3.4 3.4 圆周角圆周角 (2)(2)1、圆周角的定义：、圆周角的定义：2、圆周角定理：、圆周角定理：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。顶点在圆上，两边都与圆相交的角。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。3、圆周角定理的推论、圆周角定理的推论1： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 900的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。 旧知回放旧知回放:圆周角的度数等于它所对弧的度数的圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半一半。ABCOABCO用于判断某个圆周用于判断某个圆周角是否是直角角是否是直角用于判断某条用于判断某条线是否过圆心线是否过圆心1.1.下列命题中是真命题的是（下列命题中是真命题的是（ ）（A A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。顶点在圆周上的角叫做圆周角。（B B）6060 的圆周角所对的弧的度数是的圆周角所对的弧的度数是3030 （C C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。（D D）120120 的弧所对的圆周角是的弧所对的圆周角是6060 2.2.如右图，如右图，O O中，中，ACB = 130ACB = 130 ， 则则AOB=_AOB=_。36 或或144144100 DBAOC课前检测课前检测3.3.一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4 4倍，则这弦所对的圆周角度数为倍，则这弦所对的圆周角度数为 _问问题题: 如如图图, ,在在O O中中,B,D,E,B,D,E的的大大小小有有什什么么关关系系? ?为什么为什么? ?B = D= EOBACDE 圆周角定理的推论圆周角定理的推论2：同圆或等圆中，同圆或等圆中，同同弧或等弧所对的弧或等弧所对的圆周角相等；圆周角相等；同圆或等圆中，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。相等的圆周角所对的弧也相等。用于找相等用于找相等的角的角用于找相等用于找相等的弧的弧做一做：做一做：O O如图，四边形内接于如图，四边形内接于O O找出图找出图中分别与中分别与， ，相等的角相等的角练习：练习：如图，如图，P是是ABC的外接圆上的一点的外接圆上的一点APC= CPB=60. 求求证：证：ABC是等边三角形是等边三角形APBCOABC= APC=60(同弧所对的圆周角相等）同弧所对的圆周角相等）BAC= CPB=60。ABC等边三角形。等边三角形。证明：证明：ABC和和APC 都是都是 所对的圆周角。所对的圆周角。 AC同理，同理，BAC和和CPB都是都是 所对的圆周角，所对的圆周角，BC已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC,以以AB为直径的圆交为直径的圆交BC于于D,交交AC于于E,求证：求证：BD=DE证明证明：连结：连结AD.AB是圆的直径，点是圆的直径，点D在圆上，在圆上，ADB=90，AD BC，AB=AC，AD平分顶角平分顶角BAC， 即即BAD= CAD， BD= DE（在（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等）.ABCDE. .QPABMQP例1：如图，AB是圆的 一条弦，M是圆上一点，P是圆内一点，Q是圆外一点，点P,Q,M在直线AB同一侧。 求证（1） APB AMB(2) AQB AMB总结：某一条弦所在直线同侧的圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角。同时也告诉我们判断点与圆的位置关系的另一种方法，即在弦所在直线同侧的前提下，当点到弦的两端的张角大于弦所对的圆周角时，点在圆内；当张角等于弦所对的圆周角时，点在圆上；当张角小于弦所对的圆周角时，点都在圆外。 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图否会遇到暗礁。如图A,BA,B表示灯塔，暗礁分布在经过表示灯塔，暗礁分布在经过A,BA,B两点的一个弓形区域内，两点的一个弓形区域内，C C表示一个危险临界点，表示一个危险临界点，ACBACB就是就是“危险角危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角危险角”时，就有可能触礁。时，就有可能触礁。弓形所含的圆周角弓形所含的圆周角C=50,问船在航行时问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁怎样才能保证不进入暗礁区区?一个圆形人工湖一个圆形人工湖,弦弦AB是湖上的一座桥是湖上的一座桥,已知桥已知桥AB长长100m.测得圆周角测得圆周角C=45求这个人工湖求这个人工湖的直径的直径.ABCCAB. .说出命题说出命题“圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等”的逆命题的逆命题. .原命题和逆命题都是真命题吗原命题和逆命题都是真命题吗? ?请说明理由请说明理由如图如图:AB是是 O的直径的直径,弦弦CD AB于点于点E,G是是上任意一点上任意一点,延长延长AG,与与DC的延长线的延长线相交于点相交于点F,连接连接AD,GD,CG,找出图中所找出图中所有和有和ADC相等的角相等的角,并说明理由并说明理由.ACABDGFCEO1.1.如图如图,O,O中中,AB,AB是直径是直径, ,半径半径COAB,DCOAB,D是是COCO的的中点中点,DE / AB,DE / AB,求证求证: :ABEODCEC=2EA.EC=2EA.2.已知已知BC为半圆为半圆O的直径，的直径，AB=AF,AC交交BF于点于点M，过，过A点作点作ADBC于于D，交，交BF于于E，则，则AE与与BE的大小有什么关系？为什的大小有什么关系？为什么？么？小结小结1 1、本节课我们学习了哪些知识？本节课我们学习了哪些知识？2 2、圆周角定理及其推论的用途你、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？都知道了吗？