第二章 矩阵1矩阵的概念；矩阵的概念； 2矩阵的代数运算；矩阵的代数运算；3矩阵的初等变换；矩阵的初等变换；4矩阵的求逆运算；矩阵的求逆运算；5分块矩阵。分块矩阵。 2021/3/111一一. . 矩阵的概念矩阵的概念1.矩阵的定义矩阵的定义 方程组方程组系数排成一个矩形数表系数排成一个矩形数表2021/3/112这就是这就是矩阵矩阵由由m n个数按一定的个数按一定的次序排成的次序排成的m行行n列的列的矩形数表称为矩形数表称为m n矩矩阵阵,简称简称矩阵矩阵.横的各排称为矩阵的横的各排称为矩阵的行行,竖的各排称为矩阵的竖的各排称为矩阵的列列称为矩阵的第称为矩阵的第i行行j列的列的元素元素.元素为实数的称为元素为实数的称为实矩实矩阵阵, ,我们只讨论实矩阵我们只讨论实矩阵. .2021/3/113矩阵通常用大写字母矩阵通常用大写字母A、B、C等表示，例如等表示，例如简记为简记为行矩阵行矩阵列矩阵列矩阵脚标脚标2021/3/114当当m=n时，即矩阵的行数与列数相同时时，即矩阵的行数与列数相同时,称矩阵为称矩阵为方阵方阵。称为称为对角线元素对角线元素2021/3/115几种特殊形式的矩阵几种特殊形式的矩阵2021/3/1162021/3/117二二. .矩阵的代数运算矩阵的代数运算一、线性运算一、线性运算1.相等相等:两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同 的行数与列数的行数与列数, 且对应元素相等且对应元素相等.即即=型号相同型号相同对应元素相等对应元素相等2021/3/1182.加、减法加、减法设设同型同型矩阵为矩阵为与定义定义显然显然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+O=O+A=A A-A=O负矩阵负矩阵的负矩阵为的负矩阵为记作记作 -A,即即2021/3/1193.数乘数乘称为数与矩阵的乘法，简称为称为数与矩阵的乘法，简称为数乘数乘。记作：。记作：kA2021/3/1110二、二、 矩阵的乘法矩阵的乘法与与2021/3/1111一般地，有一般地，有=2021/3/1112与2021/3/1113则2021/3/1114= O显然显然这正是这正是矩阵与矩阵与数的不同数的不同2021/3/1115但是但是这又是这又是矩阵与矩阵与数的不同数的不同请记住：请记住：1.矩阵乘法不满足交换律；矩阵乘法不满足交换律；2.不满足消去律；不满足消去律；3.有非零的零因子。有非零的零因子。2021/3/1116请特别注意请特别注意性质性质5,如果如果不是同阶方不是同阶方阵结果不成阵结果不成立立.不成立不成立!课本课本P39: 例例2.32021/3/1117三、方阵的正整数幂三、方阵的正整数幂k个个定义n阶方阵的k次幂为：显然规定注意注意成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么?例：例：AB=BA2021/3/1118四、矩阵的转置四、矩阵的转置请记牢请记牢!方阵方阵A的多项式的多项式例例课本课本P40: 例例2.42021/3/1119也就是也就是=2021/3/1120对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵对任一方阵A，我们有2021/3/1121证明证明: 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵. 所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.命题得证命题得证.例： P42: 例2.5 证明任一 阶矩阵 都可表示成 对称阵与反对称阵之和.2021/3/1122矩矩阵阵运运算算加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵的转置矩阵的转置小 结2. 只有当第一个矩阵的只有当第一个矩阵的列数列数等于第二个矩阵的等于第二个矩阵的行数行数时，时，两个矩阵才能两个矩阵才能相乘相乘, 且矩阵相乘且矩阵相乘不满足不满足交换律、消去律交换律、消去律.1. 只有当两个矩阵是只有当两个矩阵是同型同型矩阵时，才能进行矩阵时，才能进行加法加法运算运算.3. 矩阵的矩阵的数乘数乘运算与行列式的数乘运算不同运算与行列式的数乘运算不同.注意注意:课后作业课后作业P58: 2-1; 2-2. 1) 2) 3) 7); 2-4; 2-6; 2-7; 2-8; P64: 2-51. 1) 2021/3/1123倍乘变换三三. .矩阵的初等变换矩阵的初等变换以下三种变换分别称为矩阵的以下三种变换分别称为矩阵的初等行（列）变换初等行（列）变换：对调变换倍加变换矩阵的初等行变换与初等列变换矩阵的初等行变换与初等列变换统称为统称为初等变换初等变换。2021/3/1124行阶梯形：行阶梯形：每行首个非零元素的下方全是零每行首个非零元素的下方全是零化简矩阵而保持其等价性。化简矩阵而保持其等价性。主要作用：主要作用：矩阵的初等变换是线性代数中一个矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具重要的工具.0主要过程：主要过程：利用初等行变换将矩阵化为利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形行阶梯形。