2021/8/61圆被分成了圆被分成了2。3、4、5、6个扇形区域的图形个扇形区域的图形,如下：如下：（图（图B）（图（图C)（图（图D）（图（图E）图图A，按要求显然有，按要求显然有43=12种涂色方案。种涂色方案。图图C，用间接法求解，假设，用间接法求解，假设4区域涂法依次为区域涂法依次为4、3、3、3种种，则需减去首尾两区域涂相同颜色的情形（相当于图则需减去首尾两区域涂相同颜色的情形（相当于图A的情形）的情形）故有故有 种涂色方案。种涂色方案。以上图形各区域可选四种不同颜色涂色，要求相邻涂不同颜色以上图形各区域可选四种不同颜色涂色，要求相邻涂不同颜色1.观察分析观察分析(图图A)图图B, 显然有显然有432=43 2- 12=24种涂色方案。种涂色方案。2021/8/62对图对图D，类似于图，类似于图C的解法，假设的解法，假设5个区域涂法依次为个区域涂法依次为4、3、3、3、3种，则需减去首尾两区域涂相同颜色的情形（相当于种，则需减去首尾两区域涂相同颜色的情形（相当于图图C的情形）。的情形）。 故有故有种涂色方案。种涂色方案。对图对图E，类似于图，类似于图D的解法，假设的解法，假设6区域涂法依次为区域涂法依次为4、3、3、3、3、3种，则需减去首尾两区域涂相同颜色的情形（相当于种，则需减去首尾两区域涂相同颜色的情形（相当于图图D的情形）。的情形）。种涂色方案。种涂色方案。故有故有（图（图B）（图（图C）（图（图D）（图（图E）(图图A)如果如果n个区域有个区域有四四种颜色可供选用，那么有多少种不同的涂法种颜色可供选用，那么有多少种不同的涂法?2.猜想递推公式猜想递推公式2021/8/63a2=43（3+1）3a3=a4=a5=a6=3.猜想归纳通项猜想归纳通项an (n2)所以所以如果如果n个不同区域有个不同区域有m种颜色可供选用，那么有多少种不同的涂法种颜色可供选用，那么有多少种不同的涂法?由由(n3)2021/8/64记为记为P4.归纳结论：归纳结论：相连构成相连构成n个三角形，个三角形，、，现取现取种颜色对这种颜色对这n个三角形涂色，每相邻的两个三角形的涂色不同，个三角形涂色，每相邻的两个三角形的涂色不同，试求涂色的方案有多少种？试求涂色的方案有多少种？如图如图2，已知，已知p是是n(n3)边形内的一点，它与边形内的一点，它与n个顶点个顶点m（m4）故得递推公式为故得递推公式为:(n2，m4)通项通项：2021/8/65 在一个正六边形的在一个正六边形的六六个区域栽种观赏植个区域栽种观赏植物（如图）要求同一区域中种同一种植物，相邻的两物（如图）要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有块种不同的植物。现有5种不同的植物可供选择，则种不同的植物可供选择，则栽种方案有栽种方案有_种。种。4100结论应用结论应用：1解解:因为因为n=6,m=5由公式得由公式得=41002021/8/66应用应用2.（2008年全国）年全国）如图，一环形花坛分成如图，一环形花坛分成A、B、C、D四四块，现有块，现有 4种不同的花供选种，要在每块花坛里种一种种不同的花供选种，要在每块花坛里种一种花，且相邻的两块花，且相邻的两块 种不同的花，则不同的种法总数为（种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A、96 B、84 C、60 D、48ADBCB2021/8/67如图，一个地区分为如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有四四种颜色可种颜色可供选择，则不同的着色方法有供选择，则不同的着色方法有_种。种。变式应用变式应用：12543172(2003年高考题年高考题)解解:首先涂首先涂1区域有区域有4种种,再涂再涂2,3,4,5区域区域还有还有3种颜色涂种颜色涂,可抽象如图可抽象如图.所以涂色总数所以涂色总数:2021/8/68练习练习2：将：将5种颜色染种颜色染n棱锥棱锥的顶点，每个顶点染上一种颜色，的顶点，每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色。如果过有并使同一条棱的两端点异色。如果过有五五种颜色可供种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是使用，那么不同的染色方法总数是_an=53n+(-1)n32021/8/693. 将将m(m4)种颜色染种颜色染n(n3)棱锥的每个顶点染上一种颜棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色。如果只有色，并使同一条棱的两端点异色。如果只有n种颜色可供使种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是用，那么不同的染色方法总数是an=_m (m-2)n+(-1)n(m-2) 2021/8/610知识总结：知识总结：(n2，m3)1.环状涂色问题涂法总数公式环状涂色问题涂法总数公式:(其中 n为不同区域数,m为不同颜色数)(n3，m4)2.用用m不同颜色涂不同颜色涂n棱锥的顶点涂法总数公式棱锥的顶点涂法总数公式:2021/8/611