主讲教师主讲教师: :冉扬强冉扬强工程数学工程数学复变函数复变函数辅导课程十三程十三第四章第四章 级数级数3 3 泰勒级数泰勒级数4 4 洛朗级数洛朗级数第二篇第二篇 复变函数复变函数 第四章第四章 级级 数数3 3 泰泰 勒勒 级级 数数 解析函数的幂级数表示解析函数的幂级数表示泰勒定理：设泰勒定理：设 在区域在区域D内解析，内解析， ，只，只要圆要圆 含于含于D内，则内，则 在在K内内 能展成幂级数能展成幂级数 其中系数其中系数 并且展式是唯一的。并且展式是唯一的。 讨论：讨论：(1)泰勒展式是唯一的，因此可用任何泰勒展式是唯一的，因此可用任何方法来求一个解析函数的泰勒展式，不一定方法来求一个解析函数的泰勒展式，不一定要用系数公式来求系数，即可用间接法展开。要用系数公式来求系数，即可用间接法展开。 (2)由于幂函数的和是解析函数，而解析由于幂函数的和是解析函数，而解析函数又可以展为唯一的泰勒级数，所以解析函数又可以展为唯一的泰勒级数，所以解析函数与幂级数有着不可分割的联系。这样，函数与幂级数有着不可分割的联系。这样，解析函数的充分必要条件可表为：解析函数的充分必要条件可表为： 在在D内解析内解析 在在D内任一点内任一点 的某邻域内可展成幂级数的某邻域内可展成幂级数(泰勒级数泰勒级数)。 （3） 几个初等函数的泰勒级数几个初等函数的泰勒级数 4 4 洛洛 朗朗 级级 数数一、双边幂级数的收敛圆环一、双边幂级数的收敛圆环 对于第一个级数，它是幂级数，故它在收敛圆对于第一个级数，它是幂级数，故它在收敛圆 ( )内表示一个解析函数，内表示一个解析函数， 对第二个级数，作代换对第二个级数，作代换 得得 设它的收敛区域为设它的收敛区域为 ( )， 则上级数在则上级数在 内表示一个解析函数。内表示一个解析函数。 即：即： 这样这样: 故知级数故知级数(2)在在 ( )内内 表示一个解析函数表示一个解析函数. 这样级数这样级数(1), (2)有公共有公共的的 收敛区域：圆环收敛区域：圆环 这时，我们称级这时，我们称级数数(1)与级数与级数(2)之和为一双边幂级数之和为一双边幂级数. 表示为：表示为： 其收敛区域为圆环：其收敛区域为圆环： 定理：双边幂级数定理：双边幂级数 在收敛圆环在收敛圆环 上绝对收敛并且内闭一致收敛，上绝对收敛并且内闭一致收敛， 它的和函数在其上是解析函数它的和函数在其上是解析函数. 二、解析函数的洛朗展式二、解析函数的洛朗展式 定理定理(洛朗定理洛朗定理)：在圆环：在圆环H : 内的解析函数内的解析函数 必可展成级数必可展成级数: 系数系数 称为洛朗系数，展式称为洛朗级数称为洛朗系数，展式称为洛朗级数. 为圆周为圆周 ，并且展，并且展式是唯一的式是唯一的. 讨论：讨论：1)由于在圆所围区域可能有奇点，因此，由于在圆所围区域可能有奇点，因此， 不能用柯西公式把系数记为：不能用柯西公式把系数记为： 2)由于展式的唯一性，可用任何方法来求由于展式的唯一性，可用任何方法来求一个在圆环内解析的函数的洛朗展式，而不一一个在圆环内解析的函数的洛朗展式，而不一定用系数公式来求定用系数公式来求. 3)如如 在在D 上有奇点，可作一个圆包上有奇点，可作一个圆包 围所有的奇点，那么在该圆的外部区域，围所有的奇点，那么在该圆的外部区域， 为解折函数，可展为洛朗级数为解折函数，可展为洛朗级数. 4)同一函数在不同的圆环内，其洛朗展式同一函数在不同的圆环内，其洛朗展式也不同也不同. 三、洛朗展式举例三、洛朗展式举例 1、孤立奇点：若函数、孤立奇点：若函数 在在 不解析不解析(不解析包括不可微或无定义不解析包括不可微或无定义)，而在，而在 的某无心邻域的某无心邻域(即除去圆心的某个圆即除去圆心的某个圆)内解析，内解析，则称则称 是是 的一个的一个(单值性单值性)孤立奇点。孤立奇点。如果在如果在 的无论多么小的邻域内，总有的无论多么小的邻域内，总有除以除以 外的奇点，则外的奇点，则 是是 的的 非孤立奇点。