2021/3/1125利用利用初等行变换初等行变换将矩阵将矩阵A化为化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵。例例1：2021/3/1126利用初等行变换将矩阵化为利用初等行变换将矩阵化为行最简形行最简形。行最简形：行最简形：每行首个非零元素为每行首个非零元素为1， 且这些且这些1所在列的其他元素都是零所在列的其他元素都是零00 00 00 00 00 00 02021/3/1127利用利用初等行变换初等行变换将矩阵化为将矩阵化为行最简形矩阵行最简形矩阵。例例2：2021/3/1128矩阵的等价矩阵的等价定义定义: 对矩阵对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵实行有限次初等变换得到矩阵B，则称则称矩阵矩阵A与与B等价等价，记作，记作 A B. 性质性质: 等价矩阵具有等价矩阵具有自反性、对称性、传递性自反性、对称性、传递性。A的等价标准形的等价标准形定理：定理：任何一个矩阵都任何一个矩阵都有等价标准形。有等价标准形。矩阵矩阵A的秩的秩2021/3/1129如例如例1中：中：推论推论:矩阵矩阵 A与与 B 等价的等价的充要条件充要条件是是A与与 B 有相同的标准形。有相同的标准形。2021/3/1130矩阵的秩矩阵的秩一般地：2. 秩的定义秩的定义: 矩阵矩阵 A 的所有的所有不等于零的子式的最高阶数不等于零的子式的最高阶数 称为矩阵称为矩阵 A 的秩的秩. 记作记作 r(A) .显然显然 r(O)=0;只要只要A不是零阵不是零阵, 就有就有 r(A)0. 并且并且:2021/3/1131例例3解解2021/3/1132例例4 4解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，2021/3/1133例例5 求矩阵求矩阵A的秩的秩利用初等变换可以求矩阵的秩利用初等变换可以求矩阵的秩. .2021/3/1134秩的求法秩的求法定理定理: 矩阵经初等变换后其秩不变矩阵经初等变换后其秩不变.证证: 只证行变换的情形只证行变换的情形.2021/3/1135例例6 求矩阵的秩求矩阵的秩2021/3/11362021/3/1137例例7解：解：2021/3/1138P59: 2-17. 1) 2) 3) ; P88：3-15. 3）4）; 小小 结结(2)(2)初等变换法初等变换法1. 矩阵的初等变换矩阵的初等变换2. 求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);作业：作业：行阶梯形行阶梯形 行最简形行最简形 等价标准形等价标准形2021/3/1139初等矩阵初等矩阵定义定义：对单位阵进行一次初等变换后得到的：对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵称为矩阵称为初等矩阵初等矩阵。 三种初等行变换得到的初等矩阵分别为：三种初等行变换得到的初等矩阵分别为：2021/3/1140对单位阵作一次列变换得到的矩阵也包对单位阵作一次列变换得到的矩阵也包括在上面的三类矩阵之中。括在上面的三类矩阵之中。2021/3/1141初等矩阵的性质初等矩阵的性质1.2021/3/11422021/3/1143初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵.2.初等矩阵都是非奇异的初等矩阵都是非奇异的.初等矩阵与初等变换的关系初等矩阵与初等变换的关系先看一个例子先看一个例子2021/3/11442021/3/1145行变换相当于左乘初等矩阵行变换相当于左乘初等矩阵;列变换相当于右乘初等矩阵列变换相当于右乘初等矩阵.2021/3/1146例例1 求矩阵的标准形并求矩阵的标准形并用初等矩阵表示初等变换用初等矩阵表示初等变换。可以验证可以验证2021/3/1147例例2 选择题选择题2021/3/1148例例3 2021/3/1149显然，若两个显然，若两个同型矩阵同型矩阵有有相同的秩相同的秩，则这两个矩，则这两个矩阵有阵有相同的标准形相同的标准形，从而，从而等价等价；反之，若两个矩；反之，若两个矩阵等价，则它们的秩相同。即有：阵等价，则它们的秩相同。即有：定理定理：矩阵：矩阵A与与B等价的等价的充要条件充要条件是是r(A)=r(B).! 请记住：矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。请记住：矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。满秩矩阵满秩矩阵定义定义：若：若方阵方阵A的秩与其阶数相等，则称的秩与其阶数相等，则称A为为满秩满秩矩阵；矩阵； 否则称为否则称为降秩降秩矩阵。矩阵。( 满秩满秩非奇异非奇异 降秩降秩奇异）奇异）E-满秩阵满秩阵 O-降秩阵降秩阵定理定理：设：设A为满秩阵，则为满秩阵，则A的标准形为同阶单位阵的标准形为同阶单位阵 E .即即矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个是矩阵的一个重要的数字特征重要的数字特征。