦与余弦的公式推导了坐标轴旋转中两角和的正弦与余弦的公式推导了坐标轴旋转的坐标变换公式，只介绍了用新坐标表示原坐标的坐标变换公式，只介绍了用新坐标表示原坐标的公式。例的公式。例2的旋转角不是特殊角，是为了让学生的旋转角不是特殊角，是为了让学生使用计算器学习用近似计算解题的方法。使用计算器学习用近似计算解题的方法。 第16章 坐标变换与参数方程 “参数方程参数方程”的基本思路：本节从最简单的基本思路：本节从最简单的参数方程的参数方程直线的参数方程着手，引入直线的参数方程着手，引入用消参数的方法将曲线的参数方程化为普通用消参数的方法将曲线的参数方程化为普通方程的方法。方程的方法。 第16章 坐标变换与参数方程16.1坐标轴平移坐标轴平移 4课时课时 三、课时安排建议三、课时安排建议16.2坐标轴的旋转坐标轴的旋转 2课时课时 第16章 坐标变换与参数方程16.3 参数方程参数方程 3课时课时 复习复习 2课时课时 四、教学建议四、教学建议第16章 坐标变换与参数方程变变 换换四、教学建议四、教学建议第16章 坐标变换与参数方程本章自始至终贯穿着变换的思想，变换本章自始至终贯穿着变换的思想，变换是重要的数学思想方法；在推导坐标变是重要的数学思想方法；在推导坐标变换公式时，教材采用从特殊到一般，通换公式时，教材采用从特殊到一般，通过推导、归纳，最后得出结论的方法，过推导、归纳，最后得出结论的方法，教学时要注意结合各部分内容，让学生教学时要注意结合各部分内容，让学生切实掌握和理解这种方法。切实掌握和理解这种方法。 四、教学建议四、教学建议第16章 坐标变换与参数方程坐标轴平移与坐标轴旋转是两种坐标变坐标轴平移与坐标轴旋转是两种坐标变换的方法，二者有共同点也有不同点，换的方法，二者有共同点也有不同点，教学时应注意进行比较。教学时应注意进行比较。 坐标旋转一节是选学内容，可根据学生坐标旋转一节是选学内容，可根据学生的情况、教学进度和专业要求决定取舍。的情况、教学进度和专业要求决定取舍。 四、教学建议四、教学建议第16章 坐标变换与参数方程教材对求曲线的参数方程没有做过多的教材对求曲线的参数方程没有做过多的叙述，也未提更高的要求；教学中不应叙述，也未提更高的要求；教学中不应加大难度和添加过多的内容，不应过分加大难度和添加过多的内容，不应过分强调理性而忽视实践的教学。强调理性而忽视实践的教学。 本章的重点是：本章的重点是： 1坐标轴平移，点的新坐标系坐标和原坐坐标轴平移，点的新坐标系坐标和原坐 标系坐标的计算标系坐标的计算 2利用坐标轴平移化简曲线方程利用坐标轴平移化简曲线方程 3把曲线的参数方程化为普通方程把曲线的参数方程化为普通方程 第16章 坐标变换与参数方程坐标轴平移和旋转的公式的运用坐标轴平移和旋转的公式的运用 难点难点 参数方程化为普通方程参数方程化为普通方程 第16章 坐标变换与参数方程五、各节内容要点、教学目标五、各节内容要点、教学目标 及环节设计及环节设计 第16章 坐标变换与参数方程161坐标轴平移坐标轴平移第16章 坐标变换与参数方程内容要点内容要点16.1 坐标轴平移本节主要介绍平面直角坐标系坐标轴平本节主要介绍平面直角坐标系坐标轴平移的概念；介绍在坐标轴平移中，点的移的概念；介绍在坐标轴平移中，点的坐标变化及坐标变换公式，并用坐标平坐标变化及坐标变换公式，并用坐标平移的变换公式简化曲线方程移的变换公式简化曲线方程 。教学目标教学目标16.1 坐标轴平移1掌握坐标轴平移坐标变换公式，掌握坐标轴平移坐标变换公式，会求点的新系坐标或原坐标系坐会求点的新系坐标或原坐标系坐标，会用坐标轴平移公式化简曲标，会用坐标轴平移公式化简曲线方程线方程 。教学目标教学目标16.1 坐标轴平移2平移公式的两种形式运用时易产平移公式的两种形式运用时易产生混淆，教学中应通过实例让学生生混淆，教学中应通过实例让学生自己领会并及时加以小结，掌握其自己领会并及时加以小结，掌握其规律，加强公式的记忆并培养灵活规律，加强公式的记忆并培养灵活运用知识的能力。运用知识的能力。