例如：函数非孤立奇点。例如：函数 它有孤它有孤立奇点立奇点 又如，函数又如，函数 ，z = 0是它的是它的 非孤立奇点非孤立奇点. 因为因为 的奇点是的奇点是 ， 即：即： , 显然可以任意显然可以任意 接近接近 z = 0点点. 这就是说在这就是说在 z = 0 的无论多么小的无论多么小的邻域内，函数总有异于的邻域内，函数总有异于z = 0 的奇点的奇点. 如果如果 a 为为 的单值性孤立奇点，则必存的单值性孤立奇点，则必存在在R，使，使 在在 内可展成内可展成洛朗级数洛朗级数. 例例1：函数：函数 有孤立奇点有孤立奇点 在在 内有：内有： 在在 内内 例例2： 有孤立奇点有孤立奇点 z = 0，并且在，并且在 内有洛朗展式内有洛朗展式.例例3、将、将 在在 及及 ， 内分别展开成洛朗数内分别展开成洛朗数. 解：解：(i). (ii). (iii). 第五章第五章 留留 数数主要内容主要内容 (1) (1)、单值函数的孤立奇点、单值函数的孤立奇点 (2) (2)、留数的概念及留数定理、留数的概念及留数定理 (3) (3)、求留数的方法、求留数的方法 (4) (4)、利用留数定理求复变积分、利用留数定理求复变积分 (5) (5)、利用留数定理求某些实变积分、利用留数定理求某些实变积分重点和难点重点和难点 重点重点:单值函数的孤立奇点的分类单值函数的孤立奇点的分类及特点；留数及特点；留数定理及定理及留数留数的求法；的求法；利用利用留数留数定理计算复变函数积分和定理计算复变函数积分和实变函数积分实变函数积分 难点难点:留数留数的求法；的求法；留数留数定理计算定理计算实变积分的方法；单值函数的孤立实变积分的方法；单值函数的孤立奇点奇点1 1 孤立奇点孤立奇点 一、孤立奇点的三种类型一、孤立奇点的三种类型 如果如果 a 为为 的孤立奇点，则在的孤立奇点，则在 a 的某无的某无心邻域内心邻域内 可以展成洛朗级数可以展成洛朗级数 称称 为为 在在a点的正则部分点的正则部分,而称而称 为为 在在a点的主要部分点的主要部分. 孤立奇点分为三种：孤立奇点分为三种： (i). 可去奇点：如果可去奇点：如果 在在a点没有主要部分，点没有主要部分， 则称则称 a 为为 的可去奇点的可去奇点. (ii). m阶极点：如果阶极点：如果 在在 a 点的主要部分有点的主要部分有有限多项，设为有限多项，设为: 则称则称 a 为为 的的m阶级点阶级点. (iii).本性奇点：如果本性奇点：如果 在在a点的主要部分有点的主要部分有无限多项，则称无限多项，则称a为为 的本性奇点的本性奇点. 二、可去奇点二、可去奇点 是是 可去奇点的充要条件为可去奇点的充要条件为下列条件之一：下列条件之一： (i). 在在a 点没有主要部分点没有主要部分 (ii). 存在并且有限存在并且有限 (iii). 在在a的充分小邻域内有界的充分小邻域内有界 例如例如三、极点三、极点 为为 的的m 阶极点的充要条件是下阶极点的充要条件是下列条件之一：列条件之一： (i). 在在a点的主要部分为点的主要部分为 (ii). 在在a 的某无心邻域内能表示成的某无心邻域内能表示成 其中其中 在在a的邻域内解析，且的邻域内解析，且 . (iii).若若a为为 的的m阶零点，则阶零点，则a为为 的的m阶极点阶极点. 所谓所谓a为为 的的m阶零点，是指阶零点，是指 ， ， ， ，但，但 显然，不恒等于零的解析函数显然，不恒等于零的解析函数 如果能表示成如果能表示成为 其中其中 在在a的邻域内解析，且的邻域内解析，且 ，m为为正整数，则正整数，则a为为 的的m阶零点阶零点 推论：推论： 的孤立奇点的孤立奇点a为极点的充分必要条为极点的充分必要条 件是件是 例如例如 四、本性奇点四、本性奇点 充要条件：充要条件： 不存在不存在 a为为 的本性奇点。的本性奇点。 不存在的意思是：当不存在的意思是：当 时，时， 既不趋于既不趋于 ，也不趋于一定的值，也不趋于一定的值. 例如例如: