义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书八年级八年级（上（上册）册）八年级数学八年级数学第十四章第十四章轴对称轴对称2020世纪著名数学家赫尔曼世纪著名数学家赫尔曼外尔所说外尔所说的，的，“对称是一种思想，人们毕生追求，对称是一种思想，人们毕生追求，并创造次序、美丽和完善并创造次序、美丽和完善”生生活活中中的的轴轴对对称称轴轴对对称称的的性性质质轴轴对对称称图图形形两个图形成轴对称两个图形成轴对称镜面对称镜面对称线段线段角角等腰三角形等腰三角形轴对称轴对称的应用的应用本章知识回顾本章知识回顾轴对称称图形：如果一个形：如果一个图形没一条直形没一条直线折叠后，直折叠后，直线两两旁的部分能旁的部分能够互相重合，互相重合，则称称这个个图形是形是轴对称称图形。形。成成轴对称：如果两个称：如果两个图形沿一直形沿一直线对折后，它折后，它们能完全能完全重合，重合，则称称这两个两个图形成形成轴对称称对称称轴：这一条直一条直线叫叫对称称轴1 1、轴对称图形和轴对称的区别与联系、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形轴对称图形轴对称轴对称 区别区别联系联系图形图形 (1)(1)轴对称图形是指轴对称图形是指( )( ) 具具 有特殊形状的图形有特殊形状的图形, 只只对对( ( ) ) 图图形形而而言言; ;(2)(2)对称轴对称轴( )( ) 只有一条只有一条(1)(1)轴对称是指轴对称是指( )( )图形图形 的位置关系的位置关系, ,必须涉及必须涉及 ( )( )图形图形; ;(2)(2)只有只有( )( )对称轴对称轴. .如果把轴对称图形沿对称轴如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分分成两部分, ,那么这两个图形那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称就关于这条直线成轴对称. .如果把两个成轴对称的图形如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体拼在一起看成一个整体, ,那那么它就是一个轴对称图形么它就是一个轴对称图形. .一个一个一个一个不一定不一定两个两个两个两个一条一条知识回顾：轴对称的性质轴对称的性质对应点所点所连的的线段被段被对称称轴垂直平垂直平分分对应线段相等，段相等，对应角相等角相等1、对应点所连的线段被对称轴、对应点所连的线段被对称轴_；3、如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段、如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段与对称轴关系与对称轴关系；对称轴垂直平分连结对称点的线段对称轴垂直平分连结对称点的线段4、线段的垂直平分线的点到、线段的垂直平分线的点到的的距离相等；距离相等；这条线段两端点这条线段两端点5、一个角的角平分线上的点到、一个角的角平分线上的点到的的距离相等。距离相等。这个角的两边这个角的两边2、轴对称图形的、轴对称图形的_相等，相等，_相等；相等；垂直平分垂直平分对应线段对应线段对应角对应角轴对称的性质轴对称的性质图形图形等腰三角形等腰三角形（腰与底边不等）腰与底边不等）等边三角形等边三角形定义定义性性 质质关系关系等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形形不一定是等边三角形. .轴对称图形（轴对称图形（3条条）三个角都相等，三个角都相等，（每边上）三线合一（每边上）三线合一都是都是60轴对称图形（轴对称图形（1条条）等边对等角等边对等角三线合一三线合一等腰三角形、等边三角形的性质等腰三角形、等边三角形的性质等腰三角形、等边三角形的性质等腰三角形、等边三角形的性质判判 定定两边相等两边相等 三边相等三边相等 或两角相等或两角相等或三角相等或三角相等 有一个角是有一个角是60的等的等腰三角形腰三角形两边相等的三角形两边相等的三角形三边相等的三角形三边相等的三角形等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（底边上的高互相重合（ 简写成简写成“三线合一三线合一” ）ABCDAB=AC，BD=CD（已知）BAD=CAD， ADBC（三线合一）AB=AC，BAD=CAD （已知） BD=CD ，ADBC（三线合一）AB=AC， ADBC （已知） BD=CD ，BAD=CAD （三线合一）1 1、国国旗旗是是一一个个国国家家的的象象征征，观观察察下下面面的的国国旗旗，是是轴轴对对称称图形的是（图形的是（ ）A.A.