重点：重点： 16.1 坐标轴平移坐标平移的概念及其坐标变换公式坐标平移的概念及其坐标变换公式 利用坐标平移化简曲线方程利用坐标平移化简曲线方程 坐标平移在数控机床加工工件中的实际坐标平移在数控机床加工工件中的实际应用应用 难点：难点： 16.1 坐标轴平移坐标变换公式的应用坐标变换公式的应用 数控机床加工工件中实际问题的数数控机床加工工件中实际问题的数学化学化 环节设计环节设计16.1 坐标轴平移6 9 16.1 坐标轴平移探究探究 （1）如图）如图2-1，以，以O为原点，为原点，A点的坐标是什么？以点的坐标是什么？以 为原点，为原点，A点点的坐标是什么？的坐标是什么？ OA0123x图2-116.1 坐标轴平移探究探究 （2）如图）如图2-2，在，在xoy坐标系中，坐标系中，B点的坐标是什么点的坐标是什么？在？在 坐标系坐标系中，中，B点的坐标是点的坐标是什么？什么？OB-11 2yx图2-21216.1 坐标轴平移定义定义 一般地，只改变坐标原点一般地，只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的的位置，而不改变坐标轴的方向与单位长度的坐标系的方向与单位长度的坐标系的变换，叫做变换，叫做坐标轴的平移坐标轴的平移。 例例1 如图如图2-3，坐标系是原坐标系，坐标系是原坐标系xoy平移后得到的一个新坐标系，在平移后得到的一个新坐标系，在xoy坐坐标系中的坐标是标系中的坐标是（-2，-1），），分别写分别写出点出点A、B、C、D在各坐标系中的坐在各坐标系中的坐标。标。OB-112yx图2-312-2-3-1ACD解解 (1)(1)将图将图2-32-3中的中的 与与 轴擦除轴擦除 ：OB-112yx图2-312-2-3-1ACD由此得：OB-112yx12-2-3-1ACD点ABCD坐标系xoy中的坐标 （1，0）（-2，1）（0，-1）（-1，-1）解解 (2)(2)将图将图2-32-3中的中的 与与 轴擦除轴擦除 ：OB-112yx图2-312-2-3-1ACD得：B1212-1ACD3由此得:点A、B、C、D在坐标系 中的坐标： 坐标系点ABCD 中的坐标（3，1）（0，2）（2，0）（1，0）16.1 坐标轴平移练习练习如图，坐标系如图，坐标系 是原坐标系是原坐标系xoy平移后平移后得到的一个新坐标系，得到的一个新坐标系， 在在xoy坐标系中的坐标坐标系中的坐标是（是（3，1），分别写出），分别写出点点A、B、C、D在各坐在各坐标系中的坐标。标系中的坐标。 OB-112yx12-23-1ACD16.1 坐标轴平移结论结论一般地，若坐标系一般地，若坐标系xoy平移至新平移至新坐标系坐标系 ， 在原坐标系在原坐标系xoy中的中的坐标是（坐标是（ ，），则易得坐标轴平移，），则易得坐标轴平移的坐标变换公式：的坐标变换公式： 或 16.1 坐标轴平移 例例2 已知坐标平移，原点移至已知坐标平移，原点移至 ，利用坐标平移的坐标变换公式，利用坐标平移的坐标变换公式，求下列各点在新坐标系中的坐标：求下列各点在新坐标系中的坐标：A(0,8)； B(1,2)； C(6,0)； D(-1，-2)； E(-5,7). 16.1 坐标轴平移问题解决问题解决 已知点已知点A在在xoy坐标系中坐标系中的坐标是的坐标是(-3,1)，在新坐标系，在新坐标系 中的坐标是中的坐标是(4,2)，问原点，问原点o移到移到什么位置上去了什么位置上去了(即即 在原坐标在原坐标系系xoy中的坐标是（中的坐标是（ ，）是什么，）是什么)？ 16.1 坐标轴平移练习练习 例例3 问题解决问题解决 练习练习 化简曲线化简曲线方程方程16.1 坐标轴平移建议建议：让学生看一段数控机床加让学生看一段数控机床加工工件的视频，使学生对数工工件的视频，使学生对数控机床有一个直观的感知与控机床有一个直观的感知与较形象的理解。较形象的理解。 16.1 坐标轴平移例例4 例例5 练习练习 16.1 坐标轴平移162 坐标轴旋转坐标轴旋转第16章 坐标变换与参数方程内容要点内容要点16.2 坐标轴旋转本节主要介绍平面直角坐标系坐标本节主要介绍平面直角坐标系坐标轴旋转的概念；介绍在坐标轴旋转轴旋转的概念；介绍在坐标轴旋转中，点的坐标变化及坐标变换公式中，点的坐标变化及坐标变换公式（用原坐标表示新坐标）。（用原坐标表示新坐标）。 