2021/3/1150推论推论1：以下命题等价：以下命题等价：证证2021/3/1151推论推论2：矩阵：矩阵A与与B等价的等价的充要条件充要条件为存在为存在m阶及阶及 n阶满秩阵阶满秩阵P、Q，使，使由此还可得到：由此还可得到： 若若P、Q为满秩阵，则为满秩阵，则r(A) = r(PA) = r(PAQ) = r(AQ)例例4：2021/3/1152P61：2-18; P62：2-34 . 小小 结结2. 初等矩阵与初等变换的关系初等矩阵与初等变换的关系3. 矩阵矩阵满秩的等价条件满秩的等价条件作业：作业：1. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵. .一次初等变换一次初等变换4. 同型矩阵同型矩阵等价的充要条件等价的充要条件2021/3/1153四、逆矩阵四、逆矩阵定义定义：对：对n阶阶方阵方阵A，若有，若有n阶矩阵阶矩阵B，使，使AB=BA=E，则，则 称称B为为A的的逆矩阵逆矩阵，称，称A为可逆的。为可逆的。（1）逆阵唯一逆阵唯一。设设B,C都是都是A的逆，则的逆，则 B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=CA的逆记为：的逆记为：（2）并非每个方阵都可逆并非每个方阵都可逆。例如例如就不可逆。就不可逆。要解决的问题：要解决的问题：1.方阵满足什么条件时可逆方阵满足什么条件时可逆?2.可逆时，逆阵怎样求？可逆时，逆阵怎样求？2021/3/1154逆阵的性质逆阵的性质2021/3/1155伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵代数余子式的顺序代数余子式的顺序! !二阶二阶A矩阵的伴随矩阵矩阵的伴随矩阵.2021/3/1156重要公式重要公式性质：性质：2021/3/1157定理定理: n阶方阵阶方阵A可逆的可逆的充要条件充要条件是是证证:牢记这个定理牢记这个定理2021/3/1158例例1.解：解：例例 2.证证:同理证其它两式。同理证其它两式。2021/3/1159 这说明初等矩阵的逆阵仍为同类型的初等矩阵。这说明初等矩阵的逆阵仍为同类型的初等矩阵。这是初等矩阵的第三个性质。这是初等矩阵的第三个性质。练习：求逆阵练习：求逆阵？ ？的逆怎样求？的逆怎样求？2021/3/1160逆阵的求法逆阵的求法方法一方法一：方法二方法二：初等变换法。初等变换法。2021/3/11612021/3/1162方法三方法三：用定义求。：用定义求。猜：猜：2021/3/11632021/3/1164方法四方法四：用定义证明：用定义证明B为为A的逆。的逆。P60. 2-142021/3/1165逆阵的应用逆阵的应用求解矩阵方程求解矩阵方程2021/3/1166求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。2021/3/11672021/3/11683. 逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法2.2.逆矩阵逆矩阵 存在存在小 结1. 逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质.P59: 2-9. 1)3)5); 2-10; 2-11. 1)3) ; 2-12; 2-13; 2-15. 作业：作业：2021/3/1169一、分块矩阵的概念一、分块矩阵的概念定义定义：将矩阵用若干：将矩阵用若干纵横直线纵横直线分成若干个小块，分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块（或子阵），每一小块称为矩阵的子块（或子阵），以子块以子块为元素形成的矩阵为元素形成的矩阵称为分块矩阵。称为分块矩阵。五、分块矩阵五、分块矩阵2021/3/1170二、分块矩阵的运算二、分块矩阵的运算1.线性运算线性运算 加法与数乘加法与数乘2.乘法运算乘法运算符合乘法的要求符合乘法的要求3.转置运算转置运算大块小块一起转大块小块一起转三、几种特殊的分块阵三、几种特殊的分块阵1.准对角阵准对角阵准对角阵或准对角阵或分块对角阵分块对角阵课本课本P46P462021/3/11712021/3/1172-牢记这些公式！牢记这些公式！2021/3/1173例例1求求A的行列式，秩及逆。的行列式，秩及逆。解：将矩阵分块解：将矩阵分块只须口算即可！只须口算即可！2021/3/11742.分块三角阵分块三角阵分块上三角阵分块上三角阵或准上三角阵或准上三角阵2021/3/1175则2021/3/1176解：将矩阵分块解：将矩阵分块只须计算只须计算2021/3/11773.分块斜对角阵分块斜对角阵解：将矩阵分块解：将矩阵分块只须口只须口算即可！算即可！2021/3/1178小 结(1) 加法加法(2) 数乘数乘(3) 乘法乘法分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似(4) 转置转置2021/3/1179(5) 分块对角阵的行列式与逆阵分块对角阵的行列式与逆阵P60: 2-16; 用分块矩阵的办法求P59: 2-9. 3）4） 作业：作业：2021/3/1180