加拿大、韩国、乌拉圭加拿大、韩国、乌拉圭 B.B.加拿大、瑞典、澳大利亚加拿大、瑞典、澳大利亚C.C.加拿大、瑞典、瑞士加拿大、瑞典、瑞士 D.D.乌拉圭、瑞典、瑞士乌拉圭、瑞典、瑞士 加拿大加拿大 韩国韩国 澳大利亚澳大利亚 乌拉圭乌拉圭 瑞典瑞典 瑞士瑞士C2、小小明明照照镜镜子子的的时时候候，发发现现T恤恤上上的的英英文文单单词词在在镜镜子子中中呈呈现现“”的的样样子子，请你判断这个英文单词是（请你判断这个英文单词是（）(A)(B)(C)(D)A 3 3、ABCABC与与DEFDEF关于直线关于直线L L成轴成轴对称，则对称，则C C是多少度？是多少度？ L3 3、一个角的角平分线就是一个角的角平分线就是这个角的对称轴这个角的对称轴.( )( )4 4、 直线直线BDBD是长方形是长方形ABCDABCD的的对称轴对称轴.( ).( )5、等腰三角形的对称轴最多有、等腰三角形的对称轴最多有条，最少有条，最少有条，圆条，圆的对称轴有的对称轴有条，它的对称轴是条，它的对称轴是。6、以下是部分常用的交通标志图，仔细观察哪些是轴对称图、以下是部分常用的交通标志图，仔细观察哪些是轴对称图形？形？（1）（2）（3）（4）（5）（6）7、如图，画出所示图形关于直线、如图，画出所示图形关于直线l的对称图形。的对称图形。AllABCl（1）（2）31B答：轴对称图形是：答：轴对称图形是：（1）（）（2）（）（3）（）（5）（）（6）。）。 无数无数直径所在的直线直径所在的直线ABC实践探索杨洋家住杨洋家住A处处,晓华家住晓华家住B处处,陈凯家住陈凯家住C处处,三人约好三人约好周日一起到购书中心买书周日一起到购书中心买书,现三人正在商量应该在哪里集现三人正在商量应该在哪里集合合,才能使集合地到他们三家的距离相等才能使集合地到他们三家的距离相等?你能在图中帮他们找到集合地吗你能在图中帮他们找到集合地吗?P关于关于x轴对称的点横坐标轴对称的点横坐标 ，纵坐标，纵坐标关于关于y轴对称的点横坐标轴对称的点横坐标 ，纵坐标，纵坐标点（点（x,y）关于）关于x轴对称的点坐标（轴对称的点坐标（ ）点（点（x,y）关于）关于y轴对称的点坐标（轴对称的点坐标（ ）点点M（a+b, 3）与点）与点N （2,a）关于）关于x轴对称，试求轴对称，试求a、b的值。的值。X , yX , y不变不变互为相反数互为相反数不变不变互为相反数互为相反数1、分别以虚线为对称轴画出下列各图的分别以虚线为对称轴画出下列各图的另一半，并说明完成后的图案可能代表什另一半，并说明完成后的图案可能代表什么含义。么含义。2已知如图：一辆汽车在直线公路已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由上由A向向B行驶，行驶，M、N分别表示位于公路分别表示位于公路AB两侧的村庄，两侧的村庄，（1）当汽车行驶到什么位置时，与村庄）当汽车行驶到什么位置时，与村庄M、N的距离相等的距离相等？答：如图答：如图，当汽车行驶到，当汽车行驶到P3时，与村庄时，与村庄M、N的距离相等。的距离相等。ABMNP3根据：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离根据：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。相等。2已知如图：一辆汽车在直线公路已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由上由A向向B行驶，行驶，M、N分别表示位于公路分别表示位于公路AB两侧的村庄，两侧的村庄，（2）当汽车行驶到什么位置时，到村庄）当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和的距离之和最短？最短？答：如图答：如图，当汽车行驶到，当汽车行驶到P4时，到村庄时，到村庄M、N的距离之和最短。的距离之和最短。ABMNP4根据：两点之间线段最短。根据：两点之间线段最短。