教学目标、重点与难点教学目标、重点与难点16.2 坐标轴旋转1知道坐标轴旋转的坐标变换公知道坐标轴旋转的坐标变换公式，会求点的新系坐标式，会求点的新系坐标 2本节的教学重点是坐标轴旋转的本节的教学重点是坐标轴旋转的公式，教学难点是坐标轴旋转中点公式，教学难点是坐标轴旋转中点的新系坐标的新系坐标 教学目标、重点与难点教学目标、重点与难点16.2 坐标轴旋转3本节只介绍了坐标轴旋转的本节只介绍了坐标轴旋转的坐标变换公式：坐标变换公式： 适用于求点在新坐标系中的坐标适用于求点在新坐标系中的坐标 教学目标、重点与难点教学目标、重点与难点16.2 坐标轴旋转至于另一组坐标变换公式：至于另一组坐标变换公式： 只在学习指导书中作了介绍只在学习指导书中作了介绍 。教学目标、重点与难点教学目标、重点与难点16.2 坐标轴旋转4例题例题2中用到了近似计算，中中用到了近似计算，中职数学教学的一项重要的任务是职数学教学的一项重要的任务是培养学生近似计算的能力，这样培养学生近似计算的能力，这样的例题要让学生利用计算器来完的例题要让学生利用计算器来完成。成。 环节设计环节设计( (流程图流程图) )16.2 坐标轴旋转观观看看图图形旋形旋转转的的图图片，片，理解旋理解旋转转的概念。的概念。学生例学生例举举生活中生活中图图形形旋旋转转的例子的例子环节设计环节设计( (流程图流程图) )16.2 坐标轴旋转“探究探究”：坐标旋转特殊角。：坐标旋转特殊角。(利用几何图形求解利用几何图形求解) 坐标旋转角度为任意角坐标旋转角度为任意角推导坐标旋转的变换公式：推导坐标旋转的变换公式： 由由学学生生动动手完成手完成采采用用互互动动方方式式，加加深深记记忆忆验验证证环节设计环节设计( (流程图流程图) )16.2 坐标轴旋转举例：例举例：例1，例，例2。练习：练习：1,2 举例：例举例：例3。练习：练习：3 例例2、练练习习2是是利利用用计计算算器器求求解解近近似似值值的的，教教师师可可参参见见第第一一册册教教材材，给给学学生生列列出出计计算算器操作的步骤表。器操作的步骤表。 参参见见第第一一节节数数控控机机床床加加工工件知识工工件知识环节设计环节设计( (流程图流程图) )16.2 坐标轴旋转1“问题解决问题解决” 2坐标旋转中，已知点在坐标旋转中，已知点在新坐标系中的坐标，求新坐标系中的坐标，求点在原坐标系中的坐标点在原坐标系中的坐标3小结、布置作业小结、布置作业 提提高高部部分分，在在学学生生能能力力允允许许的的情情况况下下，可可由由学学生生自自己己推推导导出来出来16.3 参数方程参数方程第16章 坐标变换与参数方程内容要点内容要点16.3 参数方程本节介绍了参数方程的概念，简单本节介绍了参数方程的概念，简单的曲线参数方程的求法，直线的参的曲线参数方程的求法，直线的参数方程和圆心在原点在圆的参数方数方程和圆心在原点在圆的参数方程及参数方程化为普通方程的方法。程及参数方程化为普通方程的方法。 教学目标、重点、难点教学目标、重点、难点16.3 参数方程1本节的教学重点是参数方程的本节的教学重点是参数方程的概念、在给定参数的条件下会求概念、在给定参数的条件下会求简单的参数方程和把曲线的参数简单的参数方程和把曲线的参数方程化为普通方程方程化为普通方程 。教学目标、重点、难点教学目标、重点、难点16.3 参数方程2本节教学难点求曲线的参数方程本节教学难点求曲线的参数方程 。3以直线方程为例，让学生了解同以直线方程为例，让学生了解同一条曲线由于参数的不同，方程可一条曲线由于参数的不同，方程可能会不同能会不同 。教学目标、重点、难点教学目标、重点、难点16.3 参数方程4知道直线的参数方程和圆心在坐知道直线的参数方程和圆心在坐标原点，半径为标原点，半径为R的圆的参数方程的圆的参数方程 。教学目标、重点、难点教学目标、重点、难点16.3 参数方程5不是所有曲线的参数方程都能化为普通方程的，不是所有曲线的参数方程都能化为普通方程的，我们只能将一些简单的参数方程化为普通方程；将我们只能将一些简单的参数方程化为普通方程；将参数方程化为普通方程时要消去参变量，常用的方参数方程化为普通方程时要消去参变量，常用的方法是代入消元法和加减消元法。加减消元法中经常法是代入消元法和加减消元法。