组合组合问题问题 有有5本不同的书：本不同的书：（1）取取出出3本本分分给给甲甲、乙乙、丙丙三三人人每人每人1本，有几种不同的分法？本，有几种不同的分法？（2）取取出出4本本给给甲甲，有有几几种种不不同同的的取法？取法？ 问题（问题（1）中，书是互不相同的，人也）中，书是互不相同的，人也互不相同，所以是排列问题互不相同，所以是排列问题 问题（问题（2）中，书不相同，但甲所有）中，书不相同，但甲所有的书只有数量的要求而无的书只有数量的要求而无“顺序顺序”的要求，的要求，因而问题（因而问题（2）不是排列问题）不是排列问题复习复习问题问题1：什么叫做排列什么叫做排列？排列的特征是什么？排列的特征是什么？问题问题2 2：什么叫做排列：什么叫做排列数？它的计算公式是怎数？它的计算公式是怎样的？样的？ 引例引例引例引例1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选出出2名去参加一项活动，有多少种不名去参加一项活动，有多少种不同的选法？同的选法？ 从从3名同学中选出名同学中选出2名，不同的选法有名，不同的选法有3种：种：甲、乙甲、乙 乙、丙乙、丙 丙、甲丙、甲 所选出的所选出的2名同学之间名同学之间并无顺并无顺序序关系，甲、乙和乙、甲是同一关系，甲、乙和乙、甲是同一种选法种选法 引例引例引例引例2：从不在同一条直线从不在同一条直线上的三点上的三点A,B,CA,B,C中，每次取中，每次取出两个点作一条直线，问可出两个点作一条直线，问可以得到几条不同的直线？以得到几条不同的直线？根据直线的性质，过任意两点可以作一条根据直线的性质，过任意两点可以作一条直线，并且只能作一条直线，所以过两点直线，并且只能作一条直线，所以过两点只能连成一条直线，因此可以得到三条直线只能连成一条直线，因此可以得到三条直线：ABAB、ACAC、BCBC，直线直线 ABAB与直线与直线BABA是一条是一条直线，这也就是说，直线，这也就是说，“把两点连成直线把两点连成直线”时，时，不考虑点的顺序不考虑点的顺序引例引例3 1. 北京、上海、广州三个民航站之北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？的飞机票？ 2. 北京、上海、广州三个民航站北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，有多少种不同的飞之间的直达航线，有多少种不同的飞机票价？机票价？引例总结引例总结 以上两个引例所研究的问题以上两个引例所研究的问题是不同的，但是它们有数量上的是不同的，但是它们有数量上的共同点，即它们的实质都是：共同点，即它们的实质都是： 从从3个不同的元素里每个不同的元素里每次取出次取出2个元素，不管怎样个元素，不管怎样的顺序并成一组，一共有多的顺序并成一组，一共有多少不同的组？少不同的组？组合定义 排列与元素的顺序有排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序关，而组合与元素的顺序无无关，这是它的关，这是它的根本区别根本区别 一般地，从一般地，从 个不同元素中取出个不同元素中取出 （ ）个元素并成一组，叫做从）个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的一个个元素的一个组合组合思考思考: :排列与组合的概念，它们排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？有什么共同点、不同点？ 共同点共同点:都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素” 不同点不同点:对于所取出的元素，对于所取出的元素，排列要排列要“按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列”，而组合却是而组合却是“不管怎样的顺序并成一组不管怎样的顺序并成一组”想一想什么是两个相同的排列？什么是两个相同的组合？ 如果两个组合中的元素完全相同，如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何，都是那么不管它们顺序如何，都是相同相同的组合的组合 当两个组合中的元素不完全当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同）相同时（即使只有一个元素不同），就是，就是不同的组合不同的组合判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合则集合A的含有的含有3个元素的子集有多少个个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票共需准备多少种车票? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次握手相互问候，共需握手多少次?组合问题组合问题(5)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个安排游览个安排游览,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?组合问题组合问题(6)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个个,并确定这并确定这2个风景个风景点的游览顺序点的游览顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列问题排列问题组合问题组合问题组合数组合数 从从 个不同元素中取出个不同元素中取出 （ ）个元素的所有组合的个数，叫做从）个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的个元素的组合数组合数记作：记作： 注意：注意： 是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 如如:从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是元素的所有组合分别是: ab , ac , bc 如如:已知已知4个元素个元素a , b , c , d ,写出每次写出每次取出两个元素的所有组合取出两个元素的所有组合.ab c d b c d cd ab , ac , ad , bc , bd , cd(3个个)6个个练习练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，通过单循环决出冠亚军邀请赛，通过单循环决出冠亚军（1 1）列出所有各场比赛的双方；）列出所有各场比赛的双方；（2 2）列出所有冠亚军的可能情况）列出所有冠亚军的可能情况。（1 1） 中国中国美国美国 中国中国古巴古巴 中国中国俄罗斯俄罗斯 美国美国古巴古巴 美国美国俄罗斯俄罗斯 古巴古巴俄罗斯俄罗斯（2）冠冠军军中中中中中中美美美美美美古古古古古古俄俄俄俄俄俄亚亚军军美美古古俄俄中中古古俄俄中中美美俄俄中中美美古古组合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb我们怎么去求组合数呢？从4个不同元素a、b、c、d中取出3个元素的组合数是多少？组合数公式组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：因此：因此： 一般地，求从一般地，求从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的排个元素的排列数，可以分为以下列数，可以分为以下2步：步： 第第1步，先求出从这步，先求出从这 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素个元素的组合数的组合数 第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中 个元素的全排列数个元素的全排列数 这里这里 ，且，且 ，这个公式叫做，这个公式叫做组合组合组合组合数公式数公式数公式数公式 组合数公式组合数公式: 从从 n 个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数