又问：若村庄又问：若村庄M，N在公路在公路AB的同侧，则又如何解决此题？的同侧，则又如何解决此题？N1P5MNAB答：若村庄答：若村庄M，N在公路在公路AB的同侧时，当汽车行驶到的同侧时，当汽车行驶到P5时，到村庄时，到村庄M、N的距离之和最短的距离之和最短A3。如图，七（。如图，七（1）班与七（）班与七（2）班两个班的学生分别在班两个班的学生分别在M、N两处参加植树两处参加植树劳动，现要在道路劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设的交叉区域内设一个茶水供应点一个茶水供应点P，使，使P到两条道路的距离相到两条道路的距离相等，且使等，且使PM=PN，请你用折纸的方法找出，请你用折纸的方法找出P点并说明理由。点并说明理由。BCMN如图，如图， （1 1）等腰）等腰ABCABC中，中，AB=ACAB=AC， 顶角顶角A=100A=100，那么底角，那么底角 B=B= ， C=C= 。B BA AC C（2 2）ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，B=72B=72那那么么A=A= 。（3 3）等等腰腰ABCABC中中有有一一个个角角为为5050，那么另外两个角分别是，那么另外两个角分别是多少？多少？363640404040随堂练习3.3.3.3.已知等腰三角形有一个外角等于已知等腰三角形有一个外角等于已知等腰三角形有一个外角等于已知等腰三角形有一个外角等于100100100100，求等腰三角形的三个，求等腰三角形的三个，求等腰三角形的三个，求等腰三角形的三个内角。内角。内角。内角。思考：当外角是思考：当外角是思考：当外角是思考：当外角是80808080时等腰三角形的三个内角又如何呢？时等腰三角形的三个内角又如何呢？时等腰三角形的三个内角又如何呢？时等腰三角形的三个内角又如何呢？等腰三角形的底角都是锐角（等腰三角形的底角都是锐角（等腰三角形的底角都是锐角（等腰三角形的底角都是锐角（ ）钝角三角形不可能是等腰三角形（）钝角三角形不可能是等腰三角形（）钝角三角形不可能是等腰三角形（）钝角三角形不可能是等腰三角形（）2.2.2.2.等腰三角形若两边长为和，求它的周长。等腰三角形若两边长为和，求它的周长。等腰三角形若两边长为和，求它的周长。等腰三角形若两边长为和，求它的周长。1.1.1.1.判断：判断：判断：判断： 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ） 有一个角是有一个角是6060的等腰三角形，其它两个内角也为的等腰三角形，其它两个内角也为6060。（。（ ）4、如图，是齐新新同学照镜子时看到的如图，是齐新新同学照镜子时看到的 对面墙上钟表指针的情况，你能告诉对面墙上钟表指针的情况，你能告诉 他当时的时间大约是几点几分吗？他当时的时间大约是几点几分吗？、5、如图：在、如图：在ABC中，中，DE是是AC的垂直平的垂直平分线，分线，AC=5厘米，厘米，ABDABD的周长等于的周长等于13厘厘米，则米，则ABCABC的周长是的周长是。ABDEC6、如图：在、如图：在ABC中，中，C=900，AD平分平分BAC，DEAB交交AB于于E，BC=30，BD：CD=3：2，则，则DE=。ABCD18厘米厘米E127、研究下列数字，找出它们的规律，并加以猜想：、研究下列数字，找出它们的规律，并加以猜想：121=112，12321=1112，.，1239321=（）2111111111答：当时的时间大约是四点十分。答：当时的时间大约是四点十分。8.如如图，在在ABC中中，AB=AC=16cm，AB的的垂垂直直平平分分线交交AC于于D，如如果果BC=10cm，那那么么BCD的的周周长是是_cm. 9.9.如图如图,ABC、ACB的平分线相的平分线相 交于交于F, ,过过F作作DE/BC交交AB于于D,交交AC于于E,若若AB=9cm,AC=8cm,则则ADE的周长是多的周长是多少少? ?FEDCBAAC=AE+EC=AE+EFAB=AD+DB=AD+DF10.如图，如图，ABC中，中，AB=AC，AE=AD，则则DF CB，为什么？，为什么？11如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠重如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ABCDEFA AB BC CE EF FF F12.在在ABC中，中，AB=AC，A=36，BE是是ABC的角平分的角平分线， 过E点作点作EF/AB，则图中有几个等腰中有几个等腰三角形？三角形？ 13. 在在ABC中，中，DE是是AC的垂直平分线，的垂直平分线，AE=3cm，ABD的周长为的周长为13cm，请求出，请求出ABC的周长的周长.8.如图，把直角三角形如图，把直角三角形ABC( C=90)折叠，折叠，使点使点A与点与点B重合，得到折痕重合，得到折痕ED，再折叠，再折叠，点点C恰好与点恰好与点D重合，那么重合，那么A=_度度.15.如图，如图，ABC中中AB=AC，D在在BC上，上，E在在AC上且上且AD=AE，若，若BAD= ，那么，那么EDC能确定吗？若能确定，求出能确定吗？若能确定，求出EDC的度的度数，若不能确定请你说明理由数，若不能确定请你说明理由. 14. 若一个等腰三角形腰上的高与底边的若一个等腰三角形腰上的高与底边的夹角为夹角为35，求顶角的度数，求顶角的度数.2816.13.已知，如图，已知，如图，于，于，求证：求证：17.如图，如图，ABC中，中，A=90，AB=AC，BD是是ABC的角平分线，请你说明的角平分线，请你说明AB+AD=BC.18.如图，如图，ABC中，中，ABC=90，D，E是是AC上点，且上点，且AD=AB，CE=CB，请问，请问DBE的大小是否确定？若确定请求出大小，若不确的大小是否确定？若确定请求出大小，若不确定，请说明理由定，请说明理由.19.19.如图，已知如图，已知CE、CF分别平分分别平分ACB和它的外角，和它的外角，EFBC，EF交交AC于于D，你能说明你能说明DEDF的理由吗？的理由吗？FDEABCG20.如图，如图，A=80，BD=BE，CD=CF，求，求EDF的度数的度数 21.已知：已知：ABC中，中，ABC的平分线的平分线BO与外角与外角ACD的平分线的平分线CO相交于相交于O，过，过O作作BC的平行线的平行线交交AB于于E，交，交AC于于F.请根据上述已知条件画出图形请根据上述已知条件画出图形.是否存在等腰三角形？是否存在等腰三角形？EF与与BE、FC有什么关系？有什么关系？ABCOFE22.如图，如图，ABC中，中，ACB=90，AD平分平分BAC， AD的垂直平分线的垂直平分线EF交交BC的延长线于的延长线于M，试说明，试说明2 M+ B=9023.在在AFG中，中，AFG=90，AB=BC=CD=DE=EF=FG，则，则A=_度度24.如图，如图，OC=CD=DE=EF，(1)当当EF OA于于E时，求时，求AOB的度数；的度数；(2)当当A0B=5时，与线段时，与线段OC一样长的线段，最多一样长的线段，最多能画多少条？能画多少条？(注：每条线段的两个端点分别位于射注：每条线段的两个端点分别位于射线线OA、OB上上) 22. 22. 请把这个等腰三角形纸片折成请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰三角形两个等腰三角形？36ABCBCAD36ABC36D（折成（折成3个等腰三角形个等腰三角形呢？）呢？）23.请把这个三角形纸片折成请把这个三角形纸片折成两个两个等腰三角形等腰三角形！A AC CB B505011011020201、对、对A进行讨论进行讨论2、对、对B进行讨论进行讨论3、对、对C进行讨论进行讨论CABACB20202020CAB5050CAB808020CAB656550CAB3535110（分类讨论）（分类讨论）A AC CB B5050110110202024.已知点已知点A的坐标为（的坐标为（1，-1），在），在y轴上轴上找一点找一点P，使，使POA为等腰三角形为等腰三角形.这样的这样的点点P共有多少个？共有多少个？xyoA（1，-1）实验室实验室P1P2P3P4其中，以其中，以OA为为腰的三角形有腰的三角形有OAP1、 OAP2、 OAP3，以以OA为腰的三为腰的三角形有角形有OAP425.如图如图,ABC中，中，AB=AC，D为为AB上一点，上一点，E为为AC延长线上一点，且延长线上一点，且BD=CE，DE交交BC于于G.求证：求证：DG=EG.思路思路 因为GDB和GEC不全等，所以考虑在GDB内作出一个与GEC全等的三角形。BGCEADH如果把已知中的与结论如果把已知中的与结论互换，而其它条件不变，互换，而其它条件不变，那此题是否成立？那此题是否成立？