加减消元法中经常使用一些三角恒等式；将曲线的参数方程化成普通使用一些三角恒等式；将曲线的参数方程化成普通方程的时候，对变量的取值范围不作讨论方程的时候，对变量的取值范围不作讨论 。教学目标、重点、难点教学目标、重点、难点16.3 参数方程6教学中要应用教学课件或教具，教学中要应用教学课件或教具，使学生了解曲线的由来并对一些曲使学生了解曲线的由来并对一些曲线有直观的认识线有直观的认识 。环节设计环节设计16.3 参数方程 通过生活实例引入，让学通过生活实例引入，让学生知晓建立参数方程的必要生知晓建立参数方程的必要性。性。 环节设计环节设计16.3 参数方程实例实例 (可根据学生生活的环境，选择他可根据学生生活的环境，选择他们熟悉的例子们熟悉的例子)一自行车车轮的轮边上按装一自行车车轮的轮边上按装了一个小彩灯，当夜晚自行车沿着直线行了一个小彩灯，当夜晚自行车沿着直线行走走( (车轮是滚动，不是滑动车轮是滚动，不是滑动) )时，我们看到时，我们看到的小彩灯的的小彩灯的轨迹轨迹方程是什么？方程是什么？( (假设自行车假设自行车车轮的半径是车轮的半径是a.).) 环节设计环节设计16.3 参数方程解解建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系：OyxaNMPtxy环节设计环节设计16.3 参数方程分析分析 假设车轮滚动后小彩灯从假设车轮滚动后小彩灯从O点到点到了了M(x,y)点，此时半径与竖直线点，此时半径与竖直线NP的夹的夹角为角为t. 则可以得到：则可以得到：(请学生完成请学生完成) 线段线段ON的长等于弧段的长等于弧段MN的长，等于的长，等于at. 环节设计环节设计16.3 参数方程M点的坐标：点的坐标： 这就是小彩灯的轨迹方程。这就是小彩灯的轨迹方程。 环节设计环节设计16.3 参数方程 从具体到抽象，从从具体到抽象，从“探究探究”引出引出参数方程的概念。表明参数方程是表参数方程的概念。表明参数方程是表示曲线的一种重要形式。选择适当的示曲线的一种重要形式。选择适当的参数是本节学习的一个重点。参数是本节学习的一个重点。 环节设计环节设计16.3 参数方程探究探究如图如图2-10，直线的方程是，直线的方程是 ，为直线上任意一点，现设有向线段为直线上任意一点，现设有向线段OP的数的数量是量是 ，请分别写出坐标，请分别写出坐标 、 与变量与变量 的关系式：的关系式： Oyx图2-10y=xtxyP环节设计环节设计16.3 参数方程新知新知 一般地，如果曲线上的任意点一般地，如果曲线上的任意点 的坐标的坐标 、 能用另一个变量能用另一个变量 的的方程组方程组 来表示，则叫这个方程来表示，则叫这个方程组是曲线的参数方程，变量组是曲线的参数方程，变量 叫做参数。叫做参数。 环节设计环节设计16.3 参数方程相对于参数方程，我们把前面学过的相对于参数方程，我们把前面学过的描述曲线上点的坐标之间直接关系的描述曲线上点的坐标之间直接关系的方程方程 叫做曲线的普通方程。叫做曲线的普通方程。 环节设计环节设计16.3 参数方程 通过讲练结合、通过讲练结合、“思考交流思考交流”、“问题解决问题解决”，进一步理解与认知曲，进一步理解与认知曲线的参数方程。在这一环节，师生互线的参数方程。在这一环节，师生互动，让学生知晓：动，让学生知晓： 环节设计环节设计16.3 参数方程(1)曲线的参数方程不是唯一的。曲线的参数方程不是唯一的。同一条曲线，选择不同的参数，同一条曲线，选择不同的参数，得到的方程也不同。得到的方程也不同。 环节设计环节设计16.3 参数方程(2)直线、圆心在原点的参数方直线、圆心在原点的参数方程。并能识读圆心不在原点的程。并能识读圆心不在原点的参数方程。参数方程。环节设计环节设计16.3 参数方程(3)将参数方程化成普通方程的方法。将参数方程化成普通方程的方法。 (4)在给定参数的情况下，将普通方在给定参数的情况下，将普通方程化成参数方程。程化成参数方程。(5)实际生活中运用参数方程的例子。实际生活中运用参数方程的例子。环节设计环节设计16.3 参数方程在教师的引导下由学生整理归纳在教师的引导下由学生整理归纳: (1)(1)知识内容知识内容(2)(2)思想方法思想方法( (参数